结构力学结构力学第十二章第十二章 结构动力学结构动力学12.12 12.12 计算频率的近似法计算频率的近似法1 1 能量法求第一频率瑞利法能量法求第一频率瑞利法2 2 集中质量法集中质量法3 3 矩阵迭代法矩阵迭代法4 4 结构的地震分析结构的地震分析1 1 能量法求第一频率瑞利法能量法求第一频率瑞利法 当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能（动能（T）和应变能（）和应变能（U）之和应等于常数。）之和应等于常数。瑞利法的出发点瑞利法的出发点: : 能量守恒定律能量守恒定律以梁的自由振动为例以梁的自由振动为例: :设设: :动能动能: :最大动能最大动能: :梁的自由振动梁的自由振动应变能应变能: :最大应变能最大应变能: :如梁上还有集中质量如梁上还有集中质量miYi 为集为集中质量中质量mi处位处位移幅值移幅值假设位移幅值函数假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：必须注意以下几点： 所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近; ;结构结构比较容易出现的变形形式比较容易出现的变形形式; ;曲率小，拐点少。曲率小，拐点少。必须满足运动边界条件：必须满足运动边界条件： 几何边界条件几何边界条件自然边界条件自然边界条件RayleighRayleigh法主要用于求法主要用于求1的近似解的近似解由上式可见，要求频率必须先假设位移幅值函数由上式可见，要求频率必须先假设位移幅值函数Y(x) 。若考虑水平振动，则若考虑水平振动，则重力应沿水平方向作用。重力应沿水平方向作用。 通常可取结构在某个静荷载通常可取结构在某个静荷载q(x)作用下的弹性曲线作用下的弹性曲线 作为作为 Y(x)的近似表达式。此时应变能可用相应荷载的近似表达式。此时应变能可用相应荷载 q(x)所作的功来代替。所作的功来代替。取自重荷载作用下的曲线取自重荷载作用下的曲线Y(x)的近似表达式。的近似表达式。 例例12.2412.24求等截面简支梁的第一自振频率。求等截面简支梁的第一自振频率。解：解：1 1）假设为抛物线）假设为抛物线: :代入公式代入公式: :满足边界条件满足边界条件: :2 2）设精确曲线）设精确曲线: :代入公式代入公式: :满足边界条件满足边界条件: :3 3）梁在）梁在q作用下的绕曲线作用下的绕曲线: :代入公式代入公式: :满足边界条件满足边界条件: :与精确解相比，各种方与精确解相比，各种方法的精度还是相当高的。法的精度还是相当高的。 例例12.2512.25 求两端固定梁的第一频率。求两端固定梁的第一频率。解：解：满足边界条件：满足边界条件： 梁在梁在q作用下的绕曲线作用下的绕曲线: :代入公式代入公式: : 与精确值相差与精确值相差0.4%0.4%。 例例12.2612.26 求图示框架的第一频率，横梁刚度为无穷大。求图示框架的第一频率，横梁刚度为无穷大。解：以各层重量解：以各层重量 当作当作水平力作用在结构上，由水平力作用在结构上，由此产生的各质点处的位移此产生的各质点处的位移 作为第一振型的近似。作为第一振型的近似。则最大变形能和动能则最大变形能和动能: :各质点处各质点处 的计算的计算: :显然显然: :如如 的计算的计算: :层数层数因此因此: :计算过程列于下表计算过程列于下表: :124.0291.7514280.06430.064157.410.11223.4467.7315360.04410.108259.428.14316.2244.2914950.02960.138228.231.48415.6028.0719170.01470.153242.937.1059.2612.4718720.00670.159150.724.0263.213.2115570.00210.16252.88.52合计合计1091.4139.37 与精确值相差与精确值相差:0.69%:0.69%2 2 集中质量法集中质量法等效原则：等效原则： 使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。的合力相等。具体作法：具体作法： 将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。中于两端。 例例12.2712.27 试用集中质量法求简支梁自振频率。试用集中质量法求简支梁自振频率。l/2l/2(0.7%）l/3l/3l/3(0.1%）(3.1%）(0.05%）(4.8%）(0.7%）对比分析对比分析解得：解得：解得：解得：l/4l/4l/4l/4解得：解得：P=1 例例12.2812.28 求自振频率。求自振频率。2lllEI4EI解：解：2)2)图乘图乘3)3)自振频率自振频率1)1)简化简化lP=1按正对称性集中按正对称性集中llEI4EIP=1解：解：1)1)简化简化2)2)图乘图乘2lllP=1P=1P=13)3)自振频率自振频率4)4)自振频率汇总自振频率汇总3 3 矩阵迭代法矩阵迭代法 矩阵迭代法它是采用逐步逼近的计算方法来确定结构矩阵迭代法它是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的频率和振型。的频率和振型。体系作自由振动时，各质点的位移幅值为：体系作自由振动时，各质点的位移幅值为： 写成矩阵形式：写成矩阵形式：缩写成：缩写成： 当一个振型求得后，则可利用振型的正交性，求出较高当一个振型求得后，则可利用振型的正交性，求出较高次的频率和振型。次的频率和振型。 计算步骤：计算步骤：先假定一个振型并代入上式等号的右边，进行求解后先假定一个振型并代入上式等号的右边，进行求解后即可得到即可得到和主振型的第一次近似值；和主振型的第一次近似值；再以第一次近似值代入上式进行计算，则可得到再以第一次近似值代入上式进行计算，则可得到 和和主振型的第二次近似值主振型的第二次近似值；如此下去，直至前后两次的计如此下去，直至前后两次的计算结果接近为止。算结果接近为止。 例例12.2912.29 求自振频率和主振型。已知：求自振频率和主振型。已知：m1k3k2k1m2m3解：设解：设第一振第一振型的第型的第二次值二次值 第一振第一振型的第型的第三次值三次值把：把： 代人方程再计算代人方程再计算同理：同理：第一振第一振型的第型的第四次值四次值 因此第一振型为：因此第一振型为：第四次与第三次的振型已经十分接近，计算就可停止了。第四次与第三次的振型已经十分接近，计算就可停止了。求第二振型：求第二振型：利用主振型的正交性，将求得的第一振型可得到下式：利用主振型的正交性，将求得的第一振型可得到下式： 由：由：得：得： 将下式展开：将下式展开： 得：得： 或：或： 得：得： 得：得： 令：令：经两轮迭代后得：经两轮迭代后得：故第二频率为：故第二频率为：再由：再由： 因此第二振型为：因此第二振型为： 求第三振型：求第三振型：利用主振型的正交性，将求得的第一、第二振型可得：利用主振型的正交性，将求得的第一、第二振型可得： 将上面两式展开得：将上面两式展开得：经求解得：经求解得： 令：令：则设第三振型为：则设第三振型为：求第三频率：求第三频率：故第三频率为：故第三频率为：总复习一、力法的计算方法一、力法的计算方法1. 力法的基本思路力法的基本思路 用力法解超静定结构的基本思路是将超静定结构的多用力法解超静定结构的基本思路是将超静定结构的多余未知力看作基本未知量，去掉多余未知力对应的多余约余未知力看作基本未知量，去掉多余未知力对应的多余约束将原结构转化成基本结构，因而多余未知力成为作用在束将原结构转化成基本结构，因而多余未知力成为作用在基本结构上的外力；然后沿多余未知力方向建立位移协调基本结构上的外力；然后沿多余未知力方向建立位移协调方程，解方程就可以求出多余未知力方程，解方程就可以求出多余未知力; ;最后将求出的多余最后将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加法即可求出超静定结构的未知力作用于基本结构，用叠加法即可求出超静定结构的内力。内力。2. 如何选取基本结构如何选取基本结构 (1) 力法的基本结构一般为静定结构，但有时若能较力法的基本结构一般为静定结构，但有时若能较容易地求出力法典型方程中的位移系数，也可以选超静定容易地求出力法典型方程中的位移系数，也可以选超静定结构作为基本结构。结构作为基本结构。小小 结结二、几个应注意的问题二、几个应注意的问题1. 超静定结构的特性超静定结构的特性 (1) 在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料胀缩、在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料胀缩、 制造误差等因素都可以引起内力。制造误差等因素都可以引起内力。 (2) 在荷载作用下，超静定结构的内力分布与各杆刚在荷载作用下，超静定结构的内力分布与各杆刚度的比值有关，而与其绝对值无关。因此，在计算内力时，度的比值有关，而与其绝对值无关。因此，在计算内力时，允许采用相对刚度。若改变各杆的刚度比值，则结构的内允许采用相对刚度。若改变各杆的刚度比值，则结构的内力分布也随之改变。一般来说，刚度大的杆件，分配到的力分布也随之改变。一般来说，刚度大的杆件，分配到的内力也大；若各杆件的刚度按同一比例增减，则结构的内内力也大；若各杆件的刚度按同一比例增减，则结构的内力保持不变。力保持不变。（1）没有荷载就没有内力这个说法对任何结构都是成立的）没有荷载就没有内力这个说法对任何结构都是成立的. 解：错误。解：错误。 (3) 由温度或支座移动、制造误差等因素在超静定结由温度或支座移动、制造误差等因素在超静定结构中引起的内力，与各杆刚度的绝对值有关。构中引起的内力，与各杆刚度的绝对值有关。例：判断下列说法的正确性。例：判断下列说法的正确性。小小 结结2、判断超静定结构的次数时应注意的问题判断超静定结构的次数时应注意的问题(1) 不要把原结构拆成几何可变体系。不要把原结构拆成几何可变体系。(2) 通常要把全部多余约束都拆除。通常要把全部多余约束都拆除。(3) 只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。 (4) 去掉连接去掉连接n个杆件的复铰相当于去掉个杆件的复铰相当于去掉n- -1个单铰；将个单铰；将连接连接n个杆件的刚结点变成铰结点相当于去掉个杆件的刚结点变成铰结点相当于去掉n- -1个约束。个约束。(5) 只能去掉多余约束，不能去掉必要约束只能去掉多余约束，不能去掉必要约束. . 例题：例题： （1）n次超静定结构，任意去掉次超静定结构，任意去掉n个约束均可作为力个约束均可作为力法基本结构法基本结构的说法对吗？的说法对吗？解：错误。只能去掉多余约束，不能去掉必要约束。解：错误。只能去掉多余约束，不能去掉必要约束。 （2）对超静定结构在荷载作用下进行内力分析时，只对超静定结构在荷载作用下进行内力分析时，只需知道各杆的相对刚度。需知道各杆的相对刚度。解：正确。解：正确。 小小 结结3. 力法的适用条件力法的适用条件 (1) 力法只适用于求解超静定结构，不能用于求解静力法只适用于求解超静定结构，不能用于求解静定结构。定结构。(2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变形。既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变形。 (3) 可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种类可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种类型的结构。型的结构。（4 4）从材料性质看）从材料性质看, , 只能用于弹性材料。只能用于弹性材料。 4. 超静定结构发生支座位移时基本体系的选取超静定结构发生支座位移时基本体系的选取 当超静定结构发生支座位移时，选取不同的基本体当超静定结构发生支座位移时，选取不同的基本体系，所得的力法方程同，自由项系，所得的力法方程同，自由项 c亦不同。亦不同。小小 结结注意注意 ic的计算：的计算： 由于等号左边系数的计算都在基本结构上进行，由于等号左边系数的计算都在基本结构上进行， 而而图图b的这种基本结构既无荷载，也无支座位移，因此由该的这种基本结构既无荷载，也无支座位移，因此由该基本结构引起的基本结构引起的 ic都等于都等于0。则上述典型方程变为则上述典型方程变为 小小 结结（2） 取第二种基本结构，取第二种基本结构，如图如图d所示。所示。力法典型方程为力法典型方程为 可见可见, , 该方程的等号右边都等于零该方程的等号右边都等于零, , 这是由于原结构这是由于原结构在在A点无位移的缘故。点无位移的缘故。注意注意 ic的计算：的计算：小小 结结 由于图由于图d 这种基本结构的这种基本结构的B 端有支座位移，端有支座位移， 而该支座而该支座位移将会引起与位移将会引起与X1、X3对应方向上的位移，故有对应方向上的位移，故有 1c=c， 2c= 0， 3c= a 。力法典型方程又可以写成：。力法典型方程又可以写成： 由以上分析可见，当超静定结构有支座位移时，选由以上分析可见，当超静定结构有支座位移时，选取不同的基本结构，所列方程的含义和形式均有区别，取不同的基本结构，所列方程的含义和形式均有区别，所以列方程需要仔细分析，分清支座位移何时出现在等所以列方程需要仔细分析，分清支座位移何时出现在等号左边，何时出现在右边。号左边，何时出现在右边。小小 结结 例：例： 图图a 所示变截面梁所示变截面梁, 在支座在支座A、B分别有竖向位移分别有竖向位移a及转动位移及转动位移。 若按力法进行求解，并取图若按力法进行求解，并取图b所示的基本体所示的基本体系，系， 则可列出力法方程则可列出力法方程 的具体表达式。的具体表达式。试写出试写出小小 结结 解：解： 5. 切开或撤去多余链杆的基本体系切开或撤去多余链杆的基本体系, 两者的力法方两者的力法方程比较程比较 两者的力法方程形式不同，它们所代表的变形条件两者的力法方程形式不同，它们所代表的变形条件及方程中各项参数的物理意义不同，但力法方程的内容及方程中各项参数的物理意义不同，但力法方程的内容是等效的是等效的。小小 结结 图图b和图和图c是图是图a所示的超静定桁架用力法求解时选取所示的超静定桁架用力法求解时选取的两种不同的基本体系。图的两种不同的基本体系。图b为切开链杆为切开链杆CD， 图图c为撤去为撤去链杆链杆CD。（1）相对图）相对图b，力法方程为，力法方程为 （a） 方程的物理意义为：基本体系中链杆方程的物理意义为：基本体系中链杆1 1切口处相邻两切口处相邻两截面相对轴向位移应等于原结构该相邻两截面的相对轴向截面相对轴向位移应等于原结构该相邻两截面的相对轴向位移（等于零）。位移（等于零）。小小 结结系数和自由项按下式计算：系数和自由项按下式计算：，小小 结结6. 几个有用的结论几个有用的结论 (1) 集中力集中力F 沿某杆的轴线作用，若该杆沿轴线方向沿某杆的轴线作用，若该杆沿轴线方向无位移无位移, 则只有该杆承受轴向压力，其余杆件无内力（例则只有该杆承受轴向压力，其余杆件无内力（例如图如图a只有只有AB杆受轴向压力）杆受轴向压力） ；等值反向共线的一对集中；等值反向共线的一对集中力沿某直杆的轴线作用时，只有该杆受轴向拉力或压力力沿某直杆的轴线作用时，只有该杆受轴向拉力或压力（例如图（例如图b、图、图c中。中。 杆件无弯矩杆件无弯矩, 且只有成对集中力作用且只有成对集中力作用的杆件受轴力）。的杆件受轴力）。小小 结结 (2) 集中力作用在无线位移的结点上时，汇交于该结集中力作用在无线位移的结点上时，汇交于该结点的各杆无弯矩，也无剪力（图点的各杆无弯矩，也无剪力（图d）。）。 注意：注意：以上结论均有一个前提条件：不考虑轴向以上结论均有一个前提条件：不考虑轴向变形；若需考虑轴向变形，则结论不成立。变形；若需考虑轴向变形，则结论不成立。 (3) 刚度无穷大的杆件不产生弯曲变形，但可以有刚度无穷大的杆件不产生弯曲变形，但可以有弯矩，杆端的最后弯矩应由结点的平衡条件求出。弯矩，杆端的最后弯矩应由结点的平衡条件求出。小小 结结三、对称性的利用三、对称性的利用 （1）超静定结构的对称性包括两方面：几何形状和支）超静定结构的对称性包括两方面：几何形状和支承对称；杆件截面和材料性质（刚度）也对称。承对称；杆件截面和材料性质（刚度）也对称。 奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下，对称轴处简奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下，对称轴处简化为一竖向链杆。化为一竖向链杆。（4）选取半结构的原则如下：选取半结构的原则如下： 奇数跨对称刚架在正对称荷载作用下，对称轴处奇数跨对称刚架在正对称荷载作用下，对称轴处简化为一定向支座。简化为一定向支座。 （2）作用于对称结构上的任意荷载可以分为对称荷）作用于对称结构上的任意荷载可以分为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。载和反对称荷载两部分分别计算。 （3）在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和）在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和轴力图是对称的，剪力图是反对称的。在反对称荷载作用轴力图是对称的，剪力图是反对称的。在反对称荷载作用下下, 变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，剪力变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图是对称的。利用这些规则图是对称的。利用这些规则, 只需计算半边结构。只需计算半边结构。小小 结结 偶数跨对称刚架在对称荷载作用下，当不考虑中柱轴偶数跨对称刚架在对称荷载作用下，当不考虑中柱轴向变形时，对称轴的截面无位移，简化为固定支座。向变形时，对称轴的截面无位移，简化为固定支座。 偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下，原结构简化为偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下，原结构简化为半结构，且中柱的惯性矩减半。半结构，且中柱的惯性矩减半。（5） 几种典型对称结构的半结构如下列各图所示。几种典型对称结构的半结构如下列各图所示。 小小 结结小小 结结小小 结结注意：注意：在利用对称性时应能正确判断荷载的对称性。在利用对称性时应能正确判断荷载的对称性。 例：例： 在不计轴向变形下，图在不计轴向变形下，图a所示对称结构（所示对称结构（EI=C），可），可取图取图b来计算吗？来计算吗？ 解：解：不可以。不可以。正确的半结构应正确的半结构应为图为图c c。小小 结结五、用力法计算超静定结构的位移五、用力法计算超静定结构的位移用力法计算超静定结构位移的步骤如下：用力法计算超静定结构位移的步骤如下： (1) 先用力法计算出多余未知力先用力法计算出多余未知力, , 并作为已知外力作并作为已知外力作用于基本结构。用于基本结构。 (2) 结构上某点的位移等于基本结构在各种因素（包结构上某点的位移等于基本结构在各种因素（包括外荷载、多余未知力、支座位移、温度变化等）分别括外荷载、多余未知力、支座位移、温度变化等）分别作用下产生的位移相叠加。作用下产生的位移相叠加。 (3) 若超静定结构的若超静定结构的M 图已给出，则求位移时只需图已给出，则求位移时只需在任意的静定结构上施加单位力，在任意的静定结构上施加单位力，画出画出 图，再应用图，再应用图乘法或求位移公式即可。图乘法或求位移公式即可。小小 结结六、超静定结构的校核六、超静定结构的校核1. 平衡条件的校核平衡条件的校核 从结构中任意取出的一部分都应当满足平衡条件，通从结构中任意取出的一部分都应当满足平衡条件，通常取结点或截取杆件，检查是否满足平衡条件。常取结点或截取杆件，检查是否满足平衡条件。 2. 变形协调条件的校核变形协调条件的校核 计算超静定结构的内力时，除平衡条件外，还需应用计算超静定结构的内力时，除平衡条件外，还需应用变形条件。变形条件校核的一般方法是：根据最后的内力变形条件。变形条件校核的一般方法是：根据最后的内力图，算出沿图，算出沿Xi 方向的位移方向的位移 i，并检查，并检查 i i 是否与原结构中的是否与原结构中的相应位移相等。相应位移相等。小小 结结 例：例：求得求得A端转动端转动A 时的弯矩图如图时的弯矩图如图b 所示，试校核所示，试校核该弯矩图的正确性。该弯矩图的正确性。解解 ：(1) 平衡校核：平衡校核： 取结点取结点B为隔离体，有为隔离体，有 （满足平衡条件）（满足平衡条件） (2) 变形校核：变形校核： 利用求得的超静定结构弯矩图计算某利用求得的超静定结构弯矩图计算某已知位移，看其是否等于已知值已知位移，看其是否等于已知值.通常可选超静定结构上通常可选超静定结构上小小 结结一、位移法的基本思路一、位移法的基本思路 位移法的基本思路是：位移法的基本思路是：先分别考虑原结构在荷载和先分别考虑原结构在荷载和结点位移作用下产生的内力，再根据平衡条件建立位移法结点位移作用下产生的内力，再根据平衡条件建立位移法方程，求出未知位移，然后再计算出杆端弯矩，最后用分方程，求出未知位移，然后再计算出杆端弯矩，最后用分段叠加法绘制整个结构的段叠加法绘制整个结构的弯矩图弯矩图。二、位移法方程及解题步骤二、位移法方程及解题步骤 用位移法求解时需建立位移法方程，根据分析的对用位移法求解时需建立位移法方程，根据分析的对象不同，建立方程有两种方法象不同，建立方程有两种方法转角位移方程法转角位移方程法和和基基本体系法本体系法。 转角位移方程法是直接利用平衡条件来建立位移法转角位移方程法是直接利用平衡条件来建立位移法典型方程的方法。典型方程的方法。 ( (1) 利用转角位移方程和位移协调条件，写出用结点位利用转角位移方程和位移协调条件，写出用结点位移表示的各杆的杆端弯矩表达式；移表示的各杆的杆端弯矩表达式； 步骤：步骤：1. 转角位移方程法转角位移方程法第八章第八章 位移法位移法总结总结(4)(4)将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。 (2) 利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程；利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程；(3) 解方程求出结点位移解方程求出结点位移； 2.2.基本体系基本体系法法 基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典型方程。型方程。 (1) 确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的结点分别加上阻止转动的刚臂和阻止移动的支座链杆，附结点分别加上阻止转动的刚臂和阻止移动的支座链杆，附加刚臂和附加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量；加刚臂和附加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量； (2) 由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程 kij j+ +Fi p=0 (=0 (i,j=1,2,n) )； (3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位位移位位移j =1下的弯矩图下的弯矩图 及荷载作用下的弯矩图及荷载作用下的弯矩图MP 步骤：步骤：第八章第八章 位移法位移法总结总结由平衡条件求出系数由平衡条件求出系数kij和自由项和自由项Fi P； 注意：一切计注意：一切计算都是在基本结构上算都是在基本结构上进行进行! !三、几个值得注意的问题三、几个值得注意的问题 (4) 从材料性质看，只能用于弹性材料。从材料性质看，只能用于弹性材料。1. 位移法的适用条件位移法的适用条件 (1) 位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结构；结构； (2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变形；形； (3) 可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种类型的结构；类型的结构；(5) 按叠加原理计算杆端弯矩。按叠加原理计算杆端弯矩。 (4) 解方程求解方程求j；第八章第八章 位移法位移法总结总结 位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数加位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数加上独立结点线位移数。上独立结点线位移数。2 2、位移法基本未知量的选取原则、位移法基本未知量的选取原则 (1) 独立的结点角位移数目的确定：独立的结点角位移数目的确定：为使结点不发生为使结点不发生角位移，需要在结点施加附加刚臂，角位移，需要在结点施加附加刚臂，附加刚臂数附加刚臂数等于全等于全部刚结点和半铰结点的结点转角数目。部刚结点和半铰结点的结点转角数目。但需注意：铰结但需注意：铰结点的角位移不作为基本未知量。点的角位移不作为基本未知量。例如图例如图a中中，A为刚结点，为刚结点，B为半铰结点，故有两个独立角位移；而图为半铰结点，故有两个独立角位移；而图b中中B为刚结为刚结点，点，A为铰结点，故只取为铰结点，故只取B 点转角为独立角位移。点转角为独立角位移。 第八章第八章 位移法位移法总结总结 与刚度无穷大的杆相连的刚结点的转角是否取为基与刚度无穷大的杆相连的刚结点的转角是否取为基本未知量，应根据具体情况区别对待。图本未知量，应根据具体情况区别对待。图a中中AB杆刚度杆刚度无穷大，无穷大， A= B=0 ，因此基本未知量只有一个线位移，因此基本未知量只有一个线位移 ；而图；而图b中有一个角位移未知量。中有一个角位移未知量。第八章第八章 位移法位移法总结总结 (2) 独立的结点线位移的确定独立的结点线位移的确定较复杂，基本可以根较复杂，基本可以根据以下原则确定：据以下原则确定： 附加链杆法。附加链杆法。在结点施加附加链杆，使其不在结点施加附加链杆，使其不发生线位移，则附加链杆数即为独立结点线位移数。发生线位移，则附加链杆数即为独立结点线位移数。应用此法时应用此法时应注意应注意，自由端、滑动支承端或滚轴支承，自由端、滑动支承端或滚轴支承端的与杆轴垂直方向的线位移不作为基本未知量。端的与杆轴垂直方向的线位移不作为基本未知量。 铰化法。铰化法。将刚架中的刚结点（包括固定端）将刚架中的刚结点（包括固定端）变成铰结点，成为铰接体系，其自由度数即为独立变成铰结点，成为铰接体系，其自由度数即为独立线位移数。线位移数。第八章第八章 位移法位移法总结总结 如，忽略轴向变形的情况下，当竖柱平行时，如，忽略轴向变形的情况下，当竖柱平行时，无论梁是水平的还是倾斜的，梁都产生平动，因而无论梁是水平的还是倾斜的，梁都产生平动，因而各柱顶有相同的水平线位移。图各柱顶有相同的水平线位移。图a中中A、C 点的水平点的水平位移相同，结构只有一个位移未知量位移相同，结构只有一个位移未知量。第八章第八章 位移法位移法总结总结3. 静定部分的处理静定部分的处理 例如，图例如，图a中中AB为静定部分，很容易画出该部为静定部分，很容易画出该部分的弯矩图，将分的弯矩图，将MBA=Fa 反作用于反作用于B点，再计算点，再计算B点点以右部分即可（图以右部分即可（图b）。）。第八章第八章 位移法位移法总结总结 如图如图a所示，所示，可把与悬臂部分相连的杆件可把与悬臂部分相连的杆件BA看看作是在作是在A端铰接端铰接B端固定的单跨超静定梁（图端固定的单跨超静定梁（图b）。）。4. 半铰悬臂的情况半铰悬臂的情况第八章第八章 位移法位移法总结总结 图示结构，计算时常易出错之处是误认为基本未知图示结构，计算时常易出错之处是误认为基本未知量只有一个量只有一个 B B 。实际上。实际上B结点处，梁端与柱端转角均不结点处，梁端与柱端转角均不同，同，C支杆由于弹性也可水平向移动，故基本未知量应为支杆由于弹性也可水平向移动，故基本未知量应为 B、 B及及C。5. 当有弹性支座和弹性刚结点时，基本未知量的确定当有弹性支座和弹性刚结点时，基本未知量的确定第八章第八章 位移法位移法总结总结 如图，将如图，将BD杆分为杆分为BC和和CD两根杆件，则本题有三个两根杆件，则本题有三个未知量未知量 B， C ，C。6. 一根直杆的刚度不同时一根直杆的刚度不同时, , 位移基本未知量的位移基本未知量的确定确定第八章第八章 位移法位移法总结总结例：例：作图作图a所示结构弯矩图，各杆所示结构弯矩图，各杆EI= =常数。常数。 7. 有的超静定结构也有基本部分和附属部分有的超静定结构也有基本部分和附属部分, ,求解时求解时先解附属部分先解附属部分, ,再解基本部分再解基本部分 解：解：本题中刚架本题中刚架ECFHG是基本部分是基本部分，CBA是附属部是附属部分。首先求附属部分：由于分。首先求附属部分：由于C点无水平和竖向线位移，故点无水平和竖向线位移，故可将可将CBA化为图化为图b的结构，用位移法计算，弯矩图如图的结构，用位移法计算，弯矩图如图c所所示。示。第八章第八章 位移法位移法总结总结 再求基本部分：将附属部分的再求基本部分：将附属部分的C点支座反力反作点支座反力反作用于基本部分。用于基本部分。最后的最后的M图如图图如图d d所示。所示。思考：思考：为什么基本部分各杆的弯矩为零？为什么基本部分各杆的弯矩为零？第八章第八章 位移法位移法总结总结例：例：图图a 所示结构，所示结构，EI= =常数，求结点常数，求结点K的转角。的转角。四、对称性的利用四、对称性的利用解：解：（1）作作M图图 此结构沿此结构沿45角斜线角斜线mn 对称，过对称，过C点的点的45方向斜线方向斜线mn, 为此结构的对称轴（为此结构的对称轴（图图b），结点，结点C的转角为零。取半的转角为零。取半个结构如图个结构如图c c所示。所示。第八章第八章 位移法位移法总结总结 再将图再将图c c荷载分解为为正对称与反对称的叠加，取半荷载分解为为正对称与反对称的叠加，取半结够如图结够如图d d（正对称（正对称 ）、图）、图e(e(反对称）所示。由叠加得：反对称）所示。由叠加得：（上拉）（上拉）（上拉）（上拉）（左拉）（左拉） （右拉）（右拉） 第八章第八章 位移法位移法总结总结 结构结构M图图如如图图f所示。所示。第八章第八章 位移法位移法总结总结一、力矩分配法的基本思路一、力矩分配法的基本思路 力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架。力力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架。力矩分配法与位移法的基本理论是一致的，即认为结构最后矩分配法与位移法的基本理论是一致的，即认为结构最后的内力状态是由荷载单独作用（此时不考虑结点位移，即的内力状态是由荷载单独作用（此时不考虑结点位移，即把结点位移约束住）和结点位移单独作用下把结点位移约束住）和结点位移单独作用下 （放松约束，（放松约束，使结构产生变形）产生的内力相叠加的结果。使结构产生变形）产生的内力相叠加的结果。 但二者的不同之处在于但二者的不同之处在于用位移法计算时，我们把用位移法计算时，我们把结构的最后变形看作是由初始状态一次性完成的；力矩分结构的最后变形看作是由初始状态一次性完成的；力矩分配法则是每次只完成一部分变形，经过几次循环之后才逐配法则是每次只完成一部分变形，经过几次循环之后才逐渐达到最后的变形值，因而结构在总变形下产生的总内力渐达到最后的变形值，因而结构在总变形下产生的总内力也应当是由这几次变形各自产生的内力相叠加。也应当是由这几次变形各自产生的内力相叠加。 力矩分配法小结力矩分配法小结 （2）结点有外力偶的结构。）结点有外力偶的结构。当结点上有外力偶时，当结点上有外力偶时，为正确计算该处不平衡力矩，宜取该结点为隔离体，画出集为正确计算该处不平衡力矩，宜取该结点为隔离体，画出集中力偶和固端弯矩的实际方向，则由结点的力矩平衡方程求中力偶和固端弯矩的实际方向，则由结点的力矩平衡方程求出不平衡力矩，出不平衡力矩，不平衡不平衡弯矩以逆时针旋转为正。弯矩以逆时针旋转为正。1. 1. 几种情形下约束力矩的计算几种情形下约束力矩的计算 （1）带悬臂的结构。）带悬臂的结构。求图求图a 所示连续梁结点所示连续梁结点B 的不的不平衡力矩，可将悬臂端的平衡力矩，可将悬臂端的F 等效平移到支座等效平移到支座C上（图上（图b），），杆杆BC 的的C 端弯矩为端弯矩为M，B 端的传递弯矩为端的传递弯矩为M/2，得，得B 端的端的约束力矩约束力矩MB=Fl/8+M/2。（3）支座沉降）支座沉降 例：例：求图求图a所示所示连续梁有支座沉降时，结点连续梁有支座沉降时，结点C 的约束的约束力矩。力矩。 解：解： (1) 思路一致。思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的，力矩分配法和位移法的思路是一致的，即都是先固定结点，只考虑除变形外的其他因素，然后再即都是先固定结点，只考虑除变形外的其他因素，然后再令结构发生变形，使结构达到最后的变形状态。令结构发生变形，使结构达到最后的变形状态。 (2)实现最后的内力和变形状态的方法不同。实现最后的内力和变形状态的方法不同。位移法的位移法的最后变形状态是一次性完成的，内力是由广义荷载和变形最后变形状态是一次性完成的，内力是由广义荷载和变形各自作用的结果相叠加来实现的；力矩分配法则是经循环各自作用的结果相叠加来实现的；力矩分配法则是经循环运算、逐步修正，将各结点反复轮流地固定、放松，才使运算、逐步修正，将各结点反复轮流地固定、放松，才使各结点的不平衡力矩逐渐趋近于零，杆端力矩也就逐步修各结点的不平衡力矩逐渐趋近于零，杆端力矩也就逐步修正到精确值。正到精确值。二、力矩分配法与位移法的比较二、力矩分配法与位移法的比较