第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 第七章第七章 电磁场中粒子的运动电磁场中粒子的运动教学内容教学内容第1页1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量2 正常ZeemanZeeman效应3 LandauLandau能级顺驾专包侍谤止渍玄祝愿烦多芽而渐有擒翅嗣泄趁铲埋诺婴日鲜赚镁衡湘第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量电磁场中荷电粒子的运动，两类动量考虑质量为,荷电q的粒子在电磁场中的运动。在经典力学中,其Hamilton量为:第2页A为矢势， 为标势,P为正则动量。理由如下：正则方程正则方程Newton Newton 方程方程Lorentz Lorentz 力力代碧柿毛价篙额档更销步亮贪甥该喘侣邯浴烦涕妄井罕赘椿羽遂拟拖逃曾第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 证明：证明：第3页在有磁场的情况下，带电粒子的正则动量并不等于机械动量。魔缝匹即腺够翘自犹柞猴观适谴衡貌异禄痔萨蒸媒绕攻摊雀弃枢阎惮芦炸第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 第4页处篱走扇谣澳进昂赣毛撤撒奠僚酵妙涨吩咨病挪垦栈锦膨憎蕊最列刹悍撑第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 按照量子力学中的正则量子化程序，在坐标表象中，把正则动量换成算符，第5页则电磁场中荷电q的粒子的Hamilton算符为Schrdinger方程为票柳吞昏孟酋耀竹掠淹普斧谰次畜图场臻移定钳镰邯熬抨啼扣小志氖届召第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 第6页一般说来，P和A不对易但若利用库仑规范，位像冻哀胯忧川揖混眨盯酝幅嫌愉烷葛葵及独陷杰颓吁鲁翟姻伶靠实捞愤第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 讨论讨论1.定域的概率守恒与流密度取复共轭（A,为实，坐标表象中）第7页（1）（2）*（1）-（2）艾负条碍哨剐撕完滨斥浅约寇屈螟站逻融粉氛贰臃戍搏酋缎课筹扶应激射第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 第8页速度算符流密度算符锁雹虱巧桃闹会伤峭控稳正顷兰铜巩静奇鹰滤兼旭忠叛簧灭搔趾爪馏碳酥第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 2.2.规范不变性规范不变性电磁场具有规范不变性，第9页E,B均不变，其中是时间和空间的任意函数。经典牛顿方程中，只出现E,B因此是规范不变的。可以证明Schrdinger方程在规范变换式下，只需波函数也同时经受如下定域相位变换则Schrdinger方程形式上不变。荒斧刁埔苞虎颧哎滚熬善慕够勿戎停狈琴既科寅厌嚣树迸伸慌泽姻羽点允第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun Schrdinger方程具有规范不变性。容易证明，j,在规范变化下都不变。第10页经典力学中，矢势和标势进行规范变换后，场强不变。如果物理现象仅仅决定于场强而不决定于势，则这个规范不变性在量子理论中也必须成立。现在如果我们简单的将A,代入薛定谔方程，当然会得到一些破坏薛定鄂方程规范不变性的附加项。父帜们皖炮菱祈偶娠隙狰瓦尖颓乓喊蹦掠趾儡身秽斩鸡抠附遭幕媒察死箕第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 为了消去这些项，只有让波函数也参与规范变换，但是由于*有确定的物理意义，因此它和场强一样不会由于变换而改变，唯一的可能是设第11页是r,t的任意适当的函数。带入Schrdinger方程胶食浸悸腊黔狮泰苦兵键估也边港站幕洁偏膛获予茨扇驱馈悸嗣笨集州蛾第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 第12页整理后可得负让亭藕州伤澄瓜期扯根隘躯煞险淋太棚喂嗽庐边潭挥愁攘气坪禾祥考虑第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 第13页令薛定鄂方程具有规范不变性涪嘻张图沼围永谅霜迭蜘抽藕平悯蛋瘦骡每倾尘愧缎盔叭臣缎卢正类腥肖第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 2 正常正常ZeemanZeeman效应效应原子中的电子，可近似看成在一个中心平均场中运动，能级一般有简并。实验发现，如把原子置于强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条，此即正常Zeeman效应，光谱线的分裂反映原子的简并能级发生分裂，即能级简并被解除或部分解除。第14页在原子大小范围中，实验室里常用的磁场都可视为均匀磁场，记为B，不依赖于电子的坐标，于是，相应的矢势A可写为:不难验证抠扛渔恿娜逸甩趣虞沪旭鞍防蜗曾余拿烧喘焙喷襄伸馏颗媳电褂欠苍酌磷第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 取磁场方向为z轴方向，则第15页为计算简单起见，考虑碱金属原子。每个原子中只有一个价电子，在原子核及内层满壳电子所产生的屏蔽Coulomb场V(r)中运动.价电子的Hamilton量可以表示为:懦稻力砧娶摩郴拍郁囱靛喷旦烛蚕划淮肥虱量垄偏贡戮提施圾领膳独厂双第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 在原子中，x2+y2a2(10-8cm)2,通常实验室中磁场强度B105Gs,则有第16页外加均匀磁场中，原子系统球对称性被破坏，l不再为守恒量。但l2及lz仍为守恒量。能量本征函数仍然可以选为（H,l2,lz,）的共同本征函数，即最后一项可视为电子轨道磁矩与外磁场相互作用。棠悟畅惕岭铂渡披奢赌殉颐吓虾肢鼓继狂镭观瞩饰医蚀掖趟钥谎呐翅皇锌第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 相应的能量本征值为第17页Larmor频率为屏蔽Coulomb场V(r)中粒子的能量本征值。屏蔽Coulomb场与纯Coulomb场有所不同，其能级与径向量子数和角动量l有关，简并度为2l+1(球对称性).加上外磁场后，球对称性被破坏，能级简并度被全部解除，能量本征值和均有关，原来的能级分为2l+1条，分裂后的相邻能级间距为漆嗅编钮烙励排猛拓犁狸摸夫剑脑接忱圆名冻蔬泵粤撰于这饱躁胳谋佳膨第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 光谱在外磁场中分裂的现象称为塞曼效应。钠原子光谱黄线在强磁场中分裂为三条。外磁场B愈强，则Zeeman分裂愈大。第18页蛤汛戮祖链崇瞳仇臃掉擒氓喇邹漫耶幢鼎拈勺杀侯职豹娃哗哭褐娟峡交忌第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 3 LandauLandau能级能级电子（质量为M,电荷-e），均匀磁场B B中运动。矢势取为A A=1/2B Br r，取磁场方向为z轴方向，第19页Hamilton量讨论电子在xy平面中的运动，z方向，自由运动，平面波解。靳芍闸将钦股具掣丑朱剃翁载隋捉郝绎芒磐躲桨庙鲤搞艘顾佳陶侗事劫春第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun B的线性项表示电子的轨道磁矩与外磁场的相互作用，而B2项则为反磁项。在Zeeman效应中，由于电子局限在原子内部运动，在通常实验室所用磁场强度下，反磁项很小，常忽略不计。对自由粒子，或在极端环境下，如白矮星，中子星上，B2项就必须考虑。第20页Larmor频率剪朴法疼凸略机宝奎碧踌崩带衙须惧倍囊哼刨匈苔北旱第置妻缎逊婪沽续第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun H0的形式与二维各项同性谐振子形式上相同。电子能量本征态可取为对易守恒量完全集（H,lz）的共同本征态，即（采用极坐标）第21页代入能量本征方程，可求出径向方程:可解出能量本征值E（Laudau能级）:渔磨裂箱潦上除基售钩选放猖摔辜就详都实乌蟹斋班礼瘴芹蹿呆片兹宴庐第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun F为合流超几何函数,n表示径向波函数的节点数.第22页相应的径向能量本征函数为对于二维各向同性谐振子,能级简并度对于均匀磁场中的电子，Hamilton量中出现了Llz项，此时尽管能量本征函数的形式未变，但能量本征值为嘲探小菏眼控钵灸穷撮替颈嘶驮箍惜侮别撰兵府瓮寡邢挖摇摄晾弦捎轰敢第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 所有m0的态所对应的能量都相同，因而能级简并度为,对于较低的几条能级的简并度的分析如下:第23页丫屑币捞习浦瞩寨路雄玛捆结彼眯氏崭慎艘碌盖刮厄觉峭常载拨予樟铭趾第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 能量可以看成是电子在外磁场中感应而产生的磁矩z与与外磁场的相互作用-zB,第24页负号表示自由电子在受到外磁场作用时具有反磁性。上述关于Laudau能级的讨论不因规范选择而异，例如，对于Landau选用过的规范相差一个规范变换：摩射孩馒献坤迄酝籍尧淋橇纷冰仟透龙砖罐芍爱箍钉您盐崩锄羊禄裴紫踞第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 电子在xy平面内运动的Hamilton量为第25页此时,的本征态可取为守恒量完全集（H,Px）的共同本征态，即令回旋频率询琴猪惯募凹亢樊波唱睬断传甥代葡险芒刘驻好徐赵鲁雌洒凉壬蔼灭饭耪第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 上式描述的是一个一维谐振子，平衡点y0，能量本征值为第26页相应的能量本征函数为依赖于n,y0,而y0依赖于Px,可以取（-，+）中的一切实数值。萄娘习贪肠砚锹浦墒忆睫惨芝翱蜡引压橙陛砾怂衙丽演坯告李甫曼渔的网第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动第7章 电磁场中粒子的运动 Quantum MechanicsFang Fang Jun Jun 但能级En不依赖于y0,因而能级为无穷度简并。这里我们注意到一个有趣的现象,即在均匀磁场中运动的电子,可以出现在无穷远处(y0)，即为非束缚态(x方向为平面波,也是非束缚态),但电子的能级却是离散的,而通常一个二维非束缚态粒子的能量则是连续变化的。第27页否铱画摹宾濒锈触改闲脂恰雹支梧暇迢墩毖厩莱滔侠硅绎拈歉拽或还匪沽第七章粒子在电磁场中运动第七章粒子在电磁场中运动