第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 第三章第三章 导数的应用导数的应用 第一节第一节 微分中值定理微分中值定理 第二节第二节 函数的性质函数的性质 第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 一一. .未定式未定式二二. .洛必达法则洛必达法则本节主要内容本节主要内容: :三三. .其他类型未定式的极限其他类型未定式的极限第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 如果当如果当xx0（或（或x ）时，两个函数时，两个函数f(x)和和g(x)的极限都为零或都趋于无穷大，极限的极限都为零或都趋于无穷大，极限通常称为未定式，分别记为通常称为未定式，分别记为。（1）（2）（3）一、未定式一、未定式第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例如例如, ,第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 定理定理3.3.1（洛必达法则）（洛必达法则）设函数设函数f(x)、g(x)满足：满足：（1）；（2）f(x)、g(x)在在x0的某去心邻域的某去心邻域内可导，内可导，且且g (x)0；（3）（A为有限数，也可为无穷大）为有限数，也可为无穷大）则则二、洛必达法则二、洛必达法则第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 1) 1) 应用洛必达法则时，是通过分子与分母应用洛必达法则时，是通过分子与分母分别求导分别求导数数来确定未定式的极限，而不是求商的导数来确定未定式的极限，而不是求商的导数. .2)2)上述定理对上述定理对“ ”“ ”型或型或“ ”“ ”型的极限均成型的极限均成立，其它类型的不定型需要转化为以上两种类型后才立，其它类型的不定型需要转化为以上两种类型后才能使用洛必达法则。能使用洛必达法则。定理的证明定理的证明第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则!例例1求求解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 方法一：方法一：例例2求求方法二：方法二：解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例3求求解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 用洛必达法则用洛必达法则3) 在很多情况下，要与其它求极限的方法（如在很多情况下，要与其它求极限的方法（如例如例如,而而才能达到运算简捷的目的才能达到运算简捷的目的.等价无等价无穷小穷小代换或重要极限等）综合使用，代换或重要极限等）综合使用，注意：注意：第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例4求求等价无穷小代换等价无穷小代换洛必达法则洛必达法则解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例5求求可多次使用洛必达法则，但在反复使用法则时，要时可多次使用洛必达法则，但在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。法则。解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例6求求解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例7求求使用使用n次洛必达次洛必达法则法则解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例8求求解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 4)4)若若 不存在不存在( () )洛必达法则失效！洛必达法则失效！例如例如, ,极限不存在极限不存在注意注意第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例9求求不存在不存在( () )洛必达法则失效！洛必达法则失效！解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例10求求能用等价无穷小代能用等价无穷小代换的先代换换的先代换解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例11求求分母分母1，分子振荡而没有极限法则，分子振荡而没有极限法则“失效失效”解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 将其它将其它类型未定式化型未定式化为洛必达法洛必达法则可解决的可解决的类型：型：或或步骤：步骤：三、其他类型未定式的极限三、其他类型未定式的极限关键：关键：第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例12求求注意到：注意到： 求导比求导比 求导简单求导简单解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例13求求解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 步骤：步骤：例例14求求解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例15求求解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 步骤：步骤：第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例16求求解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例17求求解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例18求求解解第三章第三章导数的应用导数的应用第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 例例19求求原式解解