1函数f(x)在闭区间a，b上的最值设函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b上一定能取得，函数的必在或取得但在开区间(a，b)内可导的函数f(x) 有最大值与最小值2求可导函数yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤：(1)求f(x)在开区间(a，b)内的；(2)计算函数f(x)在各和处的函数值f(a)，f(b)比较，其中 的一个为最大值，的一个为最小值最值最值极值点极值点不一定不一定极值极值极值点极值点端点端点最大最大最小最小最大值与最小值最大值与最小值区间端点区间端点例1已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间0,2上的最大值分析由题目可获取以下主要信息：函数f(x)x2(xa)中含有参数a；在a确定的情况下，求切线方程；在a不确定的情况下求函数在区间0,2上的最大值解答本题可先对函数求导，然后根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在0,2上的最大值解析(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20.点评参数对最参数对最值的影响值的影响由于参数的取值范围不同会导致函数在所由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化的变化参数的分参数的分类标准类标准可以从导函数值为零时自变量的大小或通可以从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定的确定常见结论常见结论(1)当当f(x)的图象连续不断且在的图象连续不断且在a，b上单调上单调时，其最大值、最小值在端点处取得时，其最大值、最小值在端点处取得(2)当图象连续不断的函数当图象连续不断的函数f(x)在在(a，b)内只内只有一个极大有一个极大(或极小或极小)值，则可以断定值，则可以断定f(x)在在该点处取到最大该点处取到最大(或最小或最小)值，这里值，这里(a，b)也也可以是无穷区间可以是无穷区间.已知函数f(x)x33x29xa(1)求f(x)的单调递减区间(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解析(1)f(x)3x26x93(x22x3)3(x3)(x1)，令f(x)0，则3(x3)(x1)0，解得x3.函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)变式变式1(2)令f(x)0，x2,2，x1.当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0.x1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在2,2上的最小值，即f(x)minf(1)a5.又函数f(x)的区间端点值为f(2)81218aa22，f(2)81218aa2.a22a2，f(x)maxa2220，a2.此时f(x)mina57.例2已知f(x)ax36ax2b，问是否存在实数a，b，使f(x)在1,2上取最大值3，最小值29？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由分析由题目可获取以下主要信息：函数f(x)ax36ax2b在x1,2上的最大值为3，最小值为29；根据最大值、最小值确定a，b的值解答本题可先对f(x)求导，确定f(x)在1,2上的单调性及最值，再建立方程从而求得a，b的值解析存在显然a0，f(x)3ax212ax.令f(x)0，得x0或x4(舍去)(1)当a0时，x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(1,0)0(0,2)f(x)0f(x)b所以当x0时，f(x)取最大值，所以f(0)b3.又f(2)316a，f(1)37a，f(1)f(2)，所以当x2时，f(x)取最小值，即f(2)316a29，所以a2.(2)当af(1)，所以当x2时，f(x)取最大值，即16a293，所以a2.综上所述，a2，b3或a2，b29.x(1,0)0(0,2)f(x)0f(x)b点评已知函数的最值求解待定系数的取值或参数的取值范围是函数最值应用的常见题型之一，由于参数会对函数的最值的取到点有影响，所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x6y70垂直，导函数f(x)的最小值为12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值变式变式2解析(1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即ax3bxcax3bxc，c0.f(x)3ax2b的最小值为12，又a0，b12.因此f(1)3ab6，解得a2，故a2，b12，c0.(2)f(x)2x312x， 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习. 谢谢！再见！ 作业作业练已知f(x)2x36x2m(m是常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值为()A37B29C5 D11答案A解析f(x)6x212x6(x22x)6x(x2)令f(x)0，解得x0或x2f(0)m，f(2)8m，f(2)40m.f(0)f(2)f(2)m3，最小值为f(2)37，故应选A.五、小结五、小结1.求在求在a,b上连续上连续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在a,b上的上的 最值的步骤最值的步骤: (1)求求f(x)在在(a,b)内的极值内的极值; (2)将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较比较,其中最大的一个其中最大的一个 是最大值是最大值,最小的一个是最小值最小的一个是最小值.2.求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在在a,b上连续上连续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在(a,b)内未内未 必有最大值与最小值必有最大值与最小值.(3)一旦给出的函数在一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话上有个别不可导点的话,不不 要忘记在步骤要忘记在步骤(2)中中,要把这些点的函数值与各极值要把这些点的函数值与各极值 和和f(a)、f(b)放在一起比较放在一起比较. 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习. 谢谢！再见！ 作业作业