第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系机动目录上页下页返回完毕对坐标的曲面积分 第十章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 机动目录上页下页返回完毕其方向用法向量指向方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定机动目录上页下页返回完毕二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . 分析分析: 假设假设 是面积为是面积为S 的平的平面面, 则流量法向量: 流速为常向量: 机动目录上页下页返回完毕对一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得, 那么 机动目录上页下页返回完毕设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2. 定义定义.机动目录上页下页返回完毕引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;若记 正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动目录上页下页返回完毕3. 性质性质(1) 假设之间无公共内点, 那么(2) 用 表示 的反向曲面, 那么机动目录上页下页返回完毕三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理: 设光滑曲面设光滑曲面取上侧,是 上的连续函数, 那么证证: 取上侧,机动目录上页下页返回完毕 假设则有 假设则有(前正后负)(右正左负)说明说明:如果积分曲面 取下侧, 那么机动目录上页下页返回完毕例例1. 计算计算其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: 利用对称性.原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧机动目录上页下页返回完毕解解: 把把 分为上下两部分分为上下两部分根据对称性 考虑考虑: 下述解法是否正确下述解法是否正确:例例2. 计算曲面积分计算曲面积分其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分. 机动目录上页下页返回完毕机动目录上页下页返回完毕例例3. 设设S 是球面是球面的外侧 , 计算解解: 利用轮换对称性利用轮换对称性, 有有机动目录上页下页返回完毕四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动目录上页下页返回完毕令向量形式( A 在 n 上的投影)机动目录上页下页返回完毕例例4. 位于原点电量为位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为的点电荷产生的电场为解解: :。求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .机动目录上页下页返回完毕例例5. 设设是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算解解: 机动目录上页下页返回完毕例例6. 计算曲面积分计算曲面积分其中解解: 利用两类曲面积分的联系利用两类曲面积分的联系, 有有 原式 =旋转抛物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 机动目录上页下页返回完毕原式 =机动目录上页下页返回完毕内容小结内容小结定义定义:1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系 机动目录上页下页返回完毕性质性质:联络联络:考虑考虑:的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 机动目录上页下页返回完毕2. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动目录上页下页返回完毕当时，（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .机动目录上页下页返回完毕思考与练习思考与练习1. P167 题2提示提示: 设设那么 取上侧时, 取下侧时,2. P184 题 13. P167 题3(3)机动目录上页下页返回完毕是平面在第四卦限部分的上侧 , 计算提示提示: 求出 的法方向余弦, 转化成第一类曲面积分P167 题题3(3). 设设作业作业 P167 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)第六节目录上页下页返回完毕备用题备用题 求求取外侧 .解解:注意号其中机动目录上页下页返回完毕利用轮换对称性机动目录上页下页返回完毕