第二章 基本初等函数2011高考导航高考导航考纲解读考纲解读1.函数函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质2011高考导航高考导航考纲解读考纲解读2指数函数指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算(3)理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点2011高考导航高考导航考纲解读考纲解读3对数函数对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用(2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点(3)了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1)2011高考导航高考导航考纲解读考纲解读4幂函数幂函数(1)了解幂函数的概念2011高考导航高考导航考纲解读考纲解读5函数与方程函数与方程(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解2011高考导航高考导航考纲解读考纲解读6函数模型及其应用函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.2011高考导航高考导航命题探究命题探究函数是高中数学最重要的内容，是贯穿整个中学数学的一条主线，因而一直是高考的必考内容和热点内容(1)函数的概念及其性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、值域是高考考查重点，函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰，应重点探究2011高考导航高考导航命题探究命题探究(2)指数函数、对数函数、幂函数是中学数学的重要函数模型，也是函数内容的主体部分，对于指数式和对数式的运算时有考查(3)函数这部分内容高考中分值一般为1012分2011高考导航高考导航命题探究命题探究(4)预计在2011年高考试题中，考查函数的应用主要有两种形式，一是以选择题、填空题的形式考查几种常见函数模型在实际问题中的应用以及函数零点、函数与方程的关系等，一般为容易题或中档题；二是以解答题的形式考查实际问题以及函数与其他知识，如与方程、不等式、数列、解析几何等的综合，综合性强，难度较大第1课时 函数及其表示基础知识梳理基础知识梳理1函数与映射的概念函数与映射的概念函数函数映射映射两集合两集合A、B设A、B是两个非空是两个非空 设A、B是两个非空是两个非空对应关系关系f：AB如果按照某种确定如果按照某种确定的的对应关系关系f，使，使对于集合于集合A中的中的一个一个 在集合在集合B中都有中都有 的的数数f(x)和它和它对应如果按某一个确定如果按某一个确定的的对应关系关系f，使，使对于集合于集合A中的中的 一一个元素个元素x在集合在集合B中中都有唯一确定的元都有唯一确定的元素素y与之与之对应数集数集集合集合任意任意数数x唯一确定唯一确定任意任意基础知识梳理基础知识梳理函数函数映射映射名称名称称称 为从从集合集合A到集合到集合B的的一个函数一个函数称称对应：为从集合从集合A到集合到集合B的一个映射的一个映射记法法yf(x)，xA对应f：AB是一是一个映射个映射f：ABf：AB基础知识梳理基础知识梳理思考？映射与函数有什么区别？映射与函数有什么区别？【思考思考提示提示】函数是特函数是特殊的映射，二者区殊的映射，二者区别在于映射定在于映射定义中的两个集合是非空集合，可中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集以不是数集，而函数中的两个集合必合必须是非空数集是非空数集2函数的表示法函数的表示法函数的表示法：解析法、图象法、函数的表示法：解析法、图象法、列表法列表法(1)解析法：如果在函数解析法：如果在函数yf(x)(xA)中中f(x)是用是用 的代数的代数式来表达的，则这种表达函数的方法式来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法叫做解析法基础知识梳理基础知识梳理自变量自变量x (2)图象法：对于函数图象法：对于函数yf(x)(xA)，定义域内每一个定义域内每一个x的值都有唯一的的值都有唯一的y值与它值与它对应，把这两个对应的数构成的有序实数对应，把这两个对应的数构成的有序实数对对(x，y)作为点作为点P的坐标，记作的坐标，记作P(x，y)，则，则所有这些点的集合构成一个曲线，把这种所有这些点的集合构成一个曲线，把这种用用 表示函数的方法叫做图象法表示函数的方法叫做图象法 (3)列表法：用列出列表法：用列出 与对应的与对应的 的表格来表达两个变量间的对应的表格来表达两个变量间的对应关系的方法叫做列表法关系的方法叫做列表法基础知识梳理基础知识梳理点的集合点的集合自变量自变量x函数值函数值y1已知已知f(x)(xR)，则，则f(2)等等于于()A2B答案：答案：B三基能力强化三基能力强化答案：答案：D三基能力强化三基能力强化3“龟兔赛跑龟兔赛跑”讲述了这样的故事：讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用，用s1、s2分别表示乌龟和兔子所分别表示乌龟和兔子所行的路程，行的路程，t为时间，则下图与故事情为时间，则下图与故事情节相吻合的是节相吻合的是()三基能力强化三基能力强化答案：答案：B三基能力强化三基能力强化三基能力强化三基能力强化5(教材习题改编教材习题改编)设集合设集合A0,1，Ba，b，c，则从，则从A到到B的的映射共有映射共有_个个答案：答案：9三基能力强化三基能力强化1判断对应是否为映射，即看判断对应是否为映射，即看A中中元素是否满足元素是否满足“每元有象每元有象”和和“象唯一象唯一”，即可以是即可以是“一对一一对一”或者或者“多对一多对一”2f：AB形成函数时，形成函数时，A即函数即函数的定义域，但的定义域，但B不一定是值域如果不一定是值域如果B中中的元素都有原象，则的元素都有原象，则B才是值域，即函才是值域，即函数就是从定义域到值域的映射数就是从定义域到值域的映射课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一函数与映射函数与映射课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1已知函数已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出分别由下表给出则则fg(1)的值为的值为_；满足；满足fg(x)gf(x)的的x的值是的值是_x123f(x) 131x123g(x)321课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】由表格的映射可由表格的映射可看出看出f(1)f(3)1，f(2)3，g(1)3，g(2)2，g(3)1，可解决问题，可解决问题【解析解析】g(1)3，fg(1)f(3)1.当当x1时，时，g(1)3，f(3)1，而而f(1)1，g(1)3，不适合，不适合fg(x)gf(x)，同理可验证同理可验证x2,3时时fg(x)与与gf(x)的大小关系，当的大小关系，当x2时不等式成立时不等式成立【答案答案】12课堂互动讲练课堂互动讲练【思维总结思维总结】(1)函数的定义中函数的定义中应注意应注意A，B是两个非空的数集，函数是两个非空的数集，函数的值域的值域C与与B的关系是的关系是CB.(2)在映射中，集合在映射中，集合A与与B的地位是的地位是不对等的，在集合不对等的，在集合B中不要求每个元中不要求每个元素在集合素在集合A中都有元素与之对应，即中都有元素与之对应，即集合集合B中可以有空闲的元素中可以有空闲的元素课堂互动讲练课堂互动讲练函数解析式的求法函数解析式的求法(1)待定系数法若已知函数的待定系数法若已知函数的类型类型(如一次函数、二次函数如一次函数、二次函数)，可用，可用待定系数法待定系数法(2)换元法已知复合函数换元法已知复合函数fg(x)的解析式，可用换元法，此时要注的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围意变量的取值范围课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二求函数的解析式求函数的解析式课堂互动讲练课堂互动讲练注意：注意：函数的解析式是函数表函数的解析式是函数表示法的一种求函数的解析式一定示法的一种求函数的解析式一定要注明函数的定义域，否则往往会要注明函数的定义域，否则往往会导致错解导致错解课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2(1)已知已知f(x)是一次函数，且满是一次函数，且满足足3f(x1)2f(x1)2x17，求求f(x)的解析式；的解析式；课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】(1)设出一次函数设出一次函数利用方程恒等建立待定字母的关系利用方程恒等建立待定字母的关系式式写出写出f(x)的解析式的解析式【解解】(1)设设f(x)axb(a0)，则则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即即ax5ab2x17不论不论x为何值为何值都成立都成立课堂互动讲练课堂互动讲练f(x)2x7.则则x(t1)2(t1)代入原式有代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.f(x)x21(x1)课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】题题(1)的求解是利的求解是利用待定系数法，待定系数法的关键是用待定系数法，待定系数法的关键是设出某种类型的函数，列出方程组求设出某种类型的函数，列出方程组求待定系数；待定系数；题题(2)的求解是利用换元法，做题的求解是利用换元法，做题时易忽略时易忽略x的范围的范围课堂互动讲练课堂互动讲练例例2(1)中中f(x)变为二次函数，且变为二次函数，且满足满足f(0)0，f(x1)f(x)x1，求求f(x)解：解：设设f(x)ax2bxc(a0)，由由f(0)0知知c0，f(x)ax2bx.又由又由f(x1)f(x)x1，所以所以a(x1)2b(x1)ax2bxx1，课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究互动探究即即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，课堂互动讲练课堂互动讲练用解析式表示函数关系的优点用解析式表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易根据自变是：函数关系清楚，容易根据自变量的值求出对应的函数值，便于用量的值求出对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质解析式来研究函数的性质课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三函数的三种表示方法函数的三种表示方法用图象法表示函数关系的优点是：用图象法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数值的变化情能直观形象地表示出函数值的变化情况况用列表法表示函数关系的优点是：用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道自变量取某些值不必通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值时函数的对应值课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3已知某人在已知某人在2009年年1月份至月份至6月份月份的月经济收入如下：的月经济收入如下：1月份为月份为1000元，元，从从2月份起每月的月经济收入是其上一月份起每月的月经济收入是其上一个月的个月的2倍，用列表、图象、解析式三倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人种不同形式来表示该人1月份至月份至6月份月份的月经济收入的月经济收入y(元元)与月份序号与月份序号x的函的函数关系，并指出该函数的定义域、值数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则域和对应法则【思路点拨思路点拨】月份为自变量，月份为自变量，月工资为函数值月工资为函数值课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】列表：列表：x123456y 1000 2000 4000 8000 16000 32000课堂互动讲练课堂互动讲练图象：图象：解析式：解析式：y10002x1(x1,2,3,4,5,6)其中定义域为其中定义域为1,2,3,4,5,6，值域为，值域为1000,2000,4000,8000,16000,32000对应法则对应法则f：xy10002x1.【规律小结规律小结】列表法、图象法和解析式列表法、图象法和解析式法是表示函数的三种方法，其实质是一样的，法是表示函数的三种方法，其实质是一样的，只是形式上的区别，列表和图象更加直观，解只是形式上的区别，列表和图象更加直观，解析式更适合计算和应用在对待不同题目时，析式更适合计算和应用在对待不同题目时，选择不同的表示方法，因为有的函数根本写不选择不同的表示方法，因为有的函数根本写不出其解析式出其解析式课堂互动讲练课堂互动讲练若函数在定义域的不同子集上的对若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同，则可用几个不同的解析式应关系不同，则可用几个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数分段函数是一个函数，而不是几函数分段函数是一个函数，而不是几个函数，它的连续与间断完全由对应关个函数，它的连续与间断完全由对应关系来确定对于分段函数的求值问题，系来确定对于分段函数的求值问题，一定要坚持定义域优先的原则一定要坚持定义域优先的原则课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四分段函数问题分段函数问题课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)甲、乙两地相距甲、乙两地相距150千米，某货车千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时从甲地运送货物到乙地，以每小时50千米的速度行驶，到达乙地后将货物千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了卸下用了1小时，然后以每小时小时，然后以每小时60千米千米的速度返回甲地从货车离开甲地起的速度返回甲地从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为地的时间和距离分别为x小时和小时和y千米，千米，试写出试写出y与与x的函数关系式的函数关系式课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】根据已知条件列根据已知条件列出等式，这个含有出等式，这个含有x、y的方程就是所的方程就是所求的函数，这是一个分段函数，要注求的函数，这是一个分段函数，要注意距离与时间的变化关系意距离与时间的变化关系【解解】由题意，可知货车从甲地由题意，可知货车从甲地前往乙地用了前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地小时，而从乙地返回甲地用了用了2.5小时小时(1)当货车从甲地前往乙地时，当货车从甲地前往乙地时，由题意，可知由题意，可知y50x(0x3)； 4分分(2)当货车卸货时，当货车卸货时，y150(3x4)； 6分分课堂互动讲练课堂互动讲练(3)当货车从乙地返回甲地时，当货车从乙地返回甲地时，由题意，知由题意，知y15060(x4)(4x6.5)课堂互动讲练课堂互动讲练【思维总结思维总结】(1)由实际问题确由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域同时要求出函数的定义域(一般情况下，一般情况下，都要受实际问题的约束都要受实际问题的约束)(2)根据实际问题中自变量所表示根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义域，使之必须有实际意义课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分10分分)某上市股票在某上市股票在30天天内每股的交易价格内每股的交易价格P(元元)与时间与时间t(天天)组组成有序数对成有序数对(t，P)，点，点(t，P)落在下图落在下图中的两条线段上，该股票在中的两条线段上，该股票在30天内天内(包包括括30天天)的日交易量的日交易量Q(万股万股)与时间与时间t(天天)的部分数据如下表所示的部分数据如下表所示.课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅高考检阅第第t天天4101622Q(万股万股)36302418(1)根据提供的图象，写根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格出该种股票每股交易价格P(元元)与时间与时间t(天天)所满足的函所满足的函数关系式；数关系式；(2)根据表中数据确定日根据表中数据确定日交易量交易量Q(万股万股)与时间与时间t(天天)的的一次函数关系式一次函数关系式课堂互动讲练课堂互动讲练(2)设设Qatb(a，b为常数为常数)，将将(4,36)与与(10,30)的坐标代入，的坐标代入，课堂互动讲练课堂互动讲练解得解得a1，b40.日交易量日交易量Q(万股万股)与时间与时间t(天天)的一的一次函数关系式为次函数关系式为Q40t,0t30，tN*. 10分分课堂互动讲练课堂互动讲练1函数概念理解应注意的问题函数概念理解应注意的问题(1)函数是一种特殊的映射，函数是一种特殊的映射，f：AB必须满足必须满足A、B都是非空数集，都是非空数集，其象的集合是其象的集合是B的子集的子集规律方法总结规律方法总结(2)构成函数的三要素是：定义域、构成函数的三要素是：定义域、值域和对应法则，而值域由定义域和值域和对应法则，而值域由定义域和对应法则可以确定分析判断两函数对应法则可以确定分析判断两函数是否为同一函数时，就从这三个方面是否为同一函数时，就从这三个方面进行分析，只有三者完全相同时才为进行分析，只有三者完全相同时才为同一个函数同一个函数规律方法总结规律方法总结(3)不同的函数，会有不同的对不同的函数，会有不同的对应法则，如应法则，如yf(x)sinx，其对应，其对应法则为法则为“取正弦取正弦”规律方法总结规律方法总结2函数的表示法函数的表示法(1)平时表示函数常用的表示法是平时表示函数常用的表示法是解析法，建立有实际意义的函数解析解析法，建立有实际意义的函数解析式，首先要选定自变量，然后寻找等式，首先要选定自变量，然后寻找等量关系式，求得函数解析式，其中确量关系式，求得函数解析式，其中确定其定义域是关键定其定义域是关键规律方法总结规律方法总结(2)若函数在其定义域的不同子若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数为分段函数(3)并不是所有的函数都能写出并不是所有的函数都能写出解析式，有些函数只能用图象法或解析式，有些函数只能用图象法或列表法来表示列表法来表示规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练课时活页训练点击进入点击进入