为为 的的矩阵多项式矩阵多项式。 定义：定义： 已知已知 和关于变量和关于变量 的多项的多项式式那么我们称那么我们称第六章第六章 矩阵函数矩阵函数 1矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式设设设 为一个为一个 阶矩阵，阶矩阵， 为其为其Jordan标准标准形，则形，则于是有于是有我们称上面的表达式为我们称上面的表达式为矩阵多项式矩阵多项式 的的Jordan表示表示。其中。其中注总结:设解：解：首先求出矩阵的首先求出矩阵的 的的Jordan标准形标准形 及及其相似变换矩阵其相似变换矩阵例例 已知多项式已知多项式与矩阵与矩阵求求 。那么有那么有定义：定义：已知已知 和关于变量和关于变量 的多的多项式项式为矩阵为矩阵 的一个的一个零化多项式零化多项式。如果如果 满足满足 ，那么称，那么称定理：定理：已知已知 ， 为其特征多项式为其特征多项式，则有，则有我们称此定理为我们称此定理为Hamilton-Cayley定理定理。证明：是特征根，其重数（代数重复度）故最小多项式的性质：最小多项式的性质：已知已知 ，那么，那么定义：定义：已知已知 ，在，在 的零化多项式中，的零化多项式中，次数最低且首项系数为次数最低且首项系数为1的零化多项式称为的零化多项式称为 的的最小多项式最小多项式，通常记为，通常记为 。（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被）矩阵的任何一个零化多项式均能被（1）矩阵）矩阵 的最小多项式是唯一的。的最小多项式是唯一的。整除。整除。（3）相似矩阵有相同的最小多项式。）相似矩阵有相同的最小多项式。例例 1 ：已知一个已知一个Jordan块块考虑考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。标准形矩阵的最小多项式。如何求一个矩阵的最小多项式如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们首先我们解：解：注意到其特征多项式为注意到其特征多项式为，则由上面的定理可知其最小多项式，则由上面的定理可知其最小多项式一定具有如下形状一定具有如下形状其中其中 。但是当。但是当 时时求其最小多项式。求其最小多项式。因此有因此有同理同理若若对应初等因子有有结论：A的最小多项式是A的最后的一个不变因子。即为即为 的最小公倍式的最小公倍式多项式为多项式为 的最小多项式，则的最小多项式，则 的最小的最小 ， 分别为子块分别为子块例例 2 ：已知对角块矩阵已知对角块矩阵例例 3 ：求下列矩阵的最小多项式求下列矩阵的最小多项式解：解： （1）首先求出）首先求出 标准形标准形所以其最小多项式为所以其最小多项式为 。（2）标准形）标准形从而其最小多项式为从而其最小多项式为 。（3）故其最小多项式为故其最小多项式为 。（4）此矩阵本身就是一个）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，标准形，所以其最小多项式所以其最小多项式 。定义：定义：设设 ， 为为 的的 个互不相同的特征值，个互不相同的特征值， 为其最小多项为其最小多项式且有式且有2：矩阵函数及其计算矩阵函数及其计算函数在矩阵谱上的值与矩阵函数函数在矩阵谱上的值与矩阵函数其中其中 例：例：设设定义定义。存在，则称函数存在，则称函数 在矩阵在矩阵 的的谱上有谱上有下列下列 个值个值如果函数如果函数 具有足够高阶的导数并且具有足够高阶的导数并且又已知又已知并且并且容易求得矩阵容易求得矩阵 的最小多项式为的最小多项式为显然显然 不存在，所以在不存在，所以在 的谱上无定义。的谱上无定义。考虑下面两个问题：考虑下面两个问题：所以所以 在在 的谱上有定义。但是如果取的谱上有定义。但是如果取容易求得矩阵容易求得矩阵 的最小多项式为的最小多项式为（1）设）设 ，如果，如果 有定义，那有定义，那么么 是否也有定义？是否也有定义？定义：定义：设矩阵设矩阵 的最小多项式为的最小多项式为如果上述说法正确，请予以证明；如果如果上述说法正确，请予以证明；如果上述说法不正确，请举反例加以说明。上述说法不正确，请举反例加以说明。定义，那么定义，那么 是否也有定义？是否也有定义？（2）设）设 且且 可逆，如果可逆，如果 有有标准形，标准形， 为其相似变换矩阵且使得为其相似变换矩阵且使得函数函数 在矩阵在矩阵 的谱上有定义，如果的谱上有定义，如果存在多项式存在多项式 且满足且满足定理：定理：设设 ， 为矩阵为矩阵 的的Jordan如何求矩阵函数？矩阵函数的如何求矩阵函数？矩阵函数的Jordan表示表示,多项式表示与幂级数表示多项式表示与幂级数表示则定义则定义矩阵函数矩阵函数为为 ，如果函数，如果函数 在矩阵在矩阵 的谱的谱上有定义，那么上有定义，那么其中其中我们称此表达式为我们称此表达式为矩阵函数矩阵函数 的的Jordan表示表示。例例 1 ：设设变换矩阵变换矩阵解：首先求出其解：首先求出其Jordan标准形矩阵标准形矩阵 与相似与相似求求 的的Jordan表示并计算表示并计算从而从而 的的Jordan表示为表示为当当 时，可得时，可得从而有从而有当当 时，可得时，可得于是有于是有当当 时，可得时，可得同样可得同样可得例例 2 ：设设相似变换矩阵相似变换矩阵解：首先求出其解：首先求出其Jordan标准形矩阵标准形矩阵 与与求求 的的Jordan表示并计算表示并计算从而从而 的的Jordan表示为表示为当当 时，可得时，可得于是有于是有故故当当 时，可得时，可得类似可求得类似可求得定理：定理：设函数设函数 与函数与函数 在矩阵在矩阵 的的谱上都有定义，那么谱上都有定义，那么 的充分的充分必要条件是必要条件是 与与 在在 的谱上的值的谱上的值完全相同。完全相同。特征值且特征值且其中其中 为矩阵为矩阵 的的 个互异个互异设矩阵设矩阵 的最小多项式为的最小多项式为第三节：矩阵函数的多项式表示第三节：矩阵函数的多项式表示 如何寻找多项式如何寻找多项式 使得使得 与所求与所求的矩阵函数的矩阵函数 完全相同？根据计算方法中完全相同？根据计算方法中的的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为项式中有一个次数为 次的多项式次的多项式且满足条件且满足条件这样，多项式这样，多项式为为矩阵函数矩阵函数 的多项式表示的多项式表示。确定出来。则我们称确定出来。则我们称关系式关系式中的系数中的系数 完全可以通过完全可以通过例例 1 ：设设解：容易观察出该矩阵的最小多项式为解：容易观察出该矩阵的最小多项式为求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算这是一个这是一个3次多项式，从而存在一个次数为次多项式，从而存在一个次数为2 的多项式的多项式于是可得于是可得且满足且满足解得解得所以其多项式表示为所以其多项式表示为当当 时，可得时，可得当当 时，可得时，可得于是有于是有故有故有类似地有类似地有例例 2 ：设设这是一个这是一个3次多项式，从而存在一个次数为次多项式，从而存在一个次数为2解：容易观察出该矩阵的最小多项式为解：容易观察出该矩阵的最小多项式为求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算的多项式的多项式于是有于是有且满足且满足解得解得所以其多项式表示为所以其多项式表示为当当 时，可得时，可得当当 时，可得时，可得于是有于是有故有故有类似地有类似地有例例 3 ：设设的多项式的多项式这是一个这是一个2次多项式，从而存在一个次数为次多项式，从而存在一个次数为1解：容易观察出该矩阵的最小多项式为解：容易观察出该矩阵的最小多项式为求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算且满足且满足解得解得于是有于是有所以其多项式表示为所以其多项式表示为从而可得从而可得 当当 时，可得时，可得当当 时，可得时，可得故有故有同样可以得到同样可以得到求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算练习练习 ：设设定义：定义：设设 ，一元函数，一元函数 能够展开能够展开成关于成关于 的幂级数的幂级数谱半径谱半径 时，我们将收敛矩阵幂级数时，我们将收敛矩阵幂级数并且该幂级数地收敛半径为并且该幂级数地收敛半径为 。当矩阵。当矩阵 的的第四节：矩阵函数的幂级数表示第四节：矩阵函数的幂级数表示的和定义为矩阵函数，一般记为的和定义为矩阵函数，一般记为 ，即，即因为当因为当 时，有时，有当当 时，有时，有所以对于任意的矩阵所以对于任意的矩阵 ，当，当当当 时，有时，有时，我们有时，我们有由此可以得到一些简单的推论：由此可以得到一些简单的推论： 第五节：第五节：矩阵指数函数与矩阵三角函数矩阵指数函数与矩阵三角函数这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，即性质，即定理：定理：设设 ，那么当，那么当 时，时，我们有我们有证明：首先证明第一个等式证明：首先证明第一个等式现在证明第二个等式现在证明第二个等式同样可以证明其余的结论。同样可以证明其余的结论。那么容易计算那么容易计算例：例：设设必不可少的。必不可少的。注意：注意：这里矩阵这里矩阵 与与 的交换性条件是的交换性条件是并且并且于是有于是有故有故有显然显然 三者互不相等。三者互不相等。另外，关于矩阵的指数函数与三角函数还有另外，关于矩阵的指数函数与三角函数还有下面几个特殊性质。下面几个特殊性质。例例 ：设设 是一个是一个Hermite 矩阵，那么矩阵，那么 是是可得可得证明：由矩阵指数函数公式证明：由矩阵指数函数公式一个酉矩阵。一个酉矩阵。阵阵 ），那么），那么 为一个正交矩阵为一个正交矩阵( (或酉矩阵或酉矩阵) ) 。这表明这表明 为一个酉矩阵。为一个酉矩阵。可得可得由矩阵指数函数的幂级数表示由矩阵指数函数的幂级数表示证明：设证明：设 为一个实的反对称矩阵，那么为一个实的反对称矩阵，那么例例 ：设设 是一个实的反对称矩阵（或反是一个实的反对称矩阵（或反-H同样可以证明当同样可以证明当 为一个反为一个反H-矩阵时，矩阵时， 为为一个酉矩阵。一个酉矩阵。