第二十八章第二十八章锐角三角函数锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例 新知新知1 1 解直角三角形的知识在实际问题中的应用解直角三角形的知识在实际问题中的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型题转化为数学模型.将某些实际问题中的数量关系化归为将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般步骤是：解这类问题的一般步骤是： （1 1）弄清）弄清题题中名中名词词、术语术语的意的意义义，如仰角、俯角、，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题题意画出几何意画出几何图图形，建立数学模型形，建立数学模型. . （2 2）将已知条件）将已知条件转转化化为为几何几何图图形中的形中的边边、角、角或它或它们们之之间间的关系，把的关系，把实际问题转实际问题转化化为为解直角三角形的解直角三角形的问题问题. . （3 3）根据直角三角形（或通）根据直角三角形（或通过过作垂作垂线线构造直构造直角三角形）元素（角三角形）元素（边边、角）之、角）之间间的关系解有关的直角三的关系解有关的直角三角形角形. . （4 4）得出数学）得出数学问题问题的答案并的答案并检验检验答案是否符答案是否符合合实际实际意意义义，从而得出，从而得出实际问题实际问题的解的解. . 要点诠释：要点诠释： 1. 1. 解直角三角形解直角三角形实质实质是利用三角函数知是利用三角函数知识识，通，通过过数数值计值计算，去求出算，去求出图图形中的某些形中的某些边边的的长长或角的大小，求或角的大小，求解解时时最好画出它的示意最好画出它的示意图图. . 2. 2. 非直接解直角三角形的非直接解直角三角形的问题问题，要，要观观察察图图形特点，形特点，适当引适当引辅辅助助线线，使其，使其转转化化为为直角三角形或矩形来解直角三角形或矩形来解. .（如（如图图28-2-1628-2-16所示）所示） 3. 3. 解直角三角形的解直角三角形的应应用用题时题时，首先弄清，首先弄清题题意（关意（关键键弄清其中名弄清其中名词术语词术语的意的意义义），然后正确画出示意），然后正确画出示意图图，进进而根据条件而根据条件选择选择合适的方法求解合适的方法求解. . 【例【例1 1】为为解决停解决停车难车难的的问题问题，在如，在如图图28-2-1728-2-17一段一段长长56 m56 m的路段开辟停的路段开辟停车车位，每个位，每个车车位是位是长长5 m5 m、宽宽2.2 m2.2 m的矩形，矩形的的矩形，矩形的边边与路的与路的边缘边缘成成4545角，那么角，那么这这个路段个路段最多可以划出最多可以划出_个个这样这样的停的停车车位位. . （ 1.41.4） 例题精讲例题精讲 解析解析 如如图图28-2-1828-2-18，根据三角函数可求，根据三角函数可求BCBC，CECE，由由BEBE= =BCBC+ +CECE可求可求BEBE，再根据三角函数可求，再根据三角函数可求EFEF，再根据停，再根据停车车位的个数位的个数= =（56-56-BEBE）EFEF+1+1，列式，列式计计算即可求解算即可求解. . 答案答案 1717 1. 1. 如如图图28-2-1928-2-19，为为安全起安全起见见，萌萌，萌萌拟拟加加长长滑梯，将其滑梯，将其倾倾斜斜角由角由4545降至降至3030. .已知滑梯已知滑梯ABAB的的长为长为3 m3 m，点，点D D，B B，C C在同一水平在同一水平地面上，那么加地面上，那么加长长后的滑梯后的滑梯ADAD的的长长是（是（ ） 举一反三举一反三C C 2. 2. 如如图图28-2-2028-2-20，ACAC是是电线电线杆杆ABAB的一根拉的一根拉线线，测测得得BCBC的的长为长为6 m6 m，ACBACB=50=50，则则拉拉线线ACAC的的长为长为（ ）D D 3. 3. 如如图图28-2-2128-2-21，两条，两条宽宽度均度均为为40 m40 m的公路相交的公路相交成成角，那么角，那么这这两条公路在相交两条公路在相交处处的公共部分（的公共部分（图图中中阴影部分）的路面面阴影部分）的路面面积积是（是（ ）A A 新知新知2 2 与坡度、坡角相关的实际问题的常见图形与坡度、坡角相关的实际问题的常见图形及解题策略及解题策略 如如图图28-2-2228-2-22，坡面的坡面的铅铅垂高度垂高度（h h）和水平）和水平长长度度（l l）的比叫做坡面）的比叫做坡面坡度（或坡比），坡度（或坡比），记记作作i i，即，即i i= .= .坡面与水平面的坡面与水平面的夹夹角叫做坡角，角叫做坡角，记记作作. . 有有i i= =tan= =tan， 显显然，坡度越大，坡角然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡. . 【例【例2 2】如如图图28-2-2328-2-23，一水，一水库库大大坝坝的横断面的横断面为为梯梯形形ABCDABCD，坝顶坝顶BCBC宽宽6 m6 m，坝坝高高20 m20 m，斜坡，斜坡ABAB的坡度的坡度i=i=12.512.5，斜坡，斜坡CDCD的坡角的坡角为为3030，求，求坝坝底底ADAD的的长长度度. .（精确到（精确到0.1 m0.1 m，参考数据：，参考数据： 1.414 1.414， 1.732.)1.732.) 例题精讲例题精讲 解析解析 过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可. 解解 作作BEBE ADAD，CFCF ADAD，垂足分别为点，垂足分别为点E E，F F，则四，则四边形边形BCFEBCFE是矩形，是矩形，如如图图28-2-2428-2-24所示所示. . 1. 1. 如如图图28-2-2528-2-25，将一个将一个RtRtABCABC形状形状的楔子从木的楔子从木桩桩的底端的底端点点P P沿水平方向打入沿水平方向打入木木桩桩底下，使木底下，使木桩桩向上运向上运动动. .已知楔子斜面的已知楔子斜面的倾倾斜角斜角为为1515，若楔子沿水平方向前，若楔子沿水平方向前进进6 cm6 cm（如箭（如箭头头所示），所示），则则木木桩桩上升了（上升了（ ） A. 6sin15A. 6sin15 cm cm B. 6cos15B. 6cos15 cm cm C. 6tan15C. 6tan15 cm cm D. cmD. cm 举一反三举一反三C C 2. 2. 某人沿坡度某人沿坡度i i=13=13的坡面向上走的坡面向上走50 m50 m，则则此此人离地面的高度人离地面的高度为为（ ）A A 新知新知3 3 与方向角相关的实与方向角相关的实际问题的常见图形及解题策略际问题的常见图形及解题策略 方向角：指北或指南方向方向角：指北或指南方向线线与目与目标标方向方向线线所成的小于所成的小于9090的的平面角，叫做方向角平面角，叫做方向角. . 如如图图28-2-2628-2-26中的目中的目标标方向方向线线OAOA，OBOB，OCOC，ODOD的方向角分的方向角分别别表示北偏表示北偏东东3030，南偏，南偏东东4545，南偏西，南偏西8080，北偏西，北偏西6060. . 特特别别地，地，东东南方向指的是南偏南方向指的是南偏东东4545，东东北方向指的是北偏北方向指的是北偏东东4545，西南方向指的是南，西南方向指的是南偏西偏西4545，西北方向指的是北偏西，西北方向指的是北偏西4545. . 【例【例3 3】如如图图28-2-2728-2-27所示，一艘所示，一艘观观光游船从港口光游船从港口A A以北偏以北偏东东6060的方向出港的方向出港观观光，航行光，航行8080海里至海里至C C处时处时发发生了生了侧侧翻沉船事故，立即翻沉船事故，立即发发出了求救信号，一艘在港口正出了求救信号，一艘在港口正东东方向的海警船接到方向的海警船接到求救信号，求救信号，测测得事故船在它的北偏得事故船在它的北偏东东3737方向，方向，马马上上以以4040海里每小海里每小时时的速度前往救援，求海警船到达事故的速度前往救援，求海警船到达事故船船C C处处所需的大所需的大约时间约时间. .（温馨提示：（温馨提示：sin53sin530.80.8，cos53cos530.60.6） 例题精讲例题精讲 解析解析 过过点点C C作作CDCDABAB交交ABAB延延长线长线于点于点D D. .先解先解RtRtACDACD得出得出CDCD= = ACAC=40=40海里，再解海里，再解RtRtCBDCBD中，中，得出得出BCBC= = 5050，然后根据，然后根据时间时间= =路程路程速度即可求出海警船到达事故船速度即可求出海警船到达事故船C C处处所需的所需的时间时间. . 解解 如如图图28-2-2828-2-28，过过点点C C作作CDCDABAB交交ABAB延延长线长线于于D D. . 在在RtRtACDACD中，中， ADCADC=90=90，CADCAD=30=30，ACAC=80=80海里，海里， CDCD= = ACAC=40=40海里海里. .在在RtRtCBDCBD中中CDBCDB=90=90，CBDCBD=90=90-37-37=53=53，BCBC= = =50 =50（海里），（海里），海海警船到达事故船警船到达事故船C C处处所需的所需的时间时间大大约为约为：505040=5440=54（h h）. . 1. 1. 如如图图28-2-2928-2-29，在一笔直的海岸，在一笔直的海岸线线l l上有上有A A，B B两个两个观测观测站，站，ABAB=2 km=2 km，从，从A A测测得得船船C C在北偏在北偏东东4545的方向，从的方向，从B B测测得船得船C C在北偏在北偏东东22.522.5的方向，的方向，则则船船C C离海岸离海岸线线l l的距离（即的距离（即CDCD的的长长）为为（ ） 举一反三举一反三B B 2. 2. 如如图图28-2-3028-2-30，马马航航370370失失联联后，后，“海巡海巡3131”船船匀速在印度洋搜救，当它行匀速在印度洋搜救，当它行驶驶到到A A处时处时，发现发现它的北偏它的北偏东东3030方向方向有一灯塔有一灯塔B B，海巡船，海巡船继续继续向北航行向北航行4 h4 h后到达后到达C C处处，发现发现灯塔灯塔B B在它的在它的北偏北偏东东6060方向方向. .若海巡船若海巡船继续继续向向北航行，那么要再北航行，那么要再过过多少多少时间时间海海巡船离灯塔巡船离灯塔B B最近？（最近？（ ）B B 新知新知4 4 与仰角、俯角相关的实际问题的常见图形与仰角、俯角相关的实际问题的常见图形及解题策略及解题策略 如如图图28-2-3128-2-31，在，在进进行行测测量量时时，从下向上看，从下向上看，视线视线与水平与水平线线的的夹夹角叫做仰角；从上往下看，角叫做仰角；从上往下看，视线视线与水平与水平线线的的夹夹角叫做俯角角叫做俯角. . 常常见图见图形如形如图图28-2-3228-2-32中的中的.解解题题策略策略均均为为：从仰角、俯角入手建立它：从仰角、俯角入手建立它们们所在的直角三角形，所在的直角三角形，再利用三角函数求出物体的高再利用三角函数求出物体的高. . 【例【例4 4】如如图图28-2-3328-2-33，在在电线电线杆杆CDCD上的上的C C处处引拉引拉线线CECE，CFCF固定固定电线电线杆，拉杆，拉线线CECE和地面所成的角和地面所成的角CEDCED= =6060，在离，在离电线电线杆杆6 m6 m的的B B处处安置高安置高为为1.5 m1.5 m的的测测角角仪仪ABAB，在，在A A处测处测得得电线电线杆上杆上C C处处的的仰角仰角为为3030，求拉，求拉线线CECE的的长长（结结果保留小数点后一位，果保留小数点后一位，参考数据：参考数据： 1.41 1.41， 1.73 1.73）. . 例题精讲例题精讲 解析解析 此此题题主要考主要考查查解直角三角形的解直角三角形的应应用用. .要求要求学生借助仰角关系构造直学生借助仰角关系构造直角三角形，并角三角形，并结结合合图图形利用形利用三角函数解直角三角形三角函数解直角三角形. . 由由题题意可先意可先过过点点A A作作AHAHCDCD于点于点H H，如，如图图28-2-3428-2-34所所示示. .在在RtRtACHACH中，可求出中，可求出CHCH，进进而而CDCD= =CHCH+ +HDHD= =CHCH+ +ABAB，再在，再在RtRtCEDCED中，求出中，求出CECE的的长长. . 1. 1. 如如图图28-2-3528-2-35，线线段段ABAB，CDCD表示甲，乙两幢居民楼的高，表示甲，乙两幢居民楼的高，两楼两楼间间的距离的距离BDBD是是60 m.60 m.某人站某人站在在A A处测处测得得C C点点的俯角的俯角为为3737，D D点的俯角点的俯角为为4848（人的身高忽（人的身高忽略不略不计计），求乙楼的高度），求乙楼的高度CDCD. .（参考数据：（参考数据：sin37sin37 ，tan37tan37 ，sin48sin48 ，tan48tan48 ） 举一反三举一反三解：解：过点点C C作作CECEABAB交交ABAB于点于点E E，如答如答图28-2-728-2-7，则四四边形形EBDCEBDC为矩形，矩形，BEBE= =CDCD, ,CECE= =BDBD=60 m.=60 m.根据根据题意可得，意可得，ADBADB=48=48，ACEACE=37=37， 利用解直角三角形的知利用解直角三角形的知识识来解决生活中的来解决生活中的实际问实际问题题，其关，其关键键是将是将实际问题转实际问题转化化为为数学模型，而将数学模型，而将实际实际问题问题中的数量关系中的数量关系转转化化为为直角三角形中的直角三角形中的边边角关系，角关系，是解决是解决这这一一类实际问题类实际问题的关的关键键. . 方法规律方法规律 7. (67. (6分分) )如如图图KT28-2-18KT28-2-18，海平面上灯塔海平面上灯塔O O方方圆圆100 km100 km范范围围内有暗礁，一艘内有暗礁，一艘轮轮船自西向船自西向东东方向航行，在点方向航行，在点A A处测处测量得灯量得灯塔塔O O在北偏在北偏东东6060方向，方向，继续继续航行航行100 km100 km后，在点后，在点B B处测处测量得灯塔量得灯塔O O在北偏在北偏东东3737方向方向. .请请你作出判断，你作出判断，为为了避免了避免触礁，触礁，这这艘艘轮轮船是否要改船是否要改变变航向？（参考数据：航向？（参考数据：sin37sin370.60180.6018，cos37cos370.79860.7986，tan37tan370.75360.7536， 1.732 1.732）解：如答解：如答图28-2-828-2-8所示所示, ,过点点O O作作OCOC垂直于垂直于ABAB的的延延长线于点于点C C. .在在RtRtCOBCOB中，中，BOCBOC=37=37，BCBC= =OCOCtan37tan37，答答图28-2-828-2-8在在RtRtAOCAOC中，中，AOCAOC=60=60，ACAC= =OCOCtan60tan60= = OCOC，又又ACAC= =ABAB+ +BCBC，ABAB=100 km=100 km，即，即 OCOC=100+=100+OCOCtan37tan37，OCOC= 102= 102. .2 2（kmkm）. .OCOC100 km100 km，这艘艘轮船可以不改船可以不改变航向，不会触礁航向，不会触礁. . 8. (68. (6分分) )气象台气象台发发布的布的卫卫星云星云图显图显示示, ,代号代号为为W W的台的台风风在某海在某海岛岛( (设为设为点点O O) )的南偏的南偏东东4545方向的方向的B B点点生成生成, ,测测得得OBOB= = 台台风风中心中心从点从点B B以以40 km/h40 km/h的速度向正北方向的速度向正北方向移移动动，经经5 h5 h后到达海面上的点后到达海面上的点C C处处. .因受气旋影响因受气旋影响, ,台台风风中心从点中心从点C C开始以开始以30 km/h30 km/h的速度向的速度向北偏西北偏西6060方向方向继续继续移移动动. .以以O O为为原点建立如原点建立如图图KT28-2-KT28-2-1919所示的直角坐所示的直角坐标标系系. . (1)(1)台台风风中心生成点中心生成点B B的坐的坐标为标为_，台，台风风中心中心转转折点折点C C的坐的坐标为标为_._.( (结结果保留根号果保留根号) ) (2)(2)已知距台已知距台风风中心中心20 km20 km范范围围内均会受到台内均会受到台风风侵侵袭袭. .如果某城市如果某城市( (设为设为点点A A) )位于点位于点O O的正北方向且的正北方向且处处于台于台风风中心的移中心的移动动路路线线上上, ,那么台那么台风风从生成到最初侵从生成到最初侵袭该袭该城城要要经过经过多多长时间长时间？系？系. . 7. (67. (6分分) )如如图图KT28-2-25KT28-2-25，在一次在一次军军事演事演习习中，中，蓝蓝方在一方在一条条东东西走向的公路上的西走向的公路上的A A处处朝朝正南方向撤退，正南方向撤退，红红方在公路上方在公路上的的B B处处沿南偏西沿南偏西6060方向前方向前进进实实施施拦拦截，截，红红方行方行驶驶1 000 m1 000 m到达到达C C处处后，因前方无法通后，因前方无法通行，行，红红方决定方决定调调整方向，再朝南偏西整方向，再朝南偏西4545方向前方向前进进了相了相同的距离，同的距离，刚刚好在好在D D处处成功成功拦拦截截蓝蓝方，求方，求拦拦截点截点D D处处到公到公路的距离（路的距离（结结果不取近似果不取近似值值） 解：如答解：如答图28-2-1028-2-10，过B B作作ABAB的垂的垂线，过C C作作ABAB的平行的平行线，两，两线交于点交于点E E；过C C作作ABAB的垂的垂线，过D D作作ABAB的平行的平行线，两，两线交于点交于点F F，则E E=F=F=9090，拦截截点点D D处到公路的距离到公路的距离DADA= =BEBE+ +CFCF 8. (68. (6分分) )温岭是受台温岭是受台风风影响影响较为严较为严重的城市之一如重的城市之一如图图KT28-2-26KT28-2-26，坡上有一棵与水，坡上有一棵与水平面平面EFEF垂直的大垂直的大树树ABAB，台，台风风过过后，大后，大树倾树倾斜后折断倒在山斜后折断倒在山坡上，大坡上，大树顶树顶部部B B接触到坡面上的接触到坡面上的D D点已知山坡的坡角点已知山坡的坡角AEFAEF=30=30，量得，量得树树干干倾倾斜角斜角BACBAC=45=45，大，大树树被折断被折断部分和坡面所成的角部分和坡面所成的角ADCADC=60=60且且ADAD=4 m=4 m （1 1）求）求CAECAE的度数；的度数； （2 2）求）求这这棵大棵大树树折断前的高度折断前的高度ABAB. . （结结果精确到果精确到个位，参考数据：个位，参考数据： 1.4 1.4， 1.71.7， 2.42.4） 解：（解：（1 1）如答）如答图28-28-2-112-11所示，延所示，延长BABA交交EFEF于于点点H H. . 则AHEAHE=90=90，HAEHAE=60=60. . BACBAC=45=45, , CAECAE=180=180-EAHEAH-BACBAC=75=75. . 7. (67. (6分分) )如如图图KT28-2-33KT28-2-33，为为测测量某建筑物量某建筑物BCBC上旗杆上旗杆ABAB的高度，的高度，小明在距离建筑物小明在距离建筑物BCBC底部底部11.4 m11.4 m的点的点F F处处，测测得得视线视线与水平与水平线夹线夹角角AEDAED=60=60，BEDBED=45=45小明小明的的观测观测点与地面的距离点与地面的距离EFEF为为1.6 m1.6 m （1 1）求建筑物）求建筑物BCBC的高度；的高度； （2 2）求旗杆）求旗杆ABAB的高度（的高度（结结果精确到果精确到0.1 m0.1 m） （参考数据：（参考数据： 1.41 1.41， 1.73 1.73）解：（解：（1 1）根据）根据题意得意得EFEFFCFC，EDEDFCFC，四四边形形CDEFCDEF是矩形是矩形BEDBED=45=45，EBDEBD=45=45.BDBD= =EDED= =FCFC=11=11. .4 m.4 m.BCBC= =BDBD+ +DC=BD+EFDC=BD+EF=11=11. .4+14+1. .6=13(m).6=13(m).答：建筑物答：建筑物BCBC的高度的高度为13 m.13 m.（2 2）AEDAED=60=60，AD=EDAD=EDtan60tan601111. .4 41 1. .73197319. .7(m).7(m).AB=AD-BDAB=AD-BD=19=19. .7-117-11. .4=84=8. .3(m).3(m).答：旗答：旗杆杆ABAB的高度的高度约为8 8. .3 m3 m 8. (68. (6分分) )如如图图KT28-2-34KT28-2-34，山坡上有一棵山坡上有一棵树树ABAB，树树底部底部B B点到山脚点到山脚C C点的距离点的距离BCBC为为6 m6 m，山坡的坡角山坡的坡角为为3030小宁在山脚小宁在山脚的平地的平地F F处测处测量量这这棵棵树树的高，点的高，点C C到到测测角角仪仪EFEF的水平距离的水平距离CFCF=1 m=1 m，从，从E E处测处测得得树顶树顶部部A A的仰的仰角角为为4545，树树底部底部B B的仰角的仰角为为2020，求，求树树ABAB的高度的高度 （参考数（参考数值值：sin20sin200.340.34，cos20cos200.940.94，tan20tan200.360.36） 解：解：底部底部B B点到山脚点到山脚C C点的距离点的距离BCBC为 m m，山坡的坡角，山坡的坡角为3030, , 在在RtRtBDCBDC中中, ,DCDC= =BCBCcos30cos30= = =9 m.=9 m. CFCF=1 m=1 m，DFDF=9+1=10 m.=9+1=10 m.GEGE=10 m.=10 m. AEGAEG=45=45，AGAG= =EGEG=10 m.=10 m. 在直角三角形在直角三角形BGEBGE中，中，BG=GEBG=GEtan20tan20=10=100 0. .36=336=3. .6 m6 m， AB=AG-BGAB=AG-BG=10-3=10-3. .6=66=6. .4 m.4 m. 答：答：树高高约为6 6. .4 m4 m