第第13章章 机械振动基础机械振动基础13-1 机械振动及其描述机械振动及其描述13-2 单自由度系统振动单自由度系统振动13-3 两自由度系统振动两自由度系统振动13-4 机械振动的工程应用机械振动的工程应用 13.1.1机械振动现象 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 利利：振动给料机 弊弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。研究振动的目的研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。 振动的利弊振动的利弊：所谓机械振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。所谓机械振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。13-1 机械振动及其描述9/21/20242理论力学振动系统模型振动系统模型1. 力学模型力学模型连续系统连续系统实际工程结构的物理参数，例如板壳、梁、轴等的质量及弹性，一般是连续分布的，保持这种特点抽象出的模型中的系统称为连续系统连续系统或分布参数系统分布参数系统。离散系统离散系统绝大多数场合中，为了能够分析或者便于分析，需要通过适当的准则将分布参数“凝缩”成有限个离散的参数，这样便得到离散系统离散系统。 9/21/20243理论力学2. 自由度自由度自自由由度度数数是指完全描述该系统一切部位在任何瞬时的位置所需要的独立坐标独立坐标的数目。力学模型力学模型离散系统离散系统连续系统连续系统自由度数自由度数多自由度系统多自由度系统无限自由度系统无限自由度系统参数特征参数特征集中参数系统集中参数系统分布参数系统分布参数系统数学工具数学工具常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程最简模型最简模型单自由度系统单自由度系统一维振动一维振动9/21/20244理论力学3. 振动系统：振动系统：按运动微分方程的形式分振动振动/ /系统分类系统分类运动方程运动方程线性叠加原理线性叠加原理线性振动线性振动/ /系统系统线性微分方程成立非线性振动非线性振动/ /系统系统 非线性微分方程不成立9/21/20245理论力学4. 振动分类振动分类 按激励的有无和性质分振动分类振动分类定义定义特点与例子特点与例子固有振动固有振动无无激激励励时时系系统统所所有有可可能能运运动动的的集合集合不不是是现现实实的的振振动动，仅仅反反映映系系统统关关于于振振动动的固有属性。的固有属性。自由振动自由振动激励消失后系统所作的振动激励消失后系统所作的振动是现实的振动。是现实的振动。强迫振动强迫振动系统在外界激励下所作的振动系统在外界激励下所作的振动随机振动随机振动系系统统在在非非确确定定性性的的随随机机激激励励下下所作的振动。所作的振动。包包括括物物理理参参数数具具有有随随机机性性质质的的系系统统发发生生的振动。行驶在公路上的汽车的振动。的振动。行驶在公路上的汽车的振动。自激振动自激振动系系统统受受到到由由其其自自身身运运动动诱诱发发出出来来的的激激励励作作用用而而产产生生和和维维持持的的振动。振动。系系统统包包含含有有补补充充能能量量的的能能源源。演演奏奏提提琴琴所所发发出出的的乐乐声声, , 是是琴琴弦弦作作自自激激振振动动所所致致。车车床床切切削削加加工工时时在在某某种种切切削削用用量量下下所所发发生生的的激激烈烈的的高高频频振振动动, , 架架空空电电缆缆在在风风作作用用下下所所发发生生的的与与风风向向垂垂直直的的上上下下振振动动以以及飞机机翼的颤振等。及飞机机翼的颤振等。参数振动参数振动激激励励因因素素以以系系统统本本身身的的参参数数随随时间变化的形式出现的振动。时间变化的形式出现的振动。秋秋千千在在初初始始小小摆摆角角下下被被越越荡荡越越高高，受受到到的的激激励励以以摆摆长长随随时时间间变变化化的的形形式式出出现现，摆长的变化由人体的下蹲及站直造成。摆长的变化由人体的下蹲及站直造成。9/21/20246理论力学13.1.2. 13.1.2. 简谐振动简谐振动 1. 表示 2. 三要素9/21/20247理论力学3. 周期与频率周期与频率周期 T 频率 f单位单位：T：s(秒) f：Hz(赫兹) ：rad/s9/21/20248理论力学4. 位移、速度与加速度位移、速度与加速度位移 速度加速度9/21/20249理论力学5. 位移、速度与加速度关系位移、速度与加速度关系(1) 位移、速度与加速度均为简谐函数，且同频。(2) 速度超前位移90，加速度超前位移180。(3) 加速度与位移关系： 加速度与位移成正比加速度与位移成正比, 方向相反方向相反, 指向平衡位置。指向平衡位置。9/21/202410理论力学旋转矢量旋转矢量简谐振动表示简谐振动表示位移、速度与加速度关系位移、速度与加速度关系xReImoMtMReImoAReImoAAA26. 旋转矢量表示旋转矢量表示9/21/202411理论力学旋转矢量旋转矢量复振幅，包含振幅和相位信息复振幅，包含振幅和相位信息7.复数表示9/21/202412理论力学二. 简谐振动合成1. 两个同频率振动合成两个同频率振动合成同频振动合成ReIm x(t)oAA11A229/21/202413理论力学二. 简谐振动合成2. 两个不同频率振动合成两个不同频率振动合成(1) 1与与 2之比为有理数之比为有理数9/21/202414理论力学二. 简谐振动合成2. 两个不同频率振动合成两个不同频率振动合成(1) 1与与 2之比为有理数之比为有理数T为x1(t)和x2(t)合成之周期。结论结论： 两不同频振动合成不再为简谐振动。但频率比为有理数时，可合成为周期振动。合成振动周期为两简谐振动周期之最小公倍数。9/21/202415理论力学(2) 1与与 2之比为无理数之比为无理数结论:无公共周期，合成振动为非周期振动。无公共周期，合成振动为非周期振动。9/21/202416理论力学(2) 1与与 2之比为无理数之比为无理数“拍拍”: 频频率率为为的的变变幅幅振振动动，振振幅幅在在02A之之间间缓慢周期变化。包络线为缓慢周期变化。包络线为A(t)，拍频为拍频为 。2Atx(t)o9/21/202417理论力学x(t)stl0kABxomgFm 物块质量 k 弹簧刚度l0 弹簧自然长度st弹簧静变形静止时运动时13.2.1 单自由度系统自由振动 1.1.单自由度单自由度弹簧质量系统弹簧质量系统模型模型13-2 单自由度系统振动9/21/202418理论力学2.单自由度固有振动方程求解无阻尼自由振动周期固有频率9/21/202419理论力学3.单自由度系统自由振动初始条件：时刻后自由振动解：对于t=0初始条件：9/21/202420理论力学4.固有频率计算 静变形法9/21/202421理论力学13.2.213.2.2计算固有频率的计算固有频率的能量法能量法: :原理与方法原理与方法对对不不计计阻阻尼尼的的系系统统，因因为为没没有有能能量量损损失失，所所以以可可以以用用能能量量守守恒原理建立自由振动微分方程，或直接求出系统固有频率。恒原理建立自由振动微分方程，或直接求出系统固有频率。方法方法设系统任一瞬时的动能及势能分别为设系统任一瞬时的动能及势能分别为T及及U，由机械能守恒有由机械能守恒有将系统能量的具体表达式代入，便可导出自由振动微分方程，将系统能量的具体表达式代入，便可导出自由振动微分方程，并求出系统固有频率。并求出系统固有频率。原理原理9/21/202422理论力学例例1 1 弹簧质点系统弹簧质点系统 动能动能势能势能由于速度不可能恒为零由于速度不可能恒为零k9/21/202423理论力学在静平衡位置，系统势能为零，动能最大在静平衡位置，系统势能为零，动能最大在最大位移处，系统动能为零，势能最大在最大位移处，系统动能为零，势能最大能量守恒能量守恒考虑两个特殊位置上系统能量：考虑两个特殊位置上系统能量： 由由于于系系统统的的固固有有振振动动是是以以固固有有频频率率为为振振动动频频率率的的简简谐谐振振动，所以最大速度与最大位移有关系：动，所以最大速度与最大位移有关系：9/21/202424理论力学例例2 位移计位移计k2 BWk1bcO质质量量块块重重W,摇摇臂臂AB绕绕支支点点O的的转转动动惯惯量量为为I,两两弹弹簧刚度为簧刚度为k1,k2,求系统固有频率。求系统固有频率。解最大动能最大动能最大势能最大势能能量守恒能量守恒设质块最大速度和最大位移为9/21/202425理论力学例3 圆柱体微振动圆柱体微振动重重W半半径径r的的圆圆柱柱体体在在半半径径为为R圆圆柱柱面面内内作作无无滑滑动动滚滚动动。求求圆圆柱柱体体在在平平衡衡位位置置附附近近作作微微振振动的微分方程和固有频率。动的微分方程和固有频率。解 设角坐标，系统势能为A为瞬心，质心线速度为设圆柱体转动角速度为系统动能9/21/202426理论力学弹簧串并联1.并联弹簧变形相等等效弹簧刚度stl0mgF1 F2k1 k2stl0mgFKe9/21/202427理论力学2.串联弹簧受力相等等效弹簧刚度l0stmgFKe1stl1l22stk1k2mgF9/21/202428理论力学 13.2.4 单自由度系统的无阻尼强迫振动单自由度系统的无阻尼强迫振动一、强迫振动的概念一、强迫振动的概念 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。 简谐激振力： H力幅； 激振力的圆频率 ； 激振力的初相位。无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。二、无阻尼强迫振动微分方程及其解二、无阻尼强迫振动微分方程及其解9/21/202429理论力学 为对应齐次方程的通解为特解全解为：稳态强迫振动 3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统 的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。三、稳态强迫振动的主要特性三、稳态强迫振动的主要特性：1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的 质量及刚度系数无关。9/21/202430理论力学(1) =0时 (2) 时，振幅b随 增大而增大；当 时，(3) 时，振动相位与激振力相位反相，相差 。 b 随 增大而减小； 振幅比或称动力系数 频率比 曲线 幅频响应曲线 （幅频特性曲线）19/21/202431理论力学 4、共振现象，这种现象称为共振。此时，9/21/202432理论力学