集合集合函数函数无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量函数的极限函数的极限函数的连续性函数的连续性一、连续性概念一、连续性概念二、间断点及其分类二、间断点及其分类三、连续函数的性质三、连续函数的性质 初等函数的连续性初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 1.5 1.5 函数的连续性函数的连续性一、连续性概念一、连续性概念考察函数的图形：考察函数的图形：图图1图图2几何上易见图几何上易见图1- 2 都是连续不断的曲线都是连续不断的曲线!1.1.连续的定义连续的定义函数的增量定义函数的增量定义Z 思考题思考题例例1 1证证证证例例证证. .单边连续单边连续定理（单边连续与连续的关系）定理（单边连续与连续的关系）例例3 3解解例例4 4解解. .连续函数连续函数二、间断点及其分类二、间断点及其分类图图3图图4图图5图图6观察函数的图形图图7oyx图图8图图3- 8曲线在某点断开了曲线在某点断开了!1 1 可去间断点可去间断点图图3图图4如在图如在图3，4的情形的情形,注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. 跳跃间断点跳跃间断点图图5跳跃间断点跳跃间断点与与可去间断点可去间断点统称为统称为第一类间断点第一类间断点. .特点特点3 3 第二类间断点第二类间断点图图6图图7oyx图图8Z 思考题思考题思考题解答思考题解答且且1、一类；一类；二类。、一类；一类；二类。2、但反之不成立但反之不成立.例例但但定理定理2 2（连续函数的四则运算）（连续函数的四则运算）三、连续函数的性质三、连续函数的性质 初等函数的连续性初等函数的连续性例如例如,连续函数的性质连续函数的性质定理定理3 3（反函数的连续性）（反函数的连续性）p6的的定理定理1:注意注意: : 定理对开区间定理对开区间, ,无穷区间均成立无穷区间均成立. .例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.又例如，又例如，定理定理（复合函数的连续性复合函数的连续性）设函数设函数y=f (u)及及u= (x)构成复合函数构成复合函数y=f (x).则复合函数则复合函数f (x) 在点在点x0处连续处连续. .注意注意定理定理5 5是复合函数求极限（见是复合函数求极限（见P30P30定理定理15）的）的特殊情况特殊情况. .例如例如,注意注意意义意义极限符号可以与函数符号互换，即极限符号可以与函数符号互换，即例例5 5解解（See P44See P44定理）定理）例例6 6解解同理可得同理可得三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的. 初等函数的连续性初等函数的连续性常数函数在常数函数在(-,+ )内内是连续的是连续的.基本初等函数在其定义域内都是连续的基本初等函数在其定义域内都是连续的. .(均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .注意：定义区间是指包含在定义域内的区间注意：定义区间是指包含在定义域内的区间. .1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, ,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义. .在在0 0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义. .注注:例例7 7例例8 8解解解解 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.注意注意例例1010 求求解解说明说明 若若则有则有例如例如若若小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别:2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:跳跃型跳跃型,可去型可去型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点4 连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.5 初等函数的连续性初等函数的连续性.求极限的又一种方法求极限的又一种方法.反函数的连续性反函数的连续性.Z 思考题思考题