第七章第七章 空间解析几何与空间解析几何与向量代数习题课向量代数习题课.一、向量的基本概念一、向量的基本概念 1向量的坐标: 2向量的模向量的模: 方向余弦为方向余弦为: 设起点设起点 和终点和终点 ,那么那么 3方向角：向量方向角：向量 与三个坐标轴正向的夹角与三个坐标轴正向的夹角 向量代数向量代数.4单位向量：单位向量： 5向量的投影：向量的投影： 二、向量的运算二、向量的运算 1线性运算线性运算 （1） （2） 2数量积数量积 （1定义：定义： （2坐标表示：坐标表示： . 分配律：分配律： 结合律：结合律： （4向量的夹角：向量的夹角： （5性质：性质： 2向量积向量积 （1定义：定义： （3运算律：运算律： 交换律：交换律： 方向：方向： 垂直垂直 与与 确定的平面，且符合右手规则。确定的平面，且符合右手规则。 . 结合律：结合律： （4性质：性质： 分配律：分配律： 反交换律：反交换律： （3运算律：运算律： （2坐标表示：坐标表示： .一、平面与直线的方程一、平面与直线的方程 1平面方程平面方程 : （1点法式方程：点法式方程： 其中其中 为平面的法向量，为平面的法向量， 为平面的为平面的 一定点。一定点。 （2一般方程：一般方程： （3截距式方程：截距式方程： ，其中，其中 分别为平面在分别为平面在三坐标轴三坐标轴 上的截距。上的截距。 2点到平面的距离：点到平面的距离： 平面与直线、空间曲面与曲线平面与直线、空间曲面与曲线.3直线方程：直线方程：（1一般方程：一般方程： （2对称式方程：对称式方程： 其中其中 为直线的方向向量，为直线的方向向量， 为直线的一定点。为直线的一定点。 （3参数方程：参数方程： .则它们的夹角为：则它们的夹角为： （2两平面相交夹角）两平面相交夹角） 设设 与与 平面的法向量分别为平面的法向量分别为 与与 4线、面之间的位置关系：线、面之间的位置关系：（1两直线相交夹角）两直线相交夹角） 设设 与与 的方向向量分别为的方向向量分别为 与与 .（3直线与平面相交夹角）直线与平面相交夹角）设直线设直线 的方向向量为的方向向量为 , 平面平面 的法向量为的法向量为 则它们的交角：则它们的交角： 那么那么 .（4线、面之间的平行与垂直线、面之间的平行与垂直 设直线设直线 与与 的方向向量分别为的方向向量分别为 ， 平面平面 与与 的法向量分别为的法向量分别为 .二、空间曲面二、空间曲面1一般方程：一般方程： 2旋转面：曲线旋转面：曲线 同理可得同理可得 面上的曲线绕面上的曲线绕 轴旋转所得旋转面的方程及轴旋转所得旋转面的方程及 绕绕 轴旋转所得旋转面的方程。轴旋转所得旋转面的方程。绕绕 轴旋转所得旋转曲面轴旋转所得旋转曲面方程为方程为 绕绕 轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面 方程为方程为 .三、空间曲线三、空间曲线 1一般方程一般方程 2参数方程参数方程 3空间曲线在坐标面上的投影曲线：空间曲线在坐标面上的投影曲线： （1） 在在 面上的投影曲线：面上的投影曲线： （2） 在在 面上的投影曲线：面上的投影曲线： （3） 在在 面上的投影曲线：面上的投影曲线： .向量代数典型例题向量代数典型例题 【例【例1】已知两点】已知两点 和和 ,求向量求向量 余弦和方向角。余弦和方向角。的模、方向的模、方向 解：解： 方向余弦为方向余弦为 , , 方向角为方向角为 , , .【例【例2】确定】确定 的值，使向量的值，使向量 与向量与向量 相等。并求此时向量的模与方向余弦。相等。并求此时向量的模与方向余弦。 分析：分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。向量相等的定义是向量坐标对应相等。 解：解： 由已知条件得由已知条件得易得易得 即当即当 时两向量相等。时两向量相等。 方向余弦为方向余弦为 。 模为模为 此时向量为此时向量为 .【例【例3】知】知 都是单位向量，且满足都是单位向量，且满足 ， 求求 . 分析：向量分析：向量 的坐标没给出，也没给出之间的夹角，的坐标没给出，也没给出之间的夹角， 无法利用数量积定义，只能考虑数量积运算规律。无法利用数量积定义，只能考虑数量积运算规律。 解：解： 于是于是 .求求 。【例【例4】已知向量】已知向量 两两互相垂直，且两两互相垂直，且 分析：由于向量分析：由于向量 没给出坐标，只给出了模，注意没给出坐标，只给出了模，注意 ，并利用条件，并利用条件 ， 便可求出便可求出 ；或可不妨置；或可不妨置 计算向量的模。计算向量的模。于坐标系中于坐标系中 解法解法1：所以所以 .解法解法2：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设 那么那么 于是于是 【例【例5】已知向量】已知向量 与三向量与三向量 的数量积分别为的数量积分别为3,5,4， 试求向量试求向量 及与其同向的单位向量。及与其同向的单位向量。 .解：依题意有解：依题意有 即即 解得解得 ， 与与 同向的单位向量为同向的单位向量为 那么那么分析：利用分析：利用 与每个与每个 的数量积，可得出关于的数量积，可得出关于 的联立方程组，解之便得结果。的联立方程组，解之便得结果。.【例【例6】知】知 和和 。求与。求与 同时垂直的单位向量，并且求以同时垂直的单位向量，并且求以 为两邻边的平行四边形面积。为两邻边的平行四边形面积。 分析：应用向量积构造与两个向量都垂直的向量；分析：应用向量积构造与两个向量都垂直的向量； 利用向量积模的几何意义得平行四边形的面积。利用向量积模的几何意义得平行四边形的面积。 解：解： 与与 同时垂直的单位向量为：同时垂直的单位向量为： 平行四边形面积平行四边形面积 .【例【例7】 在在 坐标平面上求向量坐标平面上求向量 ，它垂直于向量，它垂直于向量 并与向量并与向量 有相等的模。有相等的模。 分析：分析： 先设出向量先设出向量 ，再用两个条件确定其系数。，再用两个条件确定其系数。 解：由已知条件解：由已知条件,可设可设 , 由已知条件有 ， 那么于是于是那么那么.【例【例8】已知向量】已知向量 ， 轴与三坐标轴正向构成轴与三坐标轴正向构成相等锐角，相等锐角， 求求 在在 轴上的投影。轴上的投影。 分析：先求出分析：先求出 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。轴上的单位向量，再利用向量投影公式。 解：设解：设 轴的方向余弦分别为轴的方向余弦分别为 ， 由已知条件由已知条件及及即即 轴上的正向单位向量为轴上的正向单位向量为 ，于是于是 得得所以所以 .【例【例9】设向量】设向量 ， ，其中，其中 ， ， 且且 。问：。问： （1） 为何值时，为何值时， 以以 与与 为邻边的平行四边形面积为为邻边的平行四边形面积为6。 （2） 为何值时，为何值时， 分析：（分析：（1用向量垂直的充分必要条件；用向量垂直的充分必要条件； （2用向量积的模的几何意义。用向量积的模的几何意义。 解：（解：（1） 当当 时时 即即 ， 亦即亦即 ， 时时故当故当 ，时，时 。 .（2） 平行四边形面积平行四边形面积 那么那么 ，于是，于是 或或 以以 与与 为邻边的平行四边形面积为为邻边的平行四边形面积为6。 当当 或或 时，时， .直线与平面典型例题直线与平面典型例题【例【例1】求平行于】求平行于 轴且经过两点轴且经过两点 的平面方程。的平面方程。 分析：（分析：（1已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知知两点确定的向量与向量知两点确定的向量与向量 的向量积求平面的法向量；的向量积求平面的法向量； （2由平面平行于由平面平行于 轴的特殊条件，可采用平面的一般式，轴的特殊条件，可采用平面的一般式， 设出不含设出不含 的平面方程，再由已知两点确定平面方程的的平面方程，再由已知两点确定平面方程的 待定系数。待定系数。解法解法1: 由已知点由已知点 ，确定向量，确定向量 , 轴上的单位向量轴上的单位向量 ，可确定所求平面的法向量，可确定所求平面的法向量 .平面过点平面过点 ，则所求平面的点法式方程为，则所求平面的点法式方程为 即即 解法解法2：平面平行于：平面平行于 轴，则平面方程中不含变量轴，则平面方程中不含变量 ,于是于是可设平面方程为可设平面方程为点点 在平面上，满足平面方程，即有在平面上，满足平面方程，即有 .，得，得 则平面方程为则平面方程为 即即 【例【例2】求经过两点】求经过两点 且与平面且与平面 垂直的平面方程。垂直的平面方程。分析：已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知两点确分析：已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知两点确定的向量与已知平面法向量的向量积可求出平面的法向量。定的向量与已知平面法向量的向量积可求出平面的法向量。.，平面，平面 过向量过向量 ，所以，所以， 。 已知平面已知平面 的法向量为的法向量为 ， 因为因为 ，所以，所以 ，可取，可取 则所求平面的点法式方程为则所求平面的点法式方程为 即即 解：设所求平面解：设所求平面 的法向量为的法向量为 ，已知平面，已知平面 过点过点 .【例【例3】过点】过点 且在三坐标轴上截距相等的平面方程。且在三坐标轴上截距相等的平面方程。 分析：最简单的方法是利用平面的截距式方程，再用已知分析：最简单的方法是利用平面的截距式方程，再用已知 的点确定三个相等的截距。的点确定三个相等的截距。解：设所求平面的截距式方程为解：设所求平面的截距式方程为 ， 将已知点的坐标代入方程确定参数将已知点的坐标代入方程确定参数 ，有，有 所求平面的截距式方程为所求平面的截距式方程为 。 或写为一般式方程或写为一般式方程 。 解得解得.【例【例4】求与平面】求与平面 平行，且与之距离平行，且与之距离 为为 3 的平面。的平面。 分析：分析： 所求平面与已知平面平行，法向量相同，可先设出所求平面与已知平面平行，法向量相同，可先设出平面方程的一般式，再由条件定系数。平面方程的一般式，再由条件定系数。解：解： 所求平面与已知平面平行，两者的法向量相同，故可所求平面与已知平面平行，两者的法向量相同，故可设所求平面的方程为设所求平面的方程为已知平面上有点已知平面上有点 ，该点到所求平面的的距离为，该点到所求平面的的距离为3，即，即 可解得可解得 或或 .代入所设平面方程得所求平面的方程为代入所设平面方程得所求平面的方程为或或 【例【例5】 求过点求过点 且与平面且与平面 和和 平行平行 的直线方程。的直线方程。 分析：直线过已知一点，由直线的对称式，只需求直线的分析：直线过已知一点，由直线的对称式，只需求直线的 方向向量，直线的方向向量分别与两已知平面的法向量垂直，方向向量，直线的方向向量分别与两已知平面的法向量垂直， 可用向量积求出直线的方向向量。可用向量积求出直线的方向向量。 .可取可取 直线过点直线过点 ，则所求直线方程为，则所求直线方程为 解：设所求直线的方向向量为解：设所求直线的方向向量为 ，两已知平面，两已知平面 的法向量为的法向量为 ， 的法向量为的法向量为 ， 那么那么 ， 。 .解：解： 已知直线上点已知直线上点 在所给平面上，该点坐标满足在所给平面上，该点坐标满足 平面方程；平面方程；解之得解之得 。 【例【例6】已知直线】已知直线 在平面在平面 ， 求求 的值。的值。分析：直线在平面上，则直线上的点都在平面上、直线分析：直线在平面上，则直线上的点都在平面上、直线 的方向向量与平面的法向量垂直。的方向向量与平面的法向量垂直。与平面与平面的法向量的法向量 应相互垂直，即应相互垂直，即 。则有。则有 关系式关系式 其次，直线的方向向量其次，直线的方向向量 .求平面的法向量与两者分别垂直，平面的法向量可用向量积求得。求平面的法向量与两者分别垂直，平面的法向量可用向量积求得。【例【例7】求过点】求过点 且通过直线且通过直线 的平面方程。的平面方程。 分析：分析： 直线上一点及已知点可确定一向量，直线有方向向量；所直线上一点及已知点可确定一向量，直线有方向向量；所解：直线上的点解：直线上的点 及已知点及已知点 在所求平面上，在所求平面上， 两点构成向量两点构成向量 ，直线方向向量，直线方向向量 ； 所求平面方程为所求平面方程为 即即 所求平面的法向量所求平面的法向量 ， ，于是可取，于是可取 .【例【例8】已知两直线】已知两直线 求过求过 且平行于且平行于 的平面。的平面。 分析：所求平面过直线分析：所求平面过直线 ，则过直线上点，由平面的点法式，则过直线上点，由平面的点法式， 关键是求出平面的法向量，有两种方法：关键是求出平面的法向量，有两种方法： （1用向量积得出与两直线的方向向量都垂直的向量；用向量积得出与两直线的方向向量都垂直的向量； （2先设出平面的法向量，再由条件定系数。先设出平面的法向量，再由条件定系数。 解法解法1: 直线直线 上的点上的点 在所求平面上；又所求平面的在所求平面上；又所求平面的 法线向量法线向量 与已知二直线与已知二直线 的方向向量的方向向量 、 都垂直，从而可取都垂直，从而可取.于是所求平面方程为于是所求平面方程为即即 解法解法2：设所求的法向量为：设所求的法向量为 过直线过直线 上的点上的点 的方程为的方程为已知二直线已知二直线 的方向向量为的方向向量为 、 ， 因为因为平面平面 过过 ，所以，所以 ，又因为，又因为 ，所以，所以 ，则有，则有 解得解得 取取 那么那么 。 平面方程为：平面方程为： 即即 .【例【例9】求直线】求直线 与直线与直线 的夹角。的夹角。 分析：关键是求出直线分析：关键是求出直线 的方向向量，可用向量积求得。的方向向量，可用向量积求得。 解：直线解：直线 的方向向量是的方向向量是 ，而直线，而直线 的方向的方向 向量向量 分别与两向量分别与两向量 ， 垂直垂直,则可取则可取 从而直线从而直线 与直线与直线 的夹角的夹角 的余弦为的余弦为因而因而 .【例【例10】求过点】求过点 ，垂直于直线，垂直于直线 且平行于且平行于 平面平面 的直线方程。的直线方程。 可用向量积求可用向量积求 。 分析：由本题的条件知，求直线的方向向量分析：由本题的条件知，求直线的方向向量 垂直于已知垂直于已知 直线的方向向量直线的方向向量 ，也垂直于已知平面，也垂直于已知平面 的法向量的法向量解：设所求直线解：设所求直线 的方向向量为的方向向量为 ，已知直线，已知直线 的方向的方向 向量向量 ,已知平面已知平面 的法向量为的法向量为 ， ，所以，所以， ，故可取，故可取 知知.从而所求直线的方程为从而所求直线的方程为 即即 【例【例11】* 已知直线已知直线 及点及点 ， 求点求点 到直线到直线 的距离的距离 。 分析：要想求出点到直线的距离，需求过该点与已知直线垂直分析：要想求出点到直线的距离，需求过该点与已知直线垂直 相交的直线和已知直线的交点即垂线足，或称为投影），相交的直线和已知直线的交点即垂线足，或称为投影）， 得出交点即可求出。得出交点即可求出。 .过点过点 做垂直于已知直线做垂直于已知直线 的平面的平面 ，其法向量，其法向量即是即是 的方向向量的方向向量 ，则平面方程为，则平面方程为 即即 再求已知直线再求已知直线 与平面与平面 的交点的交点 ，取已知直线，取已知直线 上点上点 ，得直线的对称式方程为，得直线的对称式方程为 解：已知直线解：已知直线 的方向向量为的方向向量为 .化为参数方程为化为参数方程为 ，将已知直线的参数方程代入，将已知直线的参数方程代入平面平面 方程方程 得得 ，那么，那么 故有交点故有交点 ， 因此所求的距离为因此所求的距离为 注：求点到直线距离、过一点作与已知直线垂直相交的直线、点在注：求点到直线距离、过一点作与已知直线垂直相交的直线、点在 直线上的投影等几种问题均为同一种类型题，解题过程基本相同。直线上的投影等几种问题均为同一种类型题，解题过程基本相同。.【例【例12】通过二平面】通过二平面 与与 的交线及的交线及 点点 的平面方程。的平面方程。 分析：所求平面过分析：所求平面过 点，由点法式方程，只需求出平面的点，由点法式方程，只需求出平面的 所求平面上，又交线上的一点所求平面上，又交线上的一点 与已知点与已知点 所所 向量。也可现设出所求平面的法向量，再由条件定其坐标。向量。也可现设出所求平面的法向量，再由条件定其坐标。 又可利用过交线的平面束。又可利用过交线的平面束。确定的向量确定的向量 在所求平面上，两者可确定所求平面的法在所求平面上，两者可确定所求平面的法解法解法1：设两个平面的交线为：设两个平面的交线为 ，方向向量为，方向向量为 ，已知两平面，已知两平面 的法向量为的法向量为 ， ，因为，因为 法向量。所给两个平面的交线法向量。所给两个平面的交线 （方向向量（方向向量 ）显然应该在）显然应该在 .点点 满足两已知平面方程，故该点在两平面交线满足两已知平面方程，故该点在两平面交线 上，上， 该点与点该点与点 所确定的向量所确定的向量 平面上。则所求平面的法向量为平面上。则所求平面的法向量为在所求在所求则所求平面的方程为则所求平面的方程为即即 可取可取 .解法解法2：同解法：同解法1交线交线 的方向向量为的方向向量为 ， 设求平面的法向量为设求平面的法向量为 ，那么，那么 ， ，于是有于是有 ，得，得 取取 ，那么，那么 则所求平面的方程为则所求平面的方程为即即 .解法解法3：过交线：过交线 的平面束的方程是的平面束的方程是即即 点点 不在交线上，故平面束中过点不在交线上，故平面束中过点 的的 平面唯一。将平面唯一。将 的坐标代入平面束方程：的坐标代入平面束方程： 可得可得 于是求平面的方程为于是求平面的方程为 即即 .【例【例13】求直线】求直线 在平面在平面 上的投影的直线方程。上的投影的直线方程。分析：应考虑过已知直线的平面束中有一个平面与已知分析：应考虑过已知直线的平面束中有一个平面与已知平面垂直，平面束中该平面是直线的投影柱面。平面垂直，平面束中该平面是直线的投影柱面。解：过已知直线的平面束方程为解：过已知直线的平面束方程为 即即其法向量其法向量 平面束中有一个平面与已知平面垂直，平面束中有一个平面与已知平面垂直， 与已知平面法向量与已知平面法向量 垂直垂直 即其法向量即其法向量.则两者的数量积为零，即则两者的数量积为零，即解得解得 则法向量为则法向量为 . 于是平面束中以此为法向量的平面方程为于是平面束中以此为法向量的平面方程为 即是直线的投影柱面。即是直线的投影柱面。则已知直线在已知平面上的投影为则已知直线在已知平面上的投影为.【例【例14】一平面通过两平面】一平面通过两平面 的交线，且与平面的交线，且与平面 成成 角角,求其方程求其方程.分析：分析：过交交线的平面束中有两个平面与已知平面成的平面束中有两个平面与已知平面成 用数量积表示用数量积表示 . 解：过交线的平面束方程为解：过交线的平面束方程为 即即其法向量为其法向量为 与已知平面法向量与已知平面法向量 成成 时有时有, 当当.即即可得可得 于是所求平面两个于是所求平面两个:（1） 时时, 有有 ,即为已知平面。即为已知平面。（2） 时时,有有 . .【例【例15】已知曲面】已知曲面 上点上点 处的切平面平行处的切平面平行于平面于平面 求点求点 的的 坐标坐标.分析：本题的切平面的法向量已与已知平面的法向量平行；分析：本题的切平面的法向量已与已知平面的法向量平行；问题是要求出切点。可由曲面方程求切平面的法向量，再问题是要求出切点。可由曲面方程求切平面的法向量，再利用平行条件。利用平行条件。解解:令令 曲面上任意曲面上任意 处切平面的法向量是处切平面的法向量是 已知平面的法向量为已知平面的法向量为 .曲面的切平面平行与已知平面，则有两法向量平行：曲面的切平面平行与已知平面，则有两法向量平行： 即即 解之得解之得 代入曲面方程得代入曲面方程得 故点故点 的坐标为的坐标为 .