下下下下回回回回停停停停第二节第二节第二节第二节 常用统计分布常用统计分布常用统计分布常用统计分布一、常见分布一、常见分布二、概率分布二、概率分布 的分位数的分位数一、常见分布一、常见分布一、常见分布一、常见分布 在实际中我们往往会遇到这样的问题在实际中我们往往会遇到这样的问题,要求有要求有本节介绍一些最常见的统计分布本节介绍一些最常见的统计分布. 例如在无线电接收中，某时刻接收到的信号例如在无线电接收中，某时刻接收到的信号通常需要求出通常需要求出Y的概率分布的概率分布.关关随机变量的函数随机变量的函数的概率分布的概率分布.这个信号通过平方示波器，则这个信号通过平方示波器，则是一个随机变量是一个随机变量X ，若我们把，若我们把输出的信号为输出的信号为正态分布是自然界中最常见的一类概率正态分布是自然界中最常见的一类概率例如在统计物理中，若气体分子速度是随例如在统计物理中，若气体分子速度是随的分布规律的分布规律.各分量相互独立各分量相互独立，且均服且均服从从机向量机向量要求该分子运动动能要求该分子运动动能的概率分布问题的概率分布问题.是关于这些正态随机变量的平方以及平方和是关于这些正态随机变量的平方以及平方和高高，体重等都近似服从正态分布体重等都近似服从正态分布.常见的问题常见的问题分布，例如测量的误差；人的生理尺寸：身分布，例如测量的误差；人的生理尺寸：身1. 2 分布分布要求要求S的分布的分布,自然首先就要知道自然首先就要知道S中的随机变量中的随机变量的概率分布的概率分布. 对于这种在实际中经常碰到的随机变对于这种在实际中经常碰到的随机变量平方量平方和和问题，我们自然希望能够对其加以总结，问题，我们自然希望能够对其加以总结，卡方卡方分布分布就是在类似的实际背景下提出的就是在类似的实际背景下提出的.(1) (1) 定义定义定义定义自由度：自由度：定义定义定义定义证证定理定理性质性质1(此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形)(3)性质性质2证证性质性质3证证解解例例1例例2解解相互独立相互独立. 历史上，正态分布由于其广泛的应用背景历史上，正态分布由于其广泛的应用背景增大而接近正态分布增大而接近正态分布,样本均值的分布将随样本量样本均值的分布将随样本量识，我们知道在总体均值和方差已知情况下，识，我们知道在总体均值和方差已知情况下，数据分析工作，对数据误差有着大量感性的认数据分析工作，对数据误差有着大量感性的认的酿酒化学技师的酿酒化学技师Cosset. WS, 他在酒厂从事试验他在酒厂从事试验在这样的背景下，十九世纪初英国一位年轻在这样的背景下，十九世纪初英国一位年轻和良好的性质，曾一度被看作是和良好的性质，曾一度被看作是“万能分布万能分布”，2. t 分布分布但是但是Cosset在实验中遇到的在实验中遇到的样本容量仅有样本容量仅有56个个，在其中他发现实际数据的分布情况与，在其中他发现实际数据的分布情况与正态分布有着较大的差异正态分布有着较大的差异.Oxy 于于是是Cosset怀疑存在一个不属于正态的怀疑存在一个不属于正态的其他分布，通过学习终于得到了新的密度曲线，其他分布，通过学习终于得到了新的密度曲线，并在并在1908年以年以“Student”笔名发表了此项结果，笔名发表了此项结果，后人称此分布为后人称此分布为“t 分布分布”或或“学生氏学生氏”分布分布.t 分布又称分布又称学生氏学生氏 (Student)分布分布.(1) 定义定义定义定义定义定义Oxy(3) (3) T T的数字特征的数字特征的数字特征的数字特征例例3 求统计量求统计量T的分布，其中的分布，其中解解 由可加性知由可加性知于是由于是由t 的定义有的定义有即即3.(1) 定义定义定义定义定义定义1)2)3)这说明这说明F分布极限分布也是正态分布分布极限分布也是正态分布.例例4证证例例5解解 由由F分布的性质知分布的性质知所以得所以得 二、概率分布的分位数二、概率分布的分位数1. 定义定义2. 常用分布的上侧分位数记号常用分布的上侧分位数记号 分布分布 N(0,1) t(n)F(n1,n2) 记号记号定义定义3. 查表法查表法(1) 若若X的分布密度关于的分布密度关于y轴对称，则轴对称，则xyO特例：特例：根据正态分布的对称性知根据正态分布的对称性知Oxy由分布的对称性知由分布的对称性知Oxy(2) X的分布密度无对称性的情形的分布密度无对称性的情形Oxy(表表4只详列到只详列到 n=60 为止为止).例如：例如：费歇资料费歇资料费歇费歇()公式：公式：此外，还可利用关系此外，还可利用关系证证内容小结内容小结内容小结内容小结1.三大抽样分布三大抽样分布: 的定义的定义,性质性质.2.概率分布的分位数概念概率分布的分位数概念.解解例例例例1-11-1备用题备用题例例1-2解解所以所以Y的分布函数为的分布函数为相应的由公式法可得，密度函数为相应的由公式法可得，密度函数为密度变换密度变换公式公式例例2-1个样本个样本，分别为样本均值与方差，则分别为样本均值与方差，则解解设总体为标准正态分布，从中抽取设总体为标准正态分布，从中抽取n综上可得综上可得,正确答案为正确答案为C.例例3-1解解由定义由定义5.7,例例3-2 的概率分布的概率分布.解解例例3-3解解例例3-4的概率分布的概率分布.解解由于独立正态变量的线性组合仍是正态变量由于独立正态变量的线性组合仍是正态变量由于独立正态变量的线性组合仍是正态变量由于独立正态变量的线性组合仍是正态变量整理得整理得整理得整理得故故且它们相互独立且它们相互独立, ,再利用伽玛分布的可加性知再利用伽玛分布的可加性知由卡方分布的定义知由卡方分布的定义知注注注注 本例要求两个正态总本例要求两个正态总本例要求两个正态总本例要求两个正态总体的方差相同体的方差相同体的方差相同体的方差相同! ! ! !从而从而, 由由t分布的定义有分布的定义有例例3-5解解故由故由t 的定义有的定义有因而因而T 的分布密度为的分布密度为例例4-1解解所以所以例例4-2的概率分布的概率分布. .解解解解由卡方分布的定义有由卡方分布的定义有