点线面的投影点线面的投影第二章第二章 点的投影点的投影第三章第三章 直线的投影直线的投影第四章第四章 平面的投影平面的投影第一节第一节 点的三面投影点的三面投影第二节第二节 两点的相对位置两点的相对位置第一节第一节 直线的三面投影直线的三面投影第二节第二节 各种位置直线的投影各种位置直线的投影第一节第一节 平面投影的表示方法平面投影的表示方法第二节第二节 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性.第二章第二章 点的投影点的投影第一节第一节 点的三面投影点的三面投影XZYVWHO 根据点的投影来确定点在空间根据点的投影来确定点在空间的位置，引入相互垂直相交的三个的位置，引入相互垂直相交的三个投影面，分别用投影面，分别用V、H、W表示。表示。把把V面称为正投影面简称正面），面称为正投影面简称正面），把把H面称为水平投影面简称水平面称为水平投影面简称水平面），把面），把W面称为侧投影面简称面称为侧投影面简称侧面）。侧面）。 三个投影面互相垂直并相交，交线称为投影轴，正面与三个投影面互相垂直并相交，交线称为投影轴，正面与水平面的交线水平面的交线OX称为称为X轴，侧面与水平面的交线轴，侧面与水平面的交线OY称为称为Y轴，轴，侧面与正面的交线侧面与正面的交线OZ称为称为Z轴，三个投影轴垂直相交于一点轴，三个投影轴垂直相交于一点O，称为原点。，称为原点。一、三面投影体系的建立一、三面投影体系的建立回本讲.XZYVWHAOaaaaxayaz二、点在三面投影体系中的投影二、点在三面投影体系中的投影 点在三个投影面上的投影，就是通过这三个点分别向三个投影面所作垂线的垂足。点的三面投影与坐标的关系：点的三面投影与坐标的关系： 点的正面投影和水平投影的连线垂直于点的正面投影和水平投影的连线垂直于X轴，即轴，即aa OX 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z轴，即轴，即aa OZ 点的水平投影到点的水平投影到X轴的距离等于点的侧面投影到轴的距离等于点的侧面投影到Z轴的距离，轴的距离，即即aa OX。WVHXZYWYHaaaaxazaYWaYHOXAYAa0Aa=aaz=aay=axO=XAAa=aax=aay=azO=ZAAa=aax=aaz=ayO=YAXZYWYHaaaaxazaYWaYHOa0回本章 回本讲.例：已知例：已知C点的两面投影点的两面投影c和和c，求作第三投影，求作第三投影c。作法：作法：（2过过c作作OX轴垂线轴垂线cc；（3过过c作作YW轴的垂线与轴的垂线与45分角线相交；分角线相交；（4过交点作过交点作YH轴的垂线与轴的垂线与cc方向的连方向的连线相交即得线相交即得c。OZXYWYHcccc（1从原点从原点O做做YW、YH的的45分角线；分角线；回本章 回本讲.第二节第二节 两点的相对位置两点的相对位置 空间两点的相对位置，有上下、前后、左右之分，规定空间两点的相对位置，有上下、前后、左右之分，规定Z坐标值大坐标值大者围上，小者为下；者围上，小者为下；Y坐标值大者为前，小者为后；坐标值大者为前，小者为后；X坐标值大者为左，坐标值大者为左，小者为右。小者为右。XZYVWHAOaaaaxayazBbbxbbybbzZaaabbbaxbxazbzaYHbYHbYWaYWXYHYW一、两点的相对位置一、两点的相对位置回本章 回本讲.二、重影点的投影二、重影点的投影 若两点的某两个空间坐标值分别相等，则这两点必处于同一条若两点的某两个空间坐标值分别相等，则这两点必处于同一条投射线上，因而，这两点在与投射线垂直的投影面上的投影重影于投射线上，因而，这两点在与投射线垂直的投影面上的投影重影于一点。一点。eee(c)c(d)c(f)ddff 在投影图上规定：不可见点的投影符号加注括号，如在投影图上规定：不可见点的投影符号加注括号，如d）。）。ZXYOEDCFeee(c)c(d)c(f)fddfVWH回本章 回本讲.第三章第三章 直线的投影直线的投影第一节第一节 直线的三面投影直线的三面投影 一般情况下，直一般情况下，直线的投影仍为直线。线的投影仍为直线。 两点确定一条直两点确定一条直线，将直线上两点的线，将直线上两点的同面投影用直线连接同面投影用直线连接起来，就得到直线的起来，就得到直线的三个投影。三个投影。 直线的投影规定直线的投影规定用粗实线绘制。用粗实线绘制。一、直线的投影图一、直线的投影图回本讲.第二节第二节 直线的三面投影直线的三面投影二、直线上点的投影二、直线上点的投影abcab cXABCVHbccbaaX1 1、从属性、从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。如下图，如下图，CAB CAB ，则有，则有c ab c ab ，cabcab，cabcab。 反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。在直线上。 回本章 回本讲. 2、定比性、定比性abcab cXABCVHbccbaaX直线上的点分割线段之比等于其投影之比直线上的点分割线段之比等于其投影之比回本章 回本讲二、直线上点的投影二、直线上点的投影.例：已知直线例：已知直线EF EF 及点及点K K 的水平投影的水平投影k k，求正面，求正面投影投影 k k。e f efXk Ok k 1f 1回本章 回本讲.第二节第二节 各种位置直线的投影各种位置直线的投影投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线平行于面）正平线平行于面）侧平线平行于面）侧平线平行于面）水平线平行于面）水平线平行于面）正垂线垂直于面）正垂线垂直于面）侧垂线垂直于面）侧垂线垂直于面）铅垂线垂直于面）铅垂线垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面回本章 回本讲.一、投影面的平行线一、投影面的平行线b aa b baXZYHYWb a abab XZYHYWba aab b XZYW水平线水平线YH1 1在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。并反映直线与另两投影面的真实倾角。2 2另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性性与与H面的夹角面的夹角:与与V 面的夹角面的夹角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长实长实长实长实长回本章 回本讲.名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性水平线水平线(H）正平线正平线(V )侧平线侧平线(W )(1)a b OX,a b OYW(2)ab=AB ；(3)反映夹角反映夹角 、 大小。大小。(1)abOX,a b OZ(2)a b =AB(3)反映夹角反映夹角 、 大小。大小。(1)abOYH,a b OZ；(2)a b =AB(3)反映夹角反映夹角 、 大小。大小。回本章 回本讲.二、投影面的垂直线二、投影面的垂直线（1 1在其垂直的投影面上，投影有积聚性。在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 （2 2另外两个投影另外两个投影, , 反映线段实长，且垂直于相反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。应的投影轴。投投 影影 特特 性性侧垂线侧垂线e f efe (f )XZoYHYW正垂线正垂线c (d )cdd c XZoYHYW铅垂线铅垂线a b a(b)a b XZoYWYH回本章 回本讲.名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性铅垂线铅垂线（ H）正垂线正垂线（ V）侧垂线侧垂线（ W）(1) H 投影为一投影为一点，有积聚性；点，有积聚性；(2) a b OX , a bOYW ；(3) a b =a b =AB(1) V 影为一点，影为一点， 有积聚性；有积聚性；(2) ab OX , a bOZ ；(3) ab=a b =AB(1) W 投影为一投影为一点，有积聚性；点，有积聚性；(2) Ab OYH, a b OZ ；(3) Ab =a b =AB回本章 回本讲.三、一般位置直线三、一般位置直线a b = AB cosab = AB cosab=AB cos 直线与直线与H、V 和和W 三投影面的夹角分别用三投影面的夹角分别用、表示。表示。 投影长分别是：投影长分别是：回本章 回本讲.一般位置直线投影特性一般位置直线投影特性各投影的长度均小于直线本身的实长。各投影的长度均小于直线本身的实长。直线的各投影均不平行于各投影轴。直线的各投影均不平行于各投影轴。回本章 回本讲.第四章第四章 平面的投影平面的投影第一节第一节 平面投影的表示方法平面投影的表示方法不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及线直线及线外一点外一点两平行两平行直线直线两相交两相交直线直线平面平面图形图形回本讲.第二节第二节 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面平面对于三投影面的位置可分为三类：平面对于三投影面的位置可分为三类：回本章 回本讲.一、投影面的垂直面一、投影面的垂直面 垂直于一个投影面而与其它两个投影面倾垂直于一个投影面而与其它两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。斜的平面，称为投影面垂直面。 根根据据其其所所垂垂直直的的投投影影面面不不同同，可可以以分分为为三种：三种： 1) 1)铅垂面铅垂面垂直于垂直于H H 面；面； 2) 2)正垂面正垂面垂直于垂直于V V 面；面； 3) 3)侧垂面侧垂面垂直于垂直于W W 面。面。回本章 回本讲. 1)1)在在其其所所垂垂直直的的投投影影面面上上，投投影影为为斜斜直直线线，有有积积聚聚性性；该该斜斜直直线线与与投投影影轴轴的的夹夹角角反反映映该该平平面面对相应投影面的倾角；对相应投影面的倾角； 铅垂面铅垂面相似性相似性abca c b c b a XZoYHYW相似性相似性积聚性积聚性 投影面垂投影面垂直面的投影特直面的投影特性是：性是： 2)2)如如用用平平面面图图形形表表示示平平面面，则则在在另另外外两两个个投投影面上的投影不是实形，但有相似性。影面上的投影不是实形，但有相似性。回本章 回本讲.名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性铅垂面铅垂面（ H）正垂面正垂面（ V）侧垂面侧垂面（ W）1)H投影为斜直线，投影为斜直线，有积聚性，且反有积聚性，且反映映 、 大小大小2)V、W投影不是投影不是实形，但有相似实形，但有相似性。性。1)V投影为斜直线，投影为斜直线，有积聚性，且反有积聚性，且反映映 、 大小大小2)H、W投影不是投影不是实形，但有相似实形，但有相似性。性。1)W投影为斜直投影为斜直线，有积聚性，线，有积聚性，且反映且反映 、 大小大小2)H、V投影不是投影不是实形，但有相似实形，但有相似性。性。回本章 回本讲.二、投影面的平行面二、投影面的平行面 垂直于两个投影面的平面，平行于第三个垂直于两个投影面的平面，平行于第三个投影面。投影面。 根根据据其其所所平平行行的的投投影影面面不不同同，投投影影面面平平行行面也可分为三种：面也可分为三种： 1)水平面水平面平行于平行于H 面；面； 2)正平面正平面平行于平行于V 面；面； 3)侧平面侧平面平行于平行于W 面。面。回本章 回本讲.投影面平行面的投影特性是：投影面平行面的投影特性是： 1)1)如如平平面面用用平平面面形形表表示示，则则其其在在所所平平行行的的投投影影面面上上的的投投影，反映平面形的实形；影，反映平面形的实形； 水平面水平面a b c a b c abcXZoYHYW积聚性积聚性实实 形形 2)2)在在另另外外两两个个投投影影面面上上的的投投影影均均为为直直线线段段，有有积积聚聚性性，且平行于相应的投影轴。且平行于相应的投影轴。积聚性积聚性回本章 回本讲.名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性水平面水平面（H）正平面正平面（V）侧平面侧平面（W)1)H投影反映实形；投影反映实形；2)V、W投影分别投影分别为平行为平行OX 、OYW轴的直线段，轴的直线段，有积聚性有积聚性1)V投影反映实形；投影反映实形；2)H、W投影分别投影分别为平行为平行OX、OZ轴的直线段，有轴的直线段，有积聚性积聚性1)W投影反映实形；投影反映实形；2)V、H投影分别投影分别为平行为平行OZ、OYH轴的直线段，有轴的直线段，有积聚性积聚性回本章 回本讲.三、一般位置平面三、一般位置平面 一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与三个投影面都倾斜，所以，如用平面形三个投影面都倾斜，所以，如用平面形( (例如三角形例如三角形) )表示表示一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有相似一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有相似性。性。 回本章 回本讲.第三节第三节 平面上的点和线平面上的点和线点在平面上的条件：点在平面上的条件： 如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上。如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上。一、平面内的点一、平面内的点回本章 回本讲. 直线在平面上的条件直线在平面上的条件: :通过平面上的两个点或通通过平面上的两个点或通过平面上的一个点且平行于平面上的一条直线过平面上的一个点且平行于平面上的一条直线 。回本章 回本讲.X1）abca b c dkd过平面内两已知点过平面内两已知点作辅助线求解作辅助线求解k2）abca b c dkd过平面内一个已知点作平面过平面内一个已知点作平面内已知直线的平行线求解内已知直线的平行线求解kX例例1已知平面已知平面ABC内一点内一点K的的H投影投影k, 试求试求K 点的点的V 投影投影k 。00ee 回本章 回本讲.3 3）abca b c dd过平面内一个已知点作投影面的平行线求解过平面内一个已知点作投影面的平行线求解kXk例例1已知平面已知平面ABC内一点内一点K的的H投影投影k, 试求试求K 点的点的V 投影投影k 。ee 回本章 回本讲.例例2已知四边形平面已知四边形平面ABCD的的H投影投影abcd和和ABC的的V 投影投影abc，试完成其，试完成其V 投影投影 。1连接连接ac 和和ac 得辅助线得辅助线AC 的两投影；的两投影；d cbdaX2连接连接bd 交交ac于于e； 3由由e 在在ac上求出上求出e；4连接连接be， 在在be上求出上求出d；5分别连接分别连接ad ；及；及 cd，即为所求。，即为所求。 1连接连接ac 和和ac 得辅助线得辅助线AC 的两投影；的两投影；cbdaX2连接连接bd 交交ac于于e； 3由由e 在在ac上求出上求出e；4连接连接be， 在在be上求出上求出d；5分别连接分别连接ad ；及；及 cd，即为所求。，即为所求。 eeca b 回本章 回本讲.PVPHa bXab例例3已知铅垂面已知铅垂面P内一条水平线内一条水平线AB的端点的端点A的两投的两投影，且影，且AB=20mm，求直线，求直线AB的两投影。的两投影。分析：铅垂面分析：铅垂面P 的的H 投影有积聚性，投影有积聚性，铅垂面铅垂面P 内点和直线的内点和直线的H 投影，必投影，必重合于重合于P H 迹线上，而直线迹线上，而直线AB为水为水平线，故其平线，故其H 投影反映实长。投影反映实长。作图步骤：作图步骤：1在迹线在迹线PH上，过上，过a量取量取ab=20mm，得点，得点b ；202由由b引垂线，与自引垂线，与自a 所作所作OX 的平行线相交，其交点为的平行线相交，其交点为b ；03则则ab，a b 即为所求。即为所求。回本章 回本讲.本讲结束本讲结束回本讲.