第四章第四章 正态分布正态分布数学与信息技术系数学与信息技术系第一节第一节 正态分布的概率密度正态分布的概率密度与分布函数与分布函数 本章我们讨论概率论与数理统计中本章我们讨论概率论与数理统计中最常最常用、最重要的一种连续型随机变量用、最重要的一种连续型随机变量的分布的分布正态分布正态分布实例实例1 零件的尺寸零件的尺寸(P49例例) 在自动机床加工在自动机床加工制造零件的过程中，我们周期地抽取一些制造零件的过程中，我们周期地抽取一些样品，测量它们的尺寸，并记录在专用的样品，测量它们的尺寸，并记录在专用的表格上。设共抽取表格上。设共抽取250个零件，测得零件尺个零件，测得零件尺寸与规定尺寸的偏差如下表寸与规定尺寸的偏差如下表现实世界中有许多事件服从或者近似服现实世界中有许多事件服从或者近似服从这一分布，如：从这一分布，如：频数频数偏差偏差/m偏差适中的零偏差适中的零件较多，偏差件较多，偏差大的零件只是大的零件只是少数少数其直方图如下图其直方图如下图实实例例2 年年降降雨雨量量问问题题，我我们们用用上上海海九九十十九九年年年降雨量的数据画出的频率直方图。年降雨量的数据画出的频率直方图。年降雨量在年降雨量在1100附近的较多，降雨量特多或附近的较多，降雨量特多或者特少的情形只是少数年份者特少的情形只是少数年份实例实例3 (某大学大学生某大学大学生)下图是用某大学大学下图是用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。生的身高的数据画出的频率直方图。红线红线是拟是拟合的曲线合的曲线具有具有“两两头低，中头低，中间高，左间高，左右对称右对称” 除了我们在前面介绍过的除了我们在前面介绍过的零件的尺寸零件的尺寸、年降雨量和身高外年降雨量和身高外, ,在正常条件下各种产品在正常条件下各种产品的其它质量指标如纤维的强度和张力；农作的其它质量指标如纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从这样一种分布都服从或近似服从这样一种分布正态分正态分布布. .复习：连续型随机变量的刻画方式有哪些复习：连续型随机变量的刻画方式有哪些？1. 概率分布函数或分布函数概率分布函数或分布函数F(x):= P(Xx)2. 概率分布密度或概率密度：概率分布密度或概率密度：性质：性质：1 o2 o f (x)xo面积为面积为1这两条性质是判定一个函数这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某随机变量是否为某随机变量X的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件.分布函数与概率密度的内在联系：分布函数与概率密度的内在联系：或者设设 定义如下定义如下它能成为某个随机变量的概率密度吗？它能成为某个随机变量的概率密度吗？回答是肯定的。这是因为回答是肯定的。这是因为(I)、正态分布的定义、正态分布的定义显然显然 满足，满足，下面验证下面验证 也成立也成立其实，此时只要令其实，此时只要令 就有就有 至于至于 的证明参见华东师大版数学分析的证明参见华东师大版数学分析下册下册P187例例7 ，或者利用，或者利用函数的性质函数的性质. . .y=f (x)所确定的曲线叫作所确定的曲线叫作正态分布曲线正态分布曲线.记作记作 (Normal)若随机变量若随机变量 X 的的概率密度为概率密度为其中其中 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， 0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的的正态分布正态分布(高斯分布高斯分布). 由此我们给出如下的定义由此我们给出如下的定义(II)、正态分布、正态分布 分布曲线的特点分布曲线的特点正态分布的正态分布的分布曲线分布曲线是一条关于是一条关于 对称对称的钟形曲线的钟形曲线. .特点是特点是“两头低，中间高，左右对称两头低，中间高，左右对称”.”. 令令x=+ +c, x=- -c (c0), 分别代入分别代入f (x), 可得可得f (+ +c)=f (- -c)且且 f (+ +c) f (), f (- -c)f ()故故f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=处达到最大值处达到最大值因为因为当当x 时，时，f(x) 0, ,这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸向左右伸展时，越来越贴近展时，越来越贴近x轴。轴。即即f (x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。 这是数学分析的内容，如果忘记了，课下再这是数学分析的内容，如果忘记了，课下再复习一下。华东师大版数学分析上册复习一下。华东师大版数学分析上册P152页页用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，x = 为为f (x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。对对 固定，固定， 变化时的图形变化时的图形 决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置 固定，固定， 变化时的图形变化时的图形 决定了图形中峰的陡峭程度决定了图形中峰的陡峭程度. .(III) (III) 、 正态分布的分布函数的分布函数因为因为X 即即 故故(IV)(IV)、标准正态分布、标准正态分布其概率密度和分布函数常用其概率密度和分布函数常用 和和 表示：表示：的正态分布称为的正态分布称为 标准正态分布标准正态分布(x)(x)的一个重要性质的一个重要性质 任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布. .它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理： 标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，定理定理 N(0,1) 设设, ,则则 (V)(V)、标准正态分布与一般正态分布的关系、标准正态分布与一般正态分布的关系：事实上，由公式事实上，由公式其中其中Y Y = =a+bXa+bX， 可知当可知当 时有时有（VIVI）、利用正态分布表进行计算）、利用正态分布表进行计算若若 XN(0,1),则则当当a0时，可以通过附录正态分布函数数值表时，可以通过附录正态分布函数数值表(表表2)查得查得 ;当当a,b中至少有一个为负数中至少有一个为负数(不妨设不妨设a为负数为负数)时时, 则没办法直接查表到则没办法直接查表到 ,这时可以先查得这时可以先查得 ，然后利用公式可以，然后利用公式可以，求得求得若若N(0,1) 这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在(-(-3,3) )区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. .由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.9974（VIIVII）、）、3 3 准则准则由标准正态分布与一般正态分布的关系，若由标准正态分布与一般正态分布的关系，若 时，时，N(0,1) 实际实际可能的取值区间，可能的取值区间，这在统计学上称作这在统计学上称作可以认为，可以认为，X 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间区间因而根据小概率事件的实际不可能性因而根据小概率事件的实际不可能性原理，原理，准则准则” （三倍标准差原则）（三倍标准差原则）我们常把我们常把看作是随机变量看作是随机变量X例例1 （1）假设某地区成年男性的身高（单假设某地区成年男性的身高（单位：位：cmcm）XN( (170,7.,7.692) )，求该地区成年，求该地区成年男性的身高超过男性的身高超过175cm175cm的概率。的概率。 解解: (1) : (1) 根据假设根据假设XN( (170,7.,7.692) )，则，则故事件X175的概率为P (X175)=解解: (2) : (2) 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求P(X h或或下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h h. .（2 2）公共汽车车门的高度是按成年男性与）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在以下来设计的，问车车门顶头碰头机会在以下来设计的，问车门高度应如何确定门高度应如何确定? ?P(X h，因为因为XN( (170,7.,7.692),),故故 P(X0.99所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+17.92 188设计车门高度为设计车门高度为188厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过. .P(X0y0时，时， FY(y)= P( ) 所以，所以，Y Y的分布函数为的分布函数为 故，故，Y Y的概率密度为的概率密度为 所得分布称为自由度为所得分布称为自由度为1 1的的 分布分布( (参看参看5.3)5.3) 小结：小结： 这一讲，我们介绍了正态分布这一讲，我们介绍了正态分布(一一般正态分布以及标准正态分布般正态分布以及标准正态分布)概率密度、概率密度、分布函数及相关性质，以及如何将一般分布函数及相关性质，以及如何将一般正正态分布转化为标准正态分布进行计算等问态分布转化为标准正态分布进行计算等问题题