第四节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 平面及其方程 第八章 一、平面方程一、平面方程1.1.平面的点法式方程平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量法向量. .量则有 故机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1.1.求过三点求过三点即解解: 取该平面取该平面 的法向量为的法向量为的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程机动 目录 上页 下页 返回 完毕 当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程. 时,平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2 2、平面的一般方程、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数那么显然方程与此点法式方程等价, 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程. .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 特殊情形特殊情形 当当 D = 0 D = 0 时时, A x + B y + C z , A x + B y + C z = 0 = 0 表示表示 通过原点的平面通过原点的平面; 当当 A = 0 时时, B y + C z + D = 0 的法向的法向量量平面平行于平面平行于 x 轴轴; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示平行于平行于 y 轴的平面轴的平面;平行于平行于 z 轴的平面轴的平面;平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面；平行于平行于 zox 面面 的平面的平面.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 求通过求通过 x 轴和点轴和点( 4, 3, 1) 的平面方的平面方程程.例例3.3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. .解解: : 因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程(P18 例3 , 自己练习) 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3 3、两平面的夹角、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角( (常为锐角常为锐角) )称为两平面的夹角称为两平面的夹角. .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 特别有下列结论：特别有下列结论：机动 目录 上页 下页 返回 完毕 因此有例例3. 一平面通过两点一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: : 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为即的法向量约去C , 得即和则所求平面故方程为 且机动 目录 上页 下页 返回 完毕 外一点,求 设设设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为(点到平面的距离公式点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 4.4.点到平面的距离点到平面的距离1 1、空间直线一般、点向式、参数式方程、空间直线一般、点向式、参数式方程 2 2、线面间的位置关系、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、空间直线的方程 第八章 因此其一般式方程1. 1 1. 1 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1 1、空间直线一般、点向式、参数式方程、空间直线一般、点向式、参数式方程 1.2 对称式方程对称式方程故有说明说明: 某些分母为零时某些分母为零时, 其分子也理解为零其分子也理解为零.设直线上的动点为 那么此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如, 当和它的方向向量 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1.3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4.4.用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点先在直线上找一点. .再求直线的方向向量令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路解题思路: : 先找直线上一点;再找直线的方向向量.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 2. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角两直线的夹角指其方向向量间的夹角( (通常取锐角通常取锐角) )的方向向量分别为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 特别有特别有:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5. 5. 求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解: : 直线直线直线二直线夹角 的余弦为(参考P35例8)从而的方向向量为的方向向量为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角称为直线与平面间的夹角; ;3. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足直线和它在平面上的投影直直线和它在平面上的投影直机动 目录 上页 下页 返回 完毕 特别有特别有: :解解: : 取已知平面的法向量取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 垂 例例6. 求过点求过点(1,2 , 4) 且与平面且与平面机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1. 空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式 内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 直线2. 线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 平面 :L L / 夹角公式：3. 面与线间的关系面与线间的关系直线 L :机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:机动 目录 上页 下页 返回 完毕