1. 说出基本初等函数、复合函数、初等函数的概念，能将初等函数分解成基本初等函数； 2. 掌握数列极限的概念，会计算数列极限；3. 解释函数极限的概念，会计算函数极限；能熟练运用两个重要极限进行计算；4. 说出无穷小量的概念，能运用无穷小量的性质计算极限；5. 说出函数连续的概念，会判断函数在所给点是否连续，会求函数的间断点，会用初等函数的连续性求极限，了解闭区间上连续函数的性质；第第8章章 极限与连续极限与连续 第一节第一节 数列的极限数列的极限 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 定义定义1 给定一个数列给定一个数列a1 ，a2 ，a3 ，an ，如果当，如果当n无限地增大时，无限地增大时，an无无限地趋近于某一个确定的常数限地趋近于某一个确定的常数A，则称数，则称数列列an 当当n 时以时以A为极限，记为为极限，记为 an = A或或 an A(n ) ，如果数列有，如果数列有极限，则称数列是收敛的，如果数列没极限，则称数列是收敛的，如果数列没有极限，则称数列是发散的。有极限，则称数列是发散的。 数列极限的 - N定义： 设an是一个数列，A是一个确定的常数，如果对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得当n N时，总有|anA|，则称数列an当n 时以A为极限，记为an = A 或 an A (n )。 例例 确定下列数列的极限确定下列数列的极限 （1 1） 1 1， ， ， ， （2 2） 2 2， ， ， ， （3 3） ， ， ， ，解解 （1 1当当n n 时，时， 0 0， 所以所以 。（2 2当当n n 时，时， 0 0，所以，所以 1 1，所以所以 。（3 3当当n n 时时， 00，所所以以 0 0，所所以以 11，所以所以 。 二、数列极限的性质定义2 （数列的有界性设an是一个数列，如果存在一个常数M，使得对于数列an中的任何一项an 都有anM，则称数列an有上界，称M是数列an的一个上界。如果这样的M不存在，则称数列an无上界；如果存在一个常数m，使得对于数列an中的任何一项an 都有anm，则称数列an有下界，称m是数列an的一个下界。如果这样的m不存在，则称数列an无下界；如果存在一个正数K，使得对于数列an中的任何一项an都有 |an|K，则称数列an有界，如果这样的K不存在，则称数列an无界。 下面给出数列极限的性质：性质1 （极限的惟一性数列an不能收敛于两个不同的极限。性质2 （收敛数列的有界性如果数列an收敛，那么数列an一定有界。性质3 （收敛数列与其子数列间的关系如果数列an收敛于A，那么它的任一子数列也收敛，并且极限也是A。 三、极限存在准则原则如果数列an，bn，cn满足：（1anbncn，（n=1，2，3，）；（2）an，cn的极限都存在，且an=cn=A；则数列bn的极限也存在，且bn=A。原则又称夹比定理、夹挤定理或两边夹法则。原则单调有界数列必有极限。四、数列极限的运算定理1如果数列an和bn的极限都存在，an=A，bn=B则数列anbn的极限也存在，且(anbn)=AB（可推广到有限个数列的代数和）。定理定理2 2 如果数列如果数列anan和和bnbn的极限都存在，的极限都存在， an=A an=A， bn=B bn=B，则数列，则数列an an bn bn的极的极限也存在，且限也存在，且 (an (anbn)=Abn)=AB B （可（可推广到有限个数列的乘积）。推广到有限个数列的乘积）。 定理定理3 3 如果如果C C是一个确定的常数，那么是一个确定的常数，那么 C = C C = C定定理理4 4 如如果果数数列列anan和和bnbn的的极极限限都都存存在在， an=A an=A ， bn=B (B 0) bn=B (B 0) 则数列则数列 的极限也存在，且的极限也存在，且 第二第二节 函数的极限函数的极限 一、初等函数（一基本初等函数1、常函数y=CC为任意常数）Oxyy=22 2、幂函数、幂函数 y = x y = x 为实数且为实数且为常数）为常数）xyxyOOOxyy=xy=x2y=x-13 3、指数函数、指数函数 y = a x y = a xa a0 0且且a1a1，a a是常是常数）数） xOyOxyy=axa1y=ax0a14 4、对数函数、对数函数 y = log a x y = log a xa a0 0且且a1a1，a a是常数）是常数） xxOOyyy=logaxa1y=logax0a15 5、三角函数、三角函数 三角函数包括下列三角函数包括下列6 6个函数：个函数：正弦函数正弦函数 y = sin x y = sin x； 余弦函数余弦函数y = cos xy = cos x；正切函数正切函数 y = tan x y = tan x； 余切函数余切函数y = cot xy = cot x；正割函数正割函数 y = sec x y = sec x； 余割函数余割函数y = csc xy = csc x； 正弦函数y = sin x的性质 定义域是R，值域是-1, 1，是奇函数，是周期函数，最小正周期是2。余弦函数y = cos x的性质： 定义域是R，值域是-1, 1，是偶函数，是周期函数，最小正周期是2正切函数y = tan x的性质： 定义域是 ，值域是R，是奇函数，是周期函数，最小正周期是 余切函数y = cot x的性质： 定义域是 ，值域是R，是奇函数，是周期函数，最小正周期是正割函数y = sec x的性质： 定义域是 ，值域是 1，是偶函数，是周期函数，最小正周期是2 余割函数y = csc x的性质： 定义域是 ，值域是 1，是奇函数，是周期函数，最小正周期是2 6 6、反三角函数、反三角函数 反三角函数包括下列反三角函数包括下列4 4个函数：个函数：反正弦函数反正弦函数y = arcsin xy = arcsin x；反余弦函数；反余弦函数y = y = arccos xarccos x；反正切函数反正切函数y = arctan xy = arctan x；反余切函数；反余切函数y = y = arccot x arccot x （二复合函数定义1假设有两个函数y=f(u)，u=(x)，如果对于每一个函数值u=(x)，f(u)都有意义，则称y是x复合函数，记作y=f(x)，其中u称为中间变量。例写出下列复合函数（1），u=sinx；（2y=eu，u=tan，解（1）；（2）（三初等函数定义2基本初等函数经有限次四则运算以及复合运算而得到的函数，叫做初等函数。目前我们见到的大多数函数都是初等函数。二、函数极限的定义定义3对于函数y=f(x)，如果当x无限地增大时，函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称函数y=f(x)当x+时以A为极限，记作f(x)=A或f(x)A(x+)。定义4对于函数y=f(x)，如果当x无限地变小x的绝对值无限地增大时，函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称函数y=f(x)当x时以A为极限，记作f(x)=A或f(x)A(x)。定义定义6 对于函数对于函数y = f (x)在在x0附近有定义附近有定义在在x0可以没有定义），如果当可以没有定义），如果当x无限地趋无限地趋近于近于x0始终不等于始终不等于x0时，函数值时，函数值f (x)无限趋近于一个确定的常数无限趋近于一个确定的常数A，则称函数，则称函数y = f (x)当当 x x0时以时以A为极限，记作为极限，记作f (x) = A 或或f (x) A (x x0)。 定义定义7 对于函数对于函数y = f (x)在在x0附近有定义附近有定义在在x0可以没有定义），如果当可以没有定义），如果当x从大于从大于x0的方向无限地趋近于的方向无限地趋近于x0始终不等于始终不等于x0时，函数值时，函数值f (x)无限趋近于一个确定的无限趋近于一个确定的常数常数A，则称，则称A是函数是函数y = f (x)当当x x0时时的右极限，记作的右极限，记作 f (x) = A 或或f (x) A (x x0)。 定义定义8 对于函数对于函数y = f (x)在在x0附近有定义附近有定义在在x0可以没有定义），如果当可以没有定义），如果当x从小于从小于x0的方向无限地趋近于的方向无限地趋近于x0始终不等于始终不等于x0时，函数值时，函数值f (x)无限趋近于一个确定的无限趋近于一个确定的常数常数A，则称，则称A是函数是函数y = f (x)当当x x0时时的左极限，记为的左极限，记为 f (x) = A或或f (x) A (x x0)。 定理定理1 1 函数极限函数极限 f (x) f (x)存在的充分必存在的充分必要条件是函数要条件是函数y = f (x)y = f (x)在在x0x0点的左右极点的左右极限都存在且相等，即限都存在且相等，即 f (x) = f (x) = f (x)f (x)。 三、无穷小量与无穷大量（一无穷小量的概念定义9在某一极限过程中，以零为极限的变量，称为无穷小量，简称无穷小。定理2在某一极限过程中，函数f(x)以常数A为极限的充分必要条件是f(x)=A，是同一极限过程中的无穷小量。（二无穷大量的概念定义10在某一变化过程中，绝对值无限增大的变量，称为无穷大量，简称无穷大，记作。无穷小的阶定义11设在当xx0或x）时，和都是无穷小量，且0，则有(1)假如，那么称当xx0或x）时，是比高阶的无穷小也可以说是比低阶的无穷小）；(2)假如（C是不等于0的常数），那么称当xx0或x）时，与是同阶无穷小；（3假如，那么称当xx0或x）时，与是等价无穷小。（四无穷小量的运算定理3有限个无穷小量的代数和是无穷小量。定理4有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。定理5有限个无穷小量的乘积是无穷小量。四、函数极限的运算定理6设在当xx0或x）时，函数f(x)的极限为A，函数g(x)的极限为B，那么（1）f(x)g(x)=AB（2）f(x)g(x)=AB（3）（4）Cf(x)=CAC为常数）（5）（K为常数，且AK有意义）五、两个重要极限及其应用重要极限1重要极限2六、渐近线定义12设y=f(x)是一个函数，当x时，f(x)C，则直线y=C就是函数y=f(x)的一条水平渐近线平行于x轴）。当xC（或xC）时，f(x)，则直线x=C就是函数y=f(x)的一条垂直渐近线平行于y轴）。第三节函数的连续性第三节函数的连续性 一、连续函数的概念定义1如果自变量x由初值x0变到终值x1，则x1x0称为自变量在点x0的增量，记为x=x1x0，当x0时，表示自变量x是增加的，当x0时，表示自变量x是减少的。自变量的终值x1也可表示为x0x，当自变量x由初值x0变到终值x0x时，对应的函数值也从f(x0)变到f(x0x)，用y表示函数值的改变量，即y=f(x0x)f(x0)，y也称之为函数值的增量。当y0时，表示函数值是增加的，当y0时，表示函数值是减少的。定义定义2 2 设函数设函数y = f (x)y = f (x)在点在点x0x0的某个邻域内有的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量定义，如果当自变量的增量xx趋向于零时，趋向于零时，函数值的增量函数值的增量 y = f (x0 y = f (x0x)x)f (x0) f (x0) 也趋向于零，即也趋向于零，即 y = y = f (x0f (x0x)x)f (x0) = 0f (x0) = 0， 那么称函数那么称函数y = f (x)y = f (x)在点在点x0x0处是连续的。处是连续的。 定义定义3 3 如果函数如果函数y = f (x)y = f (x)满足以下三个条件：满足以下三个条件：（1 1y = f (x)y = f (x)在点在点x0x0的某个邻域内有定义；的某个邻域内有定义；（2 2） f (x) f (x)存在；存在；（3 3） f (x) = f (x0) f (x) = f (x0)。则称函数则称函数y = f (x)y = f (x)在点在点x0x0处是连续的。处是连续的。 定义定义4 4 如果函数如果函数y = f (x)y = f (x)在开区间在开区间(a, b)(a, b)内每内每点处都连续，则称函数在开区间点处都连续，则称函数在开区间(a, b)(a, b)内连续；内连续；如果函数如果函数y = f (x)y = f (x)在开区间在开区间(a, b)(a, b)内连续，内连续，并且在区间的左端点并且在区间的左端点a a处右连续处右连续（ f (x) = f (a) f (x) = f (a)），在区间的右端点），在区间的右端点b b处左处左连续连续（ f (x) = f (b) f (x) = f (b)），则称函数），则称函数y = f (x)y = f (x)在在闭区间闭区间a, ba, b上连续。上连续。 二、函数的间断点(一)间断点的概念根据定义，函数y=f(x)在x0处连续必须满足三个条件：（1y=f(x)在x0处有定义；（2）f(x)存在；（3）f(x)=f(x0)。如果这三个条件有一个不满足，则称x0为函数y=f(x)的间断点或不连续点）。( (二二) ) 间断点的分类间断点的分类 设设函函数数y y = = f f (x)(x)在在x0x0处处不不连连续续，如如果果函函数数y y = = f f (x)(x)在在x0x0处处的的左左右右极极限限都都存存在在，则则称称x0x0是是函函数数y y = = f f (x)(x)的的第第一一类类间间断断点点。否否则则，称称x0x0是是函函数数y y = = f f (x)(x)的的第第二二类类间间断断点点；如如果果x0x0是是函函数数y y = = f f (x)(x)的的第第一一类类间间断断点点，并并且且函函数数y y = = f f (x)(x)在在x0x0处处的的左左右右极极限限相相等等，则则称称x0x0是是函函数数y y = = f f (x)(x)的的可可去去间间断断点点；可可去去间间断断点点可可以以通通过过补充定义变成连续点。补充定义变成连续点。 三、初等函数的连续性（一连续函数的性质连续函数的性质（1两个连续函数的代数和和或差仍是连续函数；（2两个连续函数的乘积仍是连续函数；（3两个连续函数的商分母不为零仍是连续函数；（4有反函数的连续函数的反函数仍是连续函数；（5两个连续函数的复合函数仍是连续函数。（二初等函数的连续性定理2 初等函数在其定义域内都是连续函数； 四、区间上连续函数的性质 定理3 （最大值与最小值定理如果函数y = f (x)在闭区间a, b上连续，则函数y = f (x)在闭区间a, b上必有最大值与最小值。 推论1 （有界性定理如果函数y = f (x)在闭区间a, b上连续，则函数y = f (x)在闭区间a, b上必有界。 定理4 （介值定理如果函数y = f (x)在闭区间a, b上连续，则对于f (a)与f (b)之间的任意一个数，在闭区间a, b上至少存在一点，使得f () = 。 推论2 （根的存在定理如果函数y = f (x)在闭区间a, b上连续，并且f (a)与f (b)异号，在闭区间a, b上至少存在一点，使得f () = 0。