第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体：刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体. 一、刚体的运动形式：平动、转动一、刚体的运动形式：平动、转动 . 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动1、平动：、平动：若刚体中所有点的运动轨迹若刚体中所有点的运动轨迹 都保持完全相同，或都保持完全相同，或 者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的 初始位置间的连线初始位置间的连线 . 4-1、刚体的定轴转动、刚体的定轴转动2021/8/221第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体平动的特点：刚体平动的特点：（1）、刚体内所有点具有相同的位移、速度和加）、刚体内所有点具有相同的位移、速度和加 速度。速度。2、转动：、转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分转动又分定轴转动定轴转动和和非定轴转动非定轴转动 .（2）、刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动）、刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动 规律。规律。2021/8/222第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体转动的特点：刚体转动的特点：（1）、刚体内所有的点（质元）具有相同的角位移、）、刚体内所有的点（质元）具有相同的角位移、 角速度和角加速度。角速度和角加速度。（2）、刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚）、刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚 体定轴转动的规律。体定轴转动的规律。3、刚体的运动：一般情况下，刚体都可看成是平动刚体的运动：一般情况下，刚体都可看成是平动 和转动的合成运动。和转动的合成运动。2021/8/223第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体的一般运动：刚体的一般运动： 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+2021/8/224第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、刚体转动的角速度和角加速度一、刚体转动的角速度和角加速度参考平面参考平面2、角位移：、角位移： 1、角坐标、角坐标:0q 沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 :0q 沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 :参考轴参考轴约定约定:2021/8/225第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动角速度的角速度的大小大小：角速度的角速度的方向方向：3、角速度、角速度（表示刚体转动的快慢）（表示刚体转动的快慢）右手右手螺旋定则螺旋定则2021/8/226第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动4、角加速度（矢量）、角加速度（矢量）若若 则则 与角速度同向，与角速度同向，若若 则则 与角速度反向。与角速度反向。大小：大小：方向：方向：2021/8/227第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动二、匀变速转动公式二、匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动匀变速转动：匀变速转动：刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比转动的转动的角加速度为恒量角加速度为恒量的运动。的运动。2021/8/228第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动三、角量与线量的关系三、角量与线量的关系1、速度与角速度、速度与角速度2、加速度与角加速度、加速度与角加速度2021/8/229第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度 例例1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150rmin-1， 因受制动而均因受制动而均匀减速，经匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 . 试求：试求：（1）角加速度和在此时间内）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（飞轮所转的圈数；（2）制动开始后）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度速度 .解：解：（1） t = 30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动时，时， t = 0 s 2021/8/2210第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动（2）时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数转过的圈数2222nsm6 .31sm)4(2 . 0-=wra2021/8/2211第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 例例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速度开始时，它的角速度 ，经，经300s 后，后，其转速达到其转速达到 18000rmin-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比已知转子的角加速度与时间成正比 . 问问在这段时间内，转子转过多少转？在这段时间内，转子转过多少转？解解 由题意，令由题意，令 ，即，即 ，积分，积分 得得当当t=300s 时时所以所以2021/8/2212第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动转子的角速度转子的角速度由角速度的定义由角速度的定义得得有有在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数2021/8/2213第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量P*O刚体上刚体上P点的力点的力 对转轴对转轴 Z 的力矩为：的力矩为： 一一 力矩力矩 方向：右手定则方向：右手定则大小：大小：例例力臂力臂2021/8/2214第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量O讨论讨论 2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和: : 1）若力若力 不在转动平面内不在转动平面内则：则：2021/8/2215第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量3） 刚体内刚体内作用力和反作用力作用力和反作用力的力矩互相的力矩互相抵消。抵消。O2021/8/2216第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量O二二 转动定律转动定律1、 单个质点单个质点 与转轴刚性连接（与转轴刚性连接（ 在转动平面内）在转动平面内）受力：受力：力矩：力矩：2021/8/2217第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量2、刚体转动定律、刚体转动定律O质元质元 受力为：受力为：其合力矩为：其合力矩为：则该质元的合力矩为：则该质元的合力矩为：2021/8/2218第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量由此可得，质点系（刚体）的合力矩为：由此可得，质点系（刚体）的合力矩为：内力矩之和为零内力矩之和为零即：质点系的合力矩为所受外力力矩之和即：质点系的合力矩为所受外力力矩之和2021/8/2219第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 . 转动定律：转动定律：转动惯量（转动惯量（J）：）：2021/8/2220第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量三三 转动惯量转动惯量 1）质量离散分布刚体的转动惯量：）质量离散分布刚体的转动惯量：2、转动惯量的计算方法：、转动惯量的计算方法： 2）质量连续分布刚体的转动惯量：）质量连续分布刚体的转动惯量：质量元：质量元描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动转动惯量的大小取决于刚体的惯量的大小取决于刚体的质量质量、形状及转轴的位置形状及转轴的位置 .）1、物理意义：、物理意义：2021/8/2221第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度：质量元：质量元 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量2021/8/2222第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量OO解：解： 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO为为 处处 的质量元的质量元 例例1 一一质量为质量为 、长为、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与的均匀细长棒，求通过棒中心并与 棒垂直的轴的转动惯量棒垂直的轴的转动惯量 .OO如转轴过端点且垂直于棒：如转轴过端点且垂直于棒：2021/8/2223第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量ORO一质量为一质量为m 、半径为、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 .例例2、 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环而而圆环质量圆环质量所以所以圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量2021/8/2224第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量解：解：其中：其中：所以：所以：例例3 3 ：质量为质量为m m、高为、高为h h、半径为、半径为r r的均匀圆柱体，求其对的均匀圆柱体，求其对圆柱中心的转动轴的转动惯量？圆柱中心的转动轴的转动惯量？2021/8/2225第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量2021/8/2226第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量四四 平行轴定理平行轴定理P 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行对任一与该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动惯量为：的转轴的转动惯量为：CO圆盘对圆盘对P 轴轴的转动惯量的转动惯量O2021/8/2227第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较容容易易控控制制？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？2021/8/2228