June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛用曲线积分求旋转曲面的面积用曲线积分求旋转曲面的面积蜀南竹海1 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛 作为定积分的几何应用，旋转曲面作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。的面积一般是用定积分来计算。 本课件用对弧长的曲线积分来建立本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。求旋转曲面的面积的公式。 将曲线积分化为定积分可以得到计将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。算旋转曲面面积的定积分公式。2 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛先看特殊的情形先看特殊的情形旋转轴为坐标轴旋转轴为坐标轴3 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛 设设L是上半平面内的一条平面曲线。是上半平面内的一条平面曲线。 将将L绕绕x轴轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积旋转曲面的面积Ax。 我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。线积分公式。L4 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛L在曲线在曲线L的的(x,y)处取一弧微分处取一弧微分 它到它到x轴的距离是轴的距离是 y （如图）。（如图）。该弧微分绕该弧微分绕x轴轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：旋转而成的旋转曲面的面积约为：（面积元素）（面积元素）于是整个曲线绕于是整个曲线绕x轴轴旋转而旋转而成的旋转曲面的面积为：成的旋转曲面的面积为：5 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛命题命题1：上半平面内一条曲线：上半平面内一条曲线L绕绕x轴轴旋转旋转而成的旋转曲面的面积为：而成的旋转曲面的面积为：L6 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛命题命题2：右半平面内一条曲线：右半平面内一条曲线L绕绕y轴轴旋转而旋转而成的旋转曲面的面积为：成的旋转曲面的面积为：同理同理L7 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛下面针对不同的曲线方程下面针对不同的曲线方程将曲线积分化为定积分将曲线积分化为定积分得到熟悉的旋转曲面的面积公式得到熟悉的旋转曲面的面积公式8 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛直角坐标方程直角坐标方程9 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛y=f(x)如果如果L绕绕 x轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：10 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛y=f(x)如果如果L绕绕 y轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：11 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛参数方程参数方程12 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛如果如果L绕绕 x轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：13 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛如果如果则则L绕绕 y轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：14 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛极坐标方程极坐标方程15 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛如果如果L绕绕 x轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：16 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛我们来推导一个有关曲线我们来推导一个有关曲线L的的形心形心(质心质心)和和旋转曲面面积旋转曲面面积之间的关系的定理：之间的关系的定理：古尔丁定理古尔丁定理Paul Guldin（古尔丁）（古尔丁）1577 1643Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity. 17 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛L上半平面内一条上半平面内一条曲线曲线L绕绕x轴旋转而成的旋转轴旋转而成的旋转曲面的面积曲面的面积等于等于该曲线的该曲线的形心形心所经过的路程所经过的路程与与L的弧长的弧长s的乘积的乘积。古尔丁定理古尔丁定理形心形心18 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛如果你很容易求得曲线如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。L形心形心19 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛下面来看一般的情形下面来看一般的情形一般的曲线一般的曲线&一般的旋转轴一般的旋转轴20 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛 设设L是是xOy坐标平面内的一条曲线。坐标平面内的一条曲线。L在在直线直线 l 的一侧（如图）的一侧（如图） 。 将将L绕直线绕直线 l 旋转一周得一旋转曲面，旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积求该旋转曲面的面积A。 我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。线积分公式。Ll21 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛L在曲线在曲线L的的(x,y)处取一弧微分处取一弧微分它到直线它到直线 l 的距离是的距离是 ：该弧微分绕该弧微分绕 l 旋转而成的旋转曲面的面积约为：旋转而成的旋转曲面的面积约为：于是整个曲线于是整个曲线L绕直线绕直线 l 旋转旋转而成的旋转曲面的面积为：而成的旋转曲面的面积为：设直线设直线 l 的方程为的方程为 ax+by+c=0。l22 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛命题命题3 曲线曲线L绕直线绕直线 ax+by+c=0旋转而成的旋转而成的旋转曲面的面积为：旋转曲面的面积为：Ll23 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛下面举几个例子来说明下面举几个例子来说明命题中的公式的应用命题中的公式的应用由于其中积分较难由于其中积分较难计算用数学软件计算用数学软件Maple完成完成24 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛例例1 求曲线求曲线y=x2(0xx2;f:=(x,y)-2*x-y;a:=0:b:=2:(2*Pi/sqrt(5)*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=(2*Pi/sqrt(5)*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);with(plots):quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);25 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛例例2 求求y=x2 (0xx2;f:=(x,y)-y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);26 June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛例例3 求求y=lnx (1xln(x);f:=(x,y)-x+y;a:=1:b:=exp(1):sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);27