本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的方程来求解。的方程来求解。可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用降阶法求解，一般都没有初等解法，用降阶法求解，一般都没有初等解法，以二阶方程以二阶方程 为例展开讨论为例展开讨论重点讨论能将二阶导数解出的情况重点讨论能将二阶导数解出的情况 如果我们设法作变量代换把它从二阶降如果我们设法作变量代换把它从二阶降至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解求解一、一、 型型特点：特点：右端不含右端不含 仅是仅是 x 的函数的函数 解法：解法： 将将作为新的未知函数作为新的未知函数降阶降阶 令令有有变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程 积分积分即即 再积分再积分对对 n 阶方程阶方程同理同理令令积分得积分得如此连续积分如此连续积分n 次即得原方程的次即得原方程的含有含有n个任意常数的通解个任意常数的通解一般情况一般情况特点：特点：解法：解法：z 的的(n-k)阶方程阶方程可得通解可得通解.例例1 解解例例 2解解代入原方程代入原方程解线性方程解线性方程, 得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为二、二、 型型特点：特点： 右端不含右端不含 y 解法：解法：降阶降阶令令 代入原方程得代入原方程得若已求得其通解为若已求得其通解为回代回代 得得变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程积分得积分得例例3 解方程解方程解解令令分离变量得分离变量得即即由由由由故故解方程解方程解解即即例例4 三、三、 型型特点：特点：右端不含右端不含 x降阶降阶解法：解法：令令由复合函数求导法则得由复合函数求导法则得代入原方程得代入原方程得 这是一个关于这是一个关于 y ，p 的一阶方程的一阶方程若已求得它的通解为若已求得它的通解为变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程积分得积分得即得原方程的通解即得原方程的通解一般情况一般情况特点：特点：解法：解法：求得其解为求得其解为原方程通解为原方程通解为例例5 解方程解方程解解令令若若即即积分得积分得即即或或若若则则包含在通解中包含在通解中如一方程既属于不含如一方程既属于不含 x 型型 又属于不含又属于不含 y 型型则一般而言则一般而言若两边可消去若两边可消去 p 作为不含作为不含 x 型（类型三）型（类型三）来解较简单来解较简单 若两边不可消去若两边不可消去 p 作为不含作为不含 y 型（类型二）型（类型二）来解较简单来解较简单注注 例例6 解方程解方程 解解 令令 例例 7解一解一代入原方程得代入原方程得 原方程通解为原方程通解为解二解二从而通解为从而通解为解三解三原方程变为原方程变为两边积分两边积分,得得原方程通解为原方程通解为四、恰当导数方程四、恰当导数方程特点特点解法：解法： 类似于全微分方程可降低一阶类似于全微分方程可降低一阶再设法求解这个方程再设法求解这个方程.例例 8解解将方程写成将方程写成积分后得通解积分后得通解注意注意: :这一段技巧性较高这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程关键是配导数的方程.五、齐次方程五、齐次方程特点：特点：解法：解法：例例 9解解代入原方程代入原方程,得得原方程通解为原方程通解为补充题补充题:解解代入原方程代入原方程,得得原方程通解为原方程通解为例例10 六、小结六、小结解法解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解通过代换将其化成较低阶的方程来求解.思考题思考题思考题解答思考题解答都是微分方程的解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,常数常数所求通解为所求通解为练练 习习 题题练习题答案练习题答案