代数学的新生代数学的新生第9讲代数学新生J. L. Lagrange1736-1813 Hally和Newton的引领 19岁，都灵的皇家炮兵学校的数学教授 数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分法 把引力定律应用于行星运动“算术研究是最叫我伤脑筋的，而且恐怕是最少价值的。”(1775)第9讲代数学新生Lagrange关于用代数方法解方程的工作 关于方程的代数解法的思考(1770) 分析解三次方程和四次方程的各种方法为什么这些方法能把方程解出来 对于解更高次的方程能够提供什么线索第9讲代数学新生Lagrange关于用代数方法解方程的工作 对于三次方程：x3 + nx + p = 0 (1)引入变换 x = y (n / 3y) (2)得到辅助方程 y6 + py3 n3 / 27 = 0 (3)这个方程也叫简化方程，它是 y3 的二次方程。设 r = y3, 方程变为： r2 + pr n3 / 27 = 0 (4)第9讲代数学新生Lagrange关于用代数方法解方程的工作 则 r 1,2 = 由 y3 r = 0， 令 = 第9讲代数学新生Lagrange关于用代数方法解方程的工作这样，原方程的解就是通过简化方程的解得到的。因为可以让我们全部解出来的正是简化方程，这个奥秘一定是隐藏在把简化方程的解用原先提出的方程的解表示出来这一联系之中。第9讲代数学新生Lagrange关于用代数方法解方程的工作当 x1, x2, x3按特定的顺序取出时，每一个y值都能写成形式：y = (x1 + x2 + 2 x3)/ 3 (5) 性质1：简化方程的次数是由原方程的根的置换的个数决定的。因为x1, x2, x3顺序(置换)有3!种，所以有6个y值，因而y应满足一个六次方程。第9讲代数学新生Lagrange关于用代数方法解方程的工作性质2： y所满足的方程一定是y3二次方程。另外， y所满足的六次方程的系数是原三次方程系数的有理函数。因为在6种置换中，三种来自于交换所有的xi ，另三种来自于只交换两个而固定一个，但由于是单位立方根，所得到的y的6个值，就满足y1 = 2 y2 = y3 ; y4 = 2 y5 = y6 ，并且还有y13 = y23 = y33 。即函数(x1 + x2 + 2 x3)3在的所有x1, x2, x3六种置换下只能取2个值。第9讲代数学新生Lagrange关于用代数方法解方程的工作 对于一般四次方程，考虑 y = x1x2 + x3x4 这一四个根的函数在四个根的所有24种置换下只取三个不同的值。因此，应当有 y 所满足的一个三次方程，而且这个方程的系数应该是原方程系数的有理函数。 Lagrange称这些辅助方程的解为原方程根的“预解函数”，并试图将上述方法推广到五次和五次以上的方程。他继续寻找五次方程的预解函数并希望它是低于五次的方程的解，但没有成功，因而猜测高次方程一般不能根式求解。第9讲代数学新生Lagrange工作的影响 Larange的思想是必须考虑一个有理函数当它的变量发生置换时所取的值的个数，这个思想引导到置换或代数群的理论 Paolo Ruffini(1765-1822)，方程的一般理论(1799)：证明了不存在一个预解函数，能满足一个次数低于5次的方程。 用一般的代数方法解方程的一些想法，试图证明用代数方法解四次以上的一般方程是不可能的。第9讲代数学新生N. H. Abel, 1802-1829 1824年年:论代数方程，论代数方程， 证明一般五次方程的证明一般五次方程的 不可解性不可解性 高于四次的一般方程用根式求解的不可能性高于四次的一般方程用根式求解的不可能性 可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数。根和某些单位根的有理函数。 第9讲代数学新生E. Galois, 1811-1832 出身富裕, 父亲是法国雷因堡镇的镇长15岁进入一所有名的公立中学，并开始研究数学仔细研究了Lagrange，Gauss, Cauchy和Abel的著作想进多科工艺学校，但两次尝试均遭落选进入预备学校，两次因为政治罪而被捕Galois的可解性理论第9讲代数学新生E. Galois, 1811-1832 在校的第一年发表了四篇文章1829年，把解方程的两篇文章呈送科学院，文章被Cauchy遗失了1830年，另一篇文章送给Fourier关于用根式解方程的可解性条件(1831)被Poission认为难以理解而退回Galois的可解性理论第9讲代数学新生E. Galois, 1811-1832 1846年，Liouville在数学杂志上编辑出版了Galois的部分文章1866年，Serret，高等代数教程第三版叙述了Galois的思想1870年，Camille Jordan，置换和代数方程专论第一次对Galois的思想全面清楚的介绍请求雅可比或高斯不是就这些定理的正确性而是关于它们的重要性公开发表他们的意见第9讲代数学新生Galois的可解性理论 一般n次方程： xn + a1xn-1 + + an-1x + an = 0 其中的系数必须是独立的或完全任意的。 考虑特殊方程，如 x4 + px2 + q = 0, 其中两个系数是独立的。 x1、x2 、 x3、x4 是方程的四个根。第9讲代数学新生Galois的可解性理论 置换P1： 置换P2： 置换P3： 则 P1 P2 = P3第9讲代数学新生Galois的可解性理论 四次方程 x4 + px2 + q = 0 ，其中p和 q是独立的，令F 是p、q的有理表达式形成的域。这个域是给定方程的系数域或有理整环。四次方程的根是：第9讲代数学新生Galois的可解性理论 两个关系： (1) x1 + x2 = 0， (2) x3 + x4 = 0对这四个根成立。 四个根有24个可能置换，其中8个置换可使上面两个关系在域 R 内成立 可以证明，这8个置换是24个置换中使根之间在R 中的全部关系都不变的仅有的置换。 8个置换是方程在 R 中的群，他们是整个群的一个子群第9讲代数学新生八个置换第9讲代数学新生Galois的可解性理论 添加这个因式到 R 中，形成一个域R1，于是上面八个置换中仅有前四个使关系 (3)成立，但后四个不行。 这四个置换如果它们使根之间的每个在R1中正确的关系保持不变，就是方程在R1中的群，是八个置换的一个子群。 考虑 x12 x32 = (3)第9讲代数学新生Galois的可解性理论 添加这个根式到 R1中，形成一个域R2，于是上面四个置换中仅有前两个使关系 (4)成立。 倘若根之间的每个在R2中的关系保持不变，则方程在R2中的群，由这两个转换组成，这两个置换是那四个置换的一个子群。 考虑 x32 x42 = (4)第9讲代数学新生Galois的可解性理论 添加这个根式到 R2中，形成域R3，于是仅有置换E(恒等置换)使全部关系保持正确。 给出一个一般的或特殊的方程， (1) 如何能找到这个方程在系数域中的群G，置换即根的置换群，而这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变。 上例中的G是八阶群 考虑 x1 x2 = (5)第9讲代数学新生Galois的可解性理论 (2) 用群论的方法找G的最大子群H。 上例中是四阶子群 (3) 用一套仅含有有理运算的手续来找到根的一个函数，它的系数属于R，并且在H的置换下，它的值不变，但在G的所有别的置换下的值会改变。 (4) 添加 到 R 中，得到新域R1。可以证明，原来方程关于R1的群是H 上例中，由第一个预解式方程 t2 (p2 4q) = 0 方程的次数是H在G中的指数。这个方程确定满足条件的函数 = x12 x32 = 。第9讲代数学新生E. Galois, 1811-1832 方程的群(即伽罗瓦群)与它是否根式可解存在着本质联系，对方程的群的认识，是解决全部根式可解问题的关键当且仅当方程的群满足一定的条件(即方程的群是可解群)时，方程才是根式可解的Galois指出，他的工作不打算成为解方程的一个实际方法Galois的可解性理论第9讲代数学新生E. Galois, 1811-1832 Galois的工作可以看成是近世代数的发端，这不只是因为它解决了方程根式可解的难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革 Caylay，矩阵在乘法下、四元数在加法下构成群(1849-1854) Gauss，二次型类f = ax2 + 2bxy + cy2(a,b,c为整数，x,y取整数，D = b2ac 为固定值)对于型的合成运算也构成群群理论的发展第9讲代数学新生E. Galois, 1811-1832 C.Jordan，开展了无限群的系统研究(1868-1869) F. Klein关于几何分类中的无限变换群的研究 S. Lie(1842-1899)研究了无限连续变换群(李群)(1874-1883)群理论的发展 1880年代，抽象群的概念形成第9讲代数学新生E. Galois, 1811-1832 群是一类对象的集合G，这些对象之间存在一种乘法运算()，这种运算满足如下的性质： 1. 封闭性。a bG； 2. 结合性。 (a b) c = a (b c) 3. 存在单位元I。 I a = a I = a 4. 该集合中任意元素a，存在唯一的逆元素a -1，使得a -1 a = a a -1 = I群的定义第9讲代数学新生E. Galois, 1811-1832 集合元素本身的具体内容无关紧要，关键是联系这些元素的运算关系 群论是描写其他各种数学和物理现象的对称性质的普遍工具 代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生。它不再仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象对象的运算关系。这一思想为20世纪代数结构念的产生奠定了基础群理论的发展第9讲代数学新生向量 代表力、速度或加速度：向量 Aristotle，力可以表示成向量，平行四边形法则 Simon Stevin在静力学问题中应用平行四边形法则，而Galileo清楚地叙述了这个定律 19世纪初，Wessel，Argand和Gauss给出复数的几何表示：复数能用来表示和研究平面上的向量第9讲代数学新生三维“复数”的寻找W.R.Hamilton(1805-1865)爱尔兰物理学家、数学家 拉丁文、希腊文和希伯来文；意大利文和法 文；阿拉伯文和梵文；波斯文 1823，都柏林的三一学院 1824，爱尔兰皇家科学院宣读关于焦散曲线的文章(写于1822年，未发表) 1827，修改报告为光线系统的理论，建立了几何光学的科学(1828，科学院学报发表)第9讲代数学新生三维“复数”的寻找W.R.Hamilton(1805-1865)1827，三一学院的天文教授 爱尔兰皇家天文学家 主要数学工作：四元数 四元数讲义(1853)，四元数基础(1866) 宗教、玄学、数学、诗歌、物理和一般文学第9讲代数学新生四元数 澄清了复数的概念，要寻找的三维或三分量的数应具有与复数相同的性质 两个让步：新数包含四个分量；必须牺牲乘法交换律 1843，在爱尔兰皇家科学院会议上宣告了四元数的发明第9讲代数学新生四元数的性质 a + b i + c j +d k 实数部分，向量部分，点的坐标，方向，相等的准则，加法运算 乘法运算规则 j k = i , k j = -i , k i = j , i k = -j , i j = k , j i =-k i2 = j 2 = k2 = 1第9讲代数学新生四元数的性质 引进了微分算子，作用于数量函数时产生梯度；作用于向量函数上产生一个四元数，其数量部分(除去负号)称为散度，向量部分为旋度 间接地将数学引向向量代数和向量分析 四元数是历史上第一次构造的不满足乘法交换律的数系，对于代数学的发展是革命性的。从此数学家们可以通过减弱、放弃或替换普通代数中的不同定律和公理，构造新的数系。第9讲代数学新生Grassmann的扩张的演算 H.G.Grassmann, 1809-1877，年轻时没有表现出数学才能，并且没有受过大学教育；德国Stettin城的中学数学教师，梵文权威 1844，线性扩张论；1862年修订扩张论 涉及n维向量的超复数 乘法的内积, ei ei = 1, ei ej = 0 外积, ei ej = ej ei, ei ei = 0 混和积第9讲代数学新生James Clerk Maxwell1831-1879 从四元数到向量 区分四元数的数量部分和向量部分 要规定一个向量需要三个量(分量)，这三个量能解释成沿三个坐标轴的长度。这个概念是四元数的向量部分 独立于四元数的三维向量代数和向量分析，是在1880年代由美国物理学家Gibbs(1839-1903)和英国数学物理学家Heaviside独立创立的。第9讲代数学新生