非正弦周期函数非正弦周期函数:矩形波矩形波分解分解成不同频率正弦波逐个叠加成不同频率正弦波逐个叠加7.5 傅里叶级数傅里叶级数设想是把一个复杂的设想是把一个复杂的周期函数周期函数 f (t) 表示表示为为即即7.5.1 三角函数系三角函数系 称为三角级数称为三角级数各类各类正弦函数正弦函数 的迭加的迭加,三角函数系三角函数系其中任何两个其中任何两个不同不同的函数的乘积的函数的乘积在区间在区间即即在在 上的上的正交性正交性是指是指:即即上的积分不为上的积分不为0. 三角函数系中每个函数自身的平方在三角函数系中每个函数自身的平方在 7.5.2 周期为周期为 的函数的傅里叶级数展开的函数的傅里叶级数展开问题问题: f (x) 若能展开成三角级数若能展开成三角级数, 是什么是什么?两边积分两边积分利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性由系数公式所确定的三角级数由系数公式所确定的三角级数傅里叶系数公式傅里叶系数公式: 称为函数称为函数 f (x)(诱导出诱导出)的的傅里叶级数傅里叶级数,f (x) 记为记为问题问题:当当 f (x)满足什么条件时满足什么条件时,它的傅里叶级数收敛它的傅里叶级数收敛? 收敛定理收敛定理7.16 (收敛定理狄利克雷充分条件收敛定理狄利克雷充分条件) 设设 f (x)是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数.如果它如果它满足条件满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点点,并且至多只有有限个极值点并且至多只有有限个极值点,则则 f (x)的傅里的傅里叶叶级数收敛级数收敛,并且并且(1) 当当x 是是 f (x)的连续点时的连续点时,级数收敛于级数收敛于 f (x);(2) 当当x 是是 f (x)的间断点时的间断点时, 收敛于收敛于收敛定理等价于：收敛定理等价于：如果设傅里叶级数的和函数为如果设傅里叶级数的和函数为 S(x)，即即则则设函数设函数 f (x)以以 为周期为周期, 且且 其傅氏级数在其傅氏级数在 处收敛于处收敛于( ).所以所以,特别地特别地, 当当 f (x)为奇函数时为奇函数时, 它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为当当 f (x)为偶函数时为偶函数时, 它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为f (x)的傅里叶级数为的傅里叶级数为称为称为正弦级数正弦级数;称为称为余弦级数余弦级数.f (x)的傅里叶级数为的傅里叶级数为周期函数的周期函数的傅里叶级数展开步骤傅里叶级数展开步骤:(由图形写出收敛域由图形写出收敛域; 求出第一类间断点求出第一类间断点)(2) 求出傅里叶系数求出傅里叶系数;(3) 写出写出傅里叶傅里叶级数级数,并注明它在并注明它在何处收敛于何处收敛于 f (x).(1) 画出画出 f (x)的图形的图形, 并验证是否满足狄利克雷并验证是否满足狄利克雷 收敛定理条件收敛定理条件;解解 计算傅里叶系数计算傅里叶系数例例1 函数函数 f (x)以以 为周期为周期, 且且将将 f (x) 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数. f (x) 的图的图象象故故 f (x)的傅里叶级数为的傅里叶级数为由于由于 f (x)满足狄利克雷充分条件满足狄利克雷充分条件,由收敛定理由收敛定理收敛于收敛于(2) 将将F (x) 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数;作作 法法收敛定理的条件收敛定理的条件, 也可展开成傅里叶级数也可展开成傅里叶级数.(周期延拓周期延拓);级数收敛于级数收敛于7.5.3 函数在函数在 上的傅里叶级数上的傅里叶级数如果如果 f (x)只在区间只在区间 上有定义上有定义, 并且满足并且满足得到一定义在得到一定义在这样就得到这样就得到 f (x)展开式展开式;解解例例2 将函数将函数 展开为展开为傅里叶级数傅里叶级数.拓广的周期函数拓广的周期函数的傅里叶级数展开式在的傅里叶级数展开式在因函数在区间因函数在区间上满足收敛定理的条件上满足收敛定理的条件,收敛于收敛于 f (x).又又 f (x)是偶函数是偶函数f (x)是偶函数是偶函数已知函数的傅氏展开式为已知函数的傅氏展开式为利用傅氏展开式也可求数项级数的和利用傅氏展开式也可求数项级数的和设设收敛定理的条件收敛定理的条件,我们首先将函数我们首先将函数 f (x)的定义的定义延延7.5.4 函数在函数在 上的正弦级数或余弦级数上的正弦级数或余弦级数如果如果 f (x)只在区间只在区间 上有定义上有定义, 并且满足并且满足拓到区间拓到区间 上上, 得到一定义在得到一定义在 上的上的函数函数F(x) , 使它使它 在内成为奇函数在内成为奇函数(偶函数偶函数), 按这种方式拓广函数定义域的过程称为按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓奇延拓(偶延拓偶延拓). 然后将然后将F(x)展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数, 这个级这个级数必定是正弦级数数必定是正弦级数(余弦级数余弦级数). (1) 奇延拓奇延拓则则 f (x) 的傅里叶级数的傅里叶级数:再限制再限制x在区间在区间 上上, 就得到就得到 f (x)展开式的展开式的正弦级数正弦级数(余弦级数余弦级数)展开式展开式.(2) 偶延拓偶延拓则则 f (x) 的傅里叶级数的傅里叶级数:解解 (1) 展开成展开成正弦级数正弦级数. .正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数.例例3 将函数将函数 分别展开成分别展开成对对 f (x)进行进行奇延拓奇延拓,(2) 展开成余弦级数展开成余弦级数. 对对 f (x)进行进行偶延拓偶延拓,先作变量代换先作变量代换 7.5.5 周期为周期为2l 的函数的傅里叶级数的函数的傅里叶级数条件条件,若周期为若周期为2l 的周期函数的周期函数 f (x)满足收敛定理的满足收敛定理的展开成傅里叶级数的方法是展开成傅里叶级数的方法是: 将函数变换到将函数变换到再利用周期为再利用周期为 的周期函数的傅里叶级数展开法的周期函数的傅里叶级数展开法,最后回到变量最后回到变量x, 就得到就得到 f (x)的傅里叶展开式的傅里叶展开式则有则有(1) 如果如果 f (x)为为奇函奇函数数,其中其中, 傅里叶傅里叶系数为系数为则有则有(2) 如果如果 f (x)为为偶函数偶函数,其中系数其中系数解解例例4 设设 f (x)是周期为是周期为4的周期函数的周期函数, 它在它在的表达式为的表达式为 将其展开将其展开成傅里叶级数成傅里叶级数.和函数图形和函数图形且收敛定理的条件且收敛定理的条件.