例例1 1关键关键: :将其它类型未定式化为将其它类型未定式化为 或或 型未定式。型未定式。步骤步骤: :例例2 2步骤步骤: :步骤步骤: :例例3 3对数恒等式对数恒等式例例4 4或解或解( (两个重要极限法两个重要极限法) )： 例例5 5解：解：洛必达法则洛必达法则 第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)公式公式缺乏缺乏: 问题问题:1、精确度不高；、精确度不高； 2、误差不能估差不能估计。分析分析: :2.若有相同的切若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同1.若在若在 点相交点相交n次泰勒多次泰勒多项式式n阶泰勒公式泰勒公式拉格朗日型余拉格朗日型余项说明说明: : 麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式如下：公式如下：此时泰勒公式称为麦克劳林公式此时泰勒公式称为麦克劳林公式. .拉格朗日型余拉格朗日型余项佩佩亚诺型余型余项解：解：近似公式近似公式误差误差其误差其误差解：解： 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式解：解：解：解：解：解：求极限的一种方法利用泰勒展开式求极限求极限的一种方法利用泰勒展开式求极限例例6 6解：解：第四节第四节 函数的单调性与函数的单调性与曲线的凹凸性曲线的凹凸性一、函数单调性一、函数单调性观察与思考：观察与思考：函数单调增加函数单调增加函数单调减少函数单调减少函数的函数的单调性与性与导数的符号有什么关系？数的符号有什么关系？函数函数单调增加增加时导数大于零，函数数大于零，函数单调减少减少时导数小于零。数小于零。函数的函数的单调性与性与导数符号的关系数符号的关系观察察结果：果：函数单调减少函数单调减少函数单调增加函数单调增加定理定理证证 ：应用拉格朗日定理应用拉格朗日定理, ,得得例例1 1解：解：例例2 2解：解：例例3 3 解：解：导数等于零的点和不可数等于零的点和不可导点，可能点，可能是是单调区区间的分界点的分界点方法方法: :注意注意: 区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如, y -2 O 2 -4 -2 2 4 x y=x3 驻点点例例4 4 解：解：例例4 4 解：解：也可用列表的方式，也可用列表的方式，例例5 5证：证：利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式即原式成立。即原式成立。例例6 6证：证：由零点定理知，由零点定理知，利用函数的单调性讨论方程的根。利用函数的单调性讨论方程的根。例例7 7证：证：小结小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. .定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立然成立. .应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式个数和证明不等式. .问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点 NABM观察与思考：观察与思考：函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是向上凹的；方，则称曲线在这个区间内是向上凹的；曲线凹向的定义曲线凹向的定义如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是向上凸的。下方，则称曲线在这个区间内是向上凸的。凹的凹的凸的凸的图形上任意弧段位于所形上任意弧段位于所张弦的上方：凸的弦的上方：凸的图形上任意弧段位于所形上任意弧段位于所张弦的下方：凹的弦的下方：凹的定义定义观察与思考：观察与思考： 曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点拐点凹的凹的凸的凸的当曲线是凹的时，当曲线是凹的时，f f (x)(x)单调增加。单调增加。当曲线是凸的时，当曲线是凸的时，f f (x)(x)单调减少。单调减少。曲线凹向的判定曲线凹向的判定曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点。曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点。定理定理例例8 8 解：解：x yO例例9 9 解：解：凹凹凸凸凹凹拐点拐点拐点拐点例例1010解：解：拐点的求法：拐点的求法：1.1.找出二阶导数为零的点或不可导点；找出二阶导数为零的点或不可导点；2.2.若它两边的二阶导数值若它两边的二阶导数值异号异号, ,则为拐点则为拐点, ,若同号若同号则不是拐点则不是拐点. .例例1111解：解：利用函数图形的凹凸性利用函数图形的凹凸性, ,证明不等式证明不等式 例例5 5证：证：课后作业：课后作业：P145 P145 习题习题3-3 3-3 3 3，5 5，7 7P152 P152 习题习题3-4 3-4 3(1)(4)(5)(7) 3(1)(4)(5)(7) ， 5(1)(4) 5(1)(4) 8(1)(4) 8(1)(4)， 9(1)(4) 9(1)(4)， 13. 13.