1第十三章第十三章第十三章第十三章 电流和恒磁场电流和恒磁场电流和恒磁场电流和恒磁场一，概述一，概述1. 1. 大量电荷作定向运动形大量电荷作定向运动形成电流（传导电流，运流成电流（传导电流，运流电流）电流）2. 2. 恒定电流形成的条件恒定电流形成的条件 有可移动的带电粒子或带电体有可移动的带电粒子或带电体 导体内建立不随时间变化的恒定电场导体内建立不随时间变化的恒定电场（恒定电势差）（恒定电势差）闭合回路中有一电源闭合回路中有一电源二二. . 几个重要的物理概几个重要的物理概念和物理量念和物理量流向：正电荷移动方向流向：正电荷移动方向（1）单位时间内通过导体中某截面的）单位时间内通过导体中某截面的电荷电荷大小：大小：1. 1. 电流电流 ：单位单位：安培：安培(1A=1库仑秒库仑秒)+漂移速度漂移速度(drift velocity)：外场外场作用下，自由电子定向运动平均作用下，自由电子定向运动平均速度速度设的大小为，方向为设的大小为，方向为正电荷运动方向正电荷运动方向的电流取正值的电流取正值由此得由此得e为电荷电量的绝对值为电荷电量的绝对值对小面元对小面元二电流密度二电流密度二电流密度二电流密度 (current density) (current density)该点该点正正电荷电荷运动方向运动方向方向方向规定：规定：大小大小规定：等于在单位时间内过该点附近垂直于规定：等于在单位时间内过该点附近垂直于正电荷运动方向的单位面积的电荷正电荷运动方向的单位面积的电荷由此定义得由此定义得与与比较比较 大小：单位时间内通过该大小：单位时间内通过该点附近，垂直于正电荷运动点附近，垂直于正电荷运动方向的单位面积的电荷方向的单位面积的电荷方向：该点正电荷运动方向方向：该点正电荷运动方向则有则有所以通过任一截面电流所以通过任一截面电流7 电流密度电流密度(electric current density)是描述电流分是描述电流分布的矢量。在导体中任意一点的方向与正载流子布的矢量。在导体中任意一点的方向与正载流子在该点的流动方向相同，大小等于通过该点并垂在该点的流动方向相同，大小等于通过该点并垂直于电流的单位截面的电流强度。直于电流的单位截面的电流强度。 通过任一面元单位面积的电流强度等于该处通过任一面元单位面积的电流强度等于该处电流密度矢量沿该面元法向的分量。电流密度矢量沿该面元法向的分量。 电流密度的单位是电流密度的单位是A m-2 。 8 在有电流的导体中，每一点都具有一定大小和方在有电流的导体中，每一点都具有一定大小和方向的电流密度矢量，构成了矢量场，称为向的电流密度矢量，构成了矢量场，称为电流场电流场。 引入引入电流线电流线形象描述电流场中电流的分布，规定形象描述电流场中电流的分布，规定曲线上每点的切线方向都与该点的电流密度矢量的曲线上每点的切线方向都与该点的电流密度矢量的方向相同。方向相同。 由电流线围成的管状区域称为由电流线围成的管状区域称为电流管电流管。恒定条件。恒定条件下，通过同一电流管任一横截面的电流相等。下，通过同一电流管任一横截面的电流相等。 由由电电流流密密度度的的定定义义知知通通过过导导体体中中任任一一曲曲面面S的的电流电流I为为 与电通量定义式相比较，与电通量定义式相比较，I 与与 j 的关系也是一个通的关系也是一个通量与其矢量场的关系。量与其矢量场的关系。 恒恒 定定 电电 流流 三稳恒电流三稳恒电流(steady current)SI 若闭合曲面若闭合曲面 S 内的电荷不随时间内的电荷不随时间而变化，有而变化，有单位时间内通过闭合曲面向外流出的电荷，等于此时单位时间内通过闭合曲面向外流出的电荷，等于此时间内闭合曲面里电荷的减少量间内闭合曲面里电荷的减少量 对应图中对应图中第三章第三章 稳恒电流稳恒电流10必有必有 I = 0稳稳恒恒情情况况必必有有 I入入= I出出I入入I出出电路电路II电路电路I二端二端网络网络 基尔霍夫第一定律基尔霍夫第一定律规定从节点流出：规定从节点流出： I 0 ，流入节点：流入节点：I R ，在无限长的螺线管中心处，在无限长的螺线管中心处2.在管端口处：在管端口处：l /2 l /2O51 从以上分析可以看出长直载流螺线管的磁场从以上分析可以看出长直载流螺线管的磁场分布情况：在螺线管中心区域为均匀磁场，在分布情况：在螺线管中心区域为均匀磁场，在管端口处，磁场等于中心处的一半，在螺线管管端口处，磁场等于中心处的一半，在螺线管外部距管轴中心约七个管半径处，磁场就几乎外部距管轴中心约七个管半径处，磁场就几乎等于零了。等于零了。52 10-4 磁场的高斯定理和安培环路定理磁场的高斯定理和安培环路定理一、磁场的高斯定理一、磁场的高斯定理(Gauss theorem magnetic field) 根根据据毕毕萨萨定定律律，电电流流元元的的磁磁场场以以其其为为轴轴对对称称分分布布，电电流流元元平平面面内内磁磁感感线线是是头头尾尾相相接接的的闭闭合合同同心心圆圆。穿穿入入或或穿穿出出闭闭合合曲曲面面的的磁磁感感应应线线的的净净条条数数必必等于零，等于零，任意闭合曲面的任意闭合曲面的 都为零都为零。 由叠加原理，整个电流回路的由叠加原理，整个电流回路的磁场中任意闭合曲面的磁通量必磁场中任意闭合曲面的磁通量必定都等于零，定都等于零，磁场的高斯定理。磁场的高斯定理。恒定电流磁场是散度为零的场恒定电流磁场是散度为零的场 53二、安培环路定理二、安培环路定理(Amperes circulation theorem)1. 安培环路定理的表述安培环路定理的表述 恒电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的恒电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的积分等于此环路所包围的电流代数和的积分等于此环路所包围的电流代数和的 0倍。倍。表达式表达式 符号规定：穿过回路符号规定：穿过回路 L 的电的电流方向与流方向与 L 的环绕方向服从右的环绕方向服从右手关系的，手关系的，I 为正，否则为负。为正，否则为负。 不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。54 2. 安培环路定理的证明：安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场无限长直电流的磁场 在围绕单根载流导线的在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路。垂直平面内的任一回路。在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路 。r55闭合路径闭合路径L不包围电流不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路，在垂直平面内的任一回路 围绕单根载流导线的任一回路围绕单根载流导线的任一回路 L 对对L每个线元每个线元 以过垂直导线平面作参考分解以过垂直导线平面作参考分解为分量为分量 和垂直于该平面的分量和垂直于该平面的分量证明步骤同上证明步骤同上56 围绕多根载流导线的任一回路围绕多根载流导线的任一回路 L 设设 电流过回路，电流过回路， 根电流不穿过回路根电流不穿过回路L。令。令 分别为分别为单根导线产生的磁场单根导线产生的磁场所有电流所有电流的总场的总场穿过回路穿过回路的电流的电流任意回路任意回路57 安培环路定理的存在说明安培环路定理的存在说明磁场不是保守场磁场不是保守场，不，不存在标量势函数。存在标量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一这是恒磁场不同于静电场的一个十分重要的性质。个十分重要的性质。 安培环路定理可以用来安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定处理电流分布具有一定对称性的恒磁场问题，对称性的恒磁场问题，就像用高斯定理来处理电就像用高斯定理来处理电荷分布具有一定对称性的静电场问题一样。荷分布具有一定对称性的静电场问题一样。 根据矢量分析根据矢量分析闭闭合合路路径径包包围围的的电电流流为为电电流流密度沿所包围的曲面的积分密度沿所包围的曲面的积分 安培环路定理微分形式安培环路定理微分形式 583. 安培环路定理的应用安培环路定理的应用例例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。：求无限长载流圆柱体磁场分布。解：圆柱体轴对称，以轴上一点为解：圆柱体轴对称，以轴上一点为圆心取垂直轴的平面内半径为圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的的圆为安培环路圆为安培环路 圆柱外磁场与长直电流磁场相同，而内部的磁圆柱外磁场与长直电流磁场相同，而内部的磁场与场与r成正比；若是柱面电流则内部磁场为零。成正比；若是柱面电流则内部磁场为零。59例例2： 求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。由对称性分析场结构由对称性分析场结构 1. 磁场只有与轴平行磁场只有与轴平行的水平分量；的水平分量； 2.因为是无限长，在因为是无限长，在与轴等距离的平行线与轴等距离的平行线上磁感应强度相等。上磁感应强度相等。 解：一个单位长度上有解：一个单位长度上有 n匝的无限长直螺线管匝的无限长直螺线管由于是密绕，每匝视为由于是密绕，每匝视为圆线圈。圆线圈。60 取取 L 矩形回路矩形回路, ab 边在边在轴上，轴上，cd 边与轴平行，另边与轴平行，另两个边两个边bc、da 垂直于轴。垂直于轴。 根据安培环路定理：根据安培环路定理：其方向与电流满足右手螺旋法则。其方向与电流满足右手螺旋法则。 无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零，无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零，因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：61例例3： 求载流螺绕环内的磁场。求载流螺绕环内的磁场。 根据对称性知，在与环共轴的根据对称性知，在与环共轴的圆周上磁感应强度的大小相等，圆周上磁感应强度的大小相等，方向沿圆周的切线方向。方向沿圆周的切线方向。磁感线磁感线是与环共轴的一系列同心圆。是与环共轴的一系列同心圆。磁场的结构与长直螺旋管类似，磁场的结构与长直螺旋管类似， 环内磁场只能平行于线圈的轴线环内磁场只能平行于线圈的轴线(即每一个圆线圈过圆心的垂线即每一个圆线圈过圆心的垂线)p解：设环很细，环的平均半径为解：设环很细，环的平均半径为R ，总匝数为总匝数为N，通有电流强度为，通有电流强度为 I。62设螺绕环的半径为设螺绕环的半径为 ，共有，共有N 匝线圈。匝线圈。以平均半径以平均半径 作圆为安培回路作圆为安培回路 L得：得：其磁场方向与电流满足右手螺旋。其磁场方向与电流满足右手螺旋。n 为单位长度上的匝数。为单位长度上的匝数。同理可求得在螺绕管外部的磁场为零：同理可求得在螺绕管外部的磁场为零：L63 例例4：设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，：设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流密度为密度为 j ,求无限大平板电流的磁场分布。求无限大平板电流的磁场分布。解：解：可视为无限多平行长可视为无限多平行长直电流的场。直电流的场。因此因此 P 点的点的场具有对称性。场具有对称性。 做做 PO 垂线，取对称的长直垂线，取对称的长直电流元，其合磁场方向平行于电流平面。无数对电流元，其合磁场方向平行于电流平面。无数对称元在称元在 P点的总磁场方向平行于电流平面。点的总磁场方向平行于电流平面。 电流平面无限大，故与电流平面等距离的各点电流平面无限大，故与电流平面等距离的各点B 的大小相等。的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。在该平面两侧的磁场方向相反。64 作一安培回路如图：作一安培回路如图：bc和和 da两边被电流平面两边被电流平面等分。等分。ab和和cd 与电流平与电流平面平行，则有面平行，则有 结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。方向如图所示。方向如图所示。一一.安培力安培力 （洛伦兹力）洛伦兹力）方向满足右手关系方向满足右手关系.在在SI制中制中,K=1,写为矢量式为写为矢量式为:BIdl则一段导线受力为则一段导线受力为:可证明可证明:安培力的实质就是洛伦兹力安培力的实质就是洛伦兹力.一个自由电子受洛伦兹力一个自由电子受洛伦兹力f = evBsin Idl v 方向向里方向向里在体积元在体积元dV=Sdl中中,有有nSdl个电子个电子,则所受的合力为则所受的合力为实验表明实验表明:在磁场中的电流元在磁场中的电流元Idl 受磁力受磁力dF, 大小为大小为:13.4. 磁场对运动磁场对运动 电荷的作电荷的作用用dF = nSdl f = nSdl evBsin =IdlBsin =(nevS)dl Bsin BIdlIdl v =IdlBsin 写成矢量式为写成矢量式为dF=IdlBsin 因此因此这正是安培力这正是安培力.此规律叫安培定律此规律叫安培定律方向满足右手关系方向满足右手关系.磁场对电流元磁场对电流元Idl 作用的力作用的力,在数值上等于电流元在数值上等于电流元的大小的大小,电流元所在处的磁感强度大小以及电流元电流元所在处的磁感强度大小以及电流元Idl 和磁感强度和磁感强度B 之间的夹角之间的夹角 的正弦之乘积的正弦之乘积. 有限长载流导线有限长载流导线所受的安培力所受的安培力 安培定律安培定律 意义意义 磁场对电流元作用的力磁场对电流元作用的力 ，在数值上等，在数值上等于电流元于电流元 的大小的大小 、电流元所在处的磁感强度、电流元所在处的磁感强度 大小以及电流元和磁感应强度之间的夹角大小以及电流元和磁感应强度之间的夹角 的正弦的正弦之乘积之乘积 , 垂直于垂直于 和和 所组成的平面所组成的平面, 且且 与与 同向同向 .实验证明：运明：运动电荷在荷在磁磁场中受力中受力 n洛仑兹力做功吗？洛仑兹力做功吗？n洛仑兹力与安培力的关系？洛仑兹力与安培力的关系？洛仑兹力洛仑兹力ABCo根据对称性分析根据对称性分析解解 例例 1 如图一通有电流如图一通有电流 的闭合回路放在磁感应强的闭合回路放在磁感应强度为度为 的均匀磁场中，回路平面与磁感强度的均匀磁场中，回路平面与磁感强度 垂直垂直 .回路由直导线回路由直导线 AB 和半径为和半径为 的圆弧导线的圆弧导线 BCA 组成组成 ，电流为顺时针方向电流为顺时针方向, 求磁场作用于闭合导线的力求磁场作用于闭合导线的力.ACoB因因由于由于故故OdR 例例 3 半径为半径为 载有电流载有电流 的导体圆环与电流为的导体圆环与电流为 的长直导线的长直导线 放在同一平面内（如图），放在同一平面内（如图）， 直导线与圆心直导线与圆心相距为相距为 d ，且且 R d 两者间绝缘两者间绝缘 , 求求 作用在圆电流上作用在圆电流上的磁场力的磁场力.解解.OdR.OdR.二二 电流的单位电流的单位 两无限长平行载流直导线间的相互作用两无限长平行载流直导线间的相互作用 国际单位制中电流单位安培的定义国际单位制中电流单位安培的定义 在真空中两平行长直导线相在真空中两平行长直导线相距距 1 m ，通有大小相等、方向相通有大小相等、方向相同的电流，当两导线每单位长度同的电流，当两导线每单位长度上的吸引力为上的吸引力为 时，时，规定这时的电流为规定这时的电流为 1 A （安培）安培）. 问问 若两直导线电流方向相反若两直导线电流方向相反二者之间的作用力如何？二者之间的作用力如何？可得可得 M,N O,PMNOPI一一 磁场作用于载流线圈的磁力矩磁场作用于载流线圈的磁力矩如图如图 均匀均匀磁场中有一矩形载流线圈磁场中有一矩形载流线圈MNOP磁场对载流线圈的作用线圈有线圈有N匝时匝时MNOPI M,N O,P 结论结论: 均匀磁场中，任意形状刚性闭合平面均匀磁场中，任意形状刚性闭合平面通电线圈所受的力和力矩为通电线圈所受的力和力矩为与与 成右螺旋成右螺旋0pqq=稳定平衡稳定平衡非稳定平衡非稳定平衡 磁矩磁矩 例例1 边长为边长为m的正方形线圈，共有的正方形线圈，共有50 匝匝 ，通以，通以电流电流2A ，把线圈放在磁感应强度为把线圈放在磁感应强度为 T的均匀磁场中的均匀磁场中. 问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁力矩等问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁力矩等于多少？于多少？解解得得问问 如果是任意形状载流线圈，结果如何？如果是任意形状载流线圈，结果如何？二二. 两通电平行长直导线的相互作用两通电平行长直导线的相互作用1.两无限长平行载流直导线间的相互作用两无限长平行载流直导线间的相互作用ABCDdI1I2B1dl2dF2无限长平行直导线无限长平行直导线AB和和CD,相距为相距为d通有同向电流通有同向电流I1和和I2AB在在CD处产生的场处产生的场B1CD导线上电流元受力导线上电流元受力dF2则则CD上每单位长受力上每单位长受力2.电流的单位电流的单位同样的方法可算得同样的方法可算得,AB导线导线单位长受力为单位长受力为:若两导线载有同向电流若两导线载有同向电流,则两导线则两导线相互吸引相互吸引;若反向电流若反向电流,则相互排斥则相互排斥.安培的定义安培的定义:在真空中有两根平行的长直导线在真空中有两根平行的长直导线,它们之间相距它们之间相距1m,两导线上电流的流向相同两导线上电流的流向相同,大小相等大小相等.调节电流调节电流,使两导线单位长的吸引力为使两导线单位长的吸引力为2107N/m.规定此时的电流为规定此时的电流为1A.由此可得出由此可得出:11-7磁场对载流线圈的磁力矩磁场对载流线圈的磁力矩考虑均匀磁场中有载流线圈考虑均匀磁场中有载流线圈.BINMOPl2l1n F1F2F3F4Bn F1F2 MPI MN受力：受力：F1=BI l2OP受力：受力：F2=BI l2PM受力：受力：F3=BI l1sin( )NO受力：受力：F4=BI l1 sin 由图可知：由图可知： F =0但力矩不为零但力矩不为零,即即F1F2构成力矩构成力矩M = F1l1cos =F1l1sin = BIl2l1sin =BISsin 磁力矩磁力矩B nF1F2 MPI M =BISsin 引入磁矩引入磁矩: m = IS nM = ISnB = mB力矩使线圈逆时针转动力矩使线圈逆时针转动.考虑方向后有考虑方向后有:注意注意:上式对任意形状的平面线圈同样成立上式对任意形状的平面线圈同样成立.甚至对作圆甚至对作圆周运动的带电粒子也成立周运动的带电粒子也成立.讨论讨论:1.当当 =0时时, M=0, 线圈处于平衡状态线圈处于平衡状态. .结论结论:载流闭合线圈在均匀磁场中载流闭合线圈在均匀磁场中, F=0, M = mB .2.当当 =90时时, M=BIS, 线圈受磁力矩最大线圈受磁力矩最大. .3.当当 =180时时, M=0, 线圈处于非稳定平衡状态线圈处于非稳定平衡状态. .如刚性平面载流线圈处于不均匀磁场 中，则用积分求出磁力矩84例例2.载流导线间的磁场力载流导线间的磁场力如图如图,一无限长载流直导线与一半径为一无限长载流直导线与一半径为R的圆电流处于同一平面内的圆电流处于同一平面内,它它们的电流分别为们的电流分别为I1和和I2, 直导线与圆心相距为直导线与圆心相距为d, 且且R d . 求作用在圆求作用在圆电流上的磁场力电流上的磁场力.I1xyOI2R解解:在圆电流上取电流元在圆电流上取电流元I2dl .I2dl无限长导线在该处产生的无限长导线在该处产生的B的大小为的大小为 此电流元所受的磁力此电流元所受的磁力dF 的大小为的大小为dF方向向外方向向外已知已知 dl = Rd , 上式为上式为d dF沿沿Ox轴和轴和Oy轴的分解轴的分解dFx=dFcos , dFy=dFsin dFxdFy 例题例题2续续即即:则则:于是圆电流所受的力为于是圆电流所受的力为受力方向指向载流长直导线受力方向指向载流长直导线.