第十一章11. 知道平方根，算术平方根，立方根的概念，能用平方运算或立方运算求某些数的平方根或立方根。2.会用根号表示一个数的平方根，算术平方根，立方根，掌握开放运算。会用计算器进行数的开方。3.知道无理数的意义，会对实数进行分类，知道实数的相反数和绝对值的意义；知道实数与数轴的一一对应的关系。2平方根，立方根和算术平方根的概念，性质，无理数与实数的意义3在这一章的学习中在这一章的学习中我知道了什么概念？我知道了什么概念？我学会了什么运算？我学会了什么运算？平方根、算术平方根、开平方、立方根、平方根、算术平方根、开平方、立方根、开立方、无理数、实数开立方、无理数、实数 实数的运算和实数的大小比较实数的运算和实数的大小比较 4实数实数无理数无理数实际问题实际问题平方根平方根立方根立方根算术平方根算术平方根开方开方立方立方5知识回顾知识回顾1、平方根、算术平方根、立方根的概念、性质、平方根、算术平方根、立方根的概念、性质 概念概念表示表示 主要性质主要性质平方根平方根 算术算术平方根平方根 立方根立方根 若若 ，则则x叫做叫做a的平方的平方根根. 正数有两个平方根，正数有两个平方根，互为相反数互为相反数0的平方根是的平方根是0负数没有平方根负数没有平方根若若 则则x的非负数值的非负数值 叫做叫做a的算术平方根的算术平方根. . 非负性：非负性：当当a 0 0时，时， 0 0；还原性：还原性：当当a 00时，时， 若若 ，则则x叫做的立方根叫做的立方根. 正正数的立方根是一个数的立方根是一个正正数；数；负负数的立方根是一个数的立方根是一个负负数；数；0的立方根是的立方根是0. . 6平方根平方根 如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于a a，那么这个数就叫做，那么这个数就叫做a a的的平方根平方根. . 用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根7二、平方根的性质：二、平方根的性质： 1 1、一个正数有两个平方根，它们、一个正数有两个平方根，它们互为相反数互为相反数2 2、0 0有一个平方根，它是有一个平方根，它是0 0本身本身3 3、负数没有平方根、负数没有平方根 4 平方和开平方互为逆运算；平方和开平方互为逆运算； 8三、开平方：三、开平方： 求一个数求一个数a a的平方根的运算，的平方根的运算，叫做开平方的运算叫做开平方的运算 +3+3与与-3-3的平方是的平方是9 9，9 9的平方根是的平方根是+3+3和和-3-3，可，可见平方运算与开平方运算互为逆运算见平方运算与开平方运算互为逆运算根据这种关系，我们可以通过平方运算来求根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根一个数的平方根 9平方根的表示方法平方根的表示方法: : 被开方数被开方数根指数根指数根号根号表示正数表示正数a a的正的平方根的正的平方根表示正数表示正数a a的负的平方根的负的平方根读作读作“二次根号二次根号”；读作读作“二次根号二次根号a a”；提问：提问：、各表示什么意义？各表示什么意义？、可以省略可以省略10五、算术平方根定义：五、算术平方根定义： 正数正数a a有两个平方根，其中有两个平方根，其中正数正数a a的正的平方根，也叫做的正的平方根，也叫做a a的算术平方根，记作：的算术平方根，记作：说明：说明：1 1、因为正数均有一正一负两个平方根，、因为正数均有一正一负两个平方根，所以正数均有算术平方根所以正数均有算术平方根 2 2、0 0的平方根也叫做的平方根也叫做0 0的算术平方根。的算术平方根。 11正数a的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根（3）重要性质：）重要性质： 12平方根例1分别求出下列各数的平方根和算术平方根（1）0.0225（2）（3）196思路引导：按照平方根和算术平方根的定义求解即可13每一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，一个正数的算术平方根一定是正数。14立方根立方根 概念概念: :如果一个数的立方等于如果一个数的立方等于a a，这个数就叫做这个数就叫做a a的立方根的立方根( (也称数也称数a a的三次方根的三次方根) .) . 即若即若x x3 3=a=a，则，则x x叫做叫做a a的立方根，的立方根，或称或称x x叫做叫做a a的三次方根的三次方根 152.2.表示方法：表示方法：被开方数被开方数根指数根指数根号根号读作读作“三次根号三次根号”；读作读作“三次根号三次根号a a”；不能省略不能省略16开立方概念：开立方概念： 求一个数的立方根的运算，求一个数的立方根的运算，叫做开立方叫做开立方. .开立方运算开立方运算 立方运算立方运算 17立方根的性质：立方根的性质： (1)(1)正数有一个正的立方根；正数有一个正的立方根； (2)(2)负数有一个负的立方根；负数有一个负的立方根； (3)0(3)0的立方根是的立方根是0 0（4）重要性质：重要性质： 18立方根例2分别求出下列各数的立方根：（1）0.008（2）-思路引导：根据立方根的定义，看着两个数分别是哪个 数的立方19立方根和平方根有所不同的是负数有立方根，并且每个数有且只有一个立方根。20按数的结构分类：按数的结构分类： 按数的性质分类：按数的性质分类： 21（1）a是一个实数，它的相反数为是一个实数，它的相反数为 ， 绝对值为绝对值为 ；（2）如果）如果 a 0，那么它的倒数为，那么它的倒数为 。 在实数范围内，相反数、倒数、绝在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。倒数、绝对值的意义完全一样。探究一探究一22例：例：-3.14的相反数是的相反数是_3.14-423 1.求下列各数的相反数和绝值求下列各数的相反数和绝值:242 判断判断：无理数一定含有根号（无理数一定含有根号（）无限小数一定是无理数（无限小数一定是无理数（）无理数的无理数的绝对值绝对值一定是无理数一定是无理数 （）两无理数的两无理数的和和一定是无理数（一定是无理数（）两个无理数的两个无理数的积积一定是无理数（一定是无理数（）有理数与数轴上的点一一对应（有理数与数轴上的点一一对应（）25填空填空2、绝对值等于、绝对值等于 的数是的数是 ， 的平的平 方方 是是 3、比较大小：、比较大小： 、正实数的绝对值是、正实数的绝对值是 ，的绝对，的绝对值是值是 ，负实数的绝对值是，负实数的绝对值是 .它本身它本身0 0它的相反数它的相反数4、一个数的绝对值是、一个数的绝对值是 ，则这个数是，则这个数是 .26 实数和有理数一样也可以进实数和有理数一样也可以进行行加、减、乘、除加、减、乘、除(除数不为除数不为0)、乘方乘方运算，而且运算，而且正数及正数及0可以进可以进行行开平方开平方运算运算,任意一个实数任意一个实数可以可以进行进行开立方开立方运算运算.在进行实数的运在进行实数的运算时算时,有理数的有理数的运算法则与运算律运算法则与运算律对实数仍然适用。对实数仍然适用。探究二探究二 有理数的运算在实数范围内还行得通吗？有理数的运算在实数范围内还行得通吗？27运算律 加法交换律：a十b=ba 加法结合律：(ab)ca（bc） 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)ca（bc） 分配律：a(bc)abac。 在进行实数运算时，有理数的运算法则及在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用运算性质同样适用实数的运算顺序实数的运算顺序先算乘方开方，再算乘除，先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算最后算加减，有括号的先算括号里面括号里面有理数的运算律有哪些？有理数的运算律有哪些？28实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，实数比较大小常用的方法：1 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。2正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小。29例 比较- 与- 的大小。思路引导：“两个负数，绝对值大的反而小”在实数比较大小中同样适用。30因为而 所以根据两个负数，绝对值大的反而小，可知31再淡的墨水也胜过最强的记忆。 3233