第三章第三章 货币时间价值货币时间价值 1第一节第一节第一节第一节 复利、未来值与现值复利、未来值与现值复利、未来值与现值复利、未来值与现值n n货币时间价值的概念 货币的时间价值，是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，也称资金的时间价值。例如，将现在的1元钱存入银行，1年后可得1.1元（假定存款利率为10%）。这1元钱经过1年时间的投资增加了0.1元，这就是货币时间价值。2 有两种表现形式：绝对数形式：即时间价值额，以价值增值额表示。货币的时间价值为0.1元。相对数形式：即增加价值占投入货币的百分数表示。货币的时间价值为10%。 一般可以以没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率或通胀率很低时的政府债券利率来度量。3 企业在投资某项目时，至少要获得社会平均的利润率，企业在投资某项目时，至少要获得社会平均的利润率，否则不如投资于其他项目。否则不如投资于其他项目。货币时间价值是项目估价的基货币时间价值是项目估价的基本原则。本原则。例，已探明一个由工业价值的油田，目前立即开发可获利例，已探明一个由工业价值的油田，目前立即开发可获利100100亿元，若亿元，若5 5年后开发，由于价格上涨可获利年后开发，由于价格上涨可获利160160亿元。亿元。不考虑货币时间价值，选择不考虑货币时间价值，选择5 5年后开发。年后开发。考虑货币时间价值。现在获得的考虑货币时间价值。现在获得的100100亿元可用于其他项目，亿元可用于其他项目，假定每年获利假定每年获利15%15%。5 5年后可获得年后可获得100100（1+15%1+15%）5 5 =201.14=201.14亿。选择现在开发。亿。选择现在开发。 4 货币随着时间的推移而增值，不同时间单位货币的价值不同，必须换算到相同的时间基础，才能进行比较。 货币的增值与复利的计算过程在数学上相似，所以采用复利的各种计算方法。5 n n将来值和现值的计算将来值和现值的计算 所谓复利，是指不仅本金要计算利息，利息也要计所谓复利，是指不仅本金要计算利息，利息也要计算利息，即通常所说的算利息，即通常所说的“ “利滚利利滚利” ”。 将来值，又称复利终值，是指把今天的一笔资金按复利将来值，又称复利终值，是指把今天的一笔资金按复利利率计算至将来某一时刻的价值。终值的一般计算公式利率计算至将来某一时刻的价值。终值的一般计算公式为：为：6 F V F V n n: : 复利终值复利终值PVPV：复利现值：复利现值i i：利息率：利息率n n：计息期数：计息期数例，将例，将100100元存入银行，利息率为元存入银行，利息率为1010，5 5年后的终值应为：年后的终值应为： F V F V 5 5 = = PVPV（1+10%1+10%）5 5 =100 =100 （1+10%1+10%）5 5 =161=161 (1+i)(1+i)n n叫复利终值系数，可写成叫复利终值系数，可写成F V I F F V I F i , ni , n 为了简化和加速为了简化和加速计算，可编制复利终值系数表，见附录一。计算，可编制复利终值系数表，见附录一。7 现值现值 现值是把现值是把将来的资金将来的资金按一定的利率折算到现在的价按一定的利率折算到现在的价值，这一折算过程称为折现，折算时采用的利率称为折值，这一折算过程称为折现，折算时采用的利率称为折现率。现率。8 在上述公式中，在上述公式中， 称为复利现值系数或贴现系称为复利现值系数或贴现系数，也可以写为数，也可以写为PVIF i ,n PVIF i ,n 为了简化计算，也可编制现值为了简化计算，也可编制现值系数表。见附录二。系数表。见附录二。例，若计划在例，若计划在3 3年以后得到年以后得到400400元，利息率为元，利息率为8 8，现在应存，现在应存金额可计算如下：金额可计算如下：9 或查复利现值系数表计算：或查复利现值系数表计算：PV=FV PV=FV n n PVIF PVIF 8% ,38% ,3 =4000.794=4000.794 =317.6 =317.610第二节第二节第二节第二节 年金年金年金年金n n年金的定义年金的定义 年金是指一定时期内每期相等金额的收付款年金是指一定时期内每期相等金额的收付款项。折旧、利息、租金、保险费等通常表现为年项。折旧、利息、租金、保险费等通常表现为年金的形式。金的形式。年金按付款方式可分为：年金按付款方式可分为： 后付年金（或称普通年金）：期末后付年金（或称普通年金）：期末 先付年金（或称即付年金）：期初先付年金（或称即付年金）：期初 延期年金：延迟支付延期年金：延迟支付 永续年金：无限期支付永续年金：无限期支付11 n n年金现值与终值的计算后付年金 后付年金是指每期期末有等额的收付款项的年金。在现实经济生活中这种年金最为常见，又称为普通年金。 后付年金终值 后付年金终值犹如零存整取的本利和，它是一定时期内每期期未等额收付款项的复利终值之和。12 0 1 2 n-2 n-1 n 0 1 2 n-2 n-1 n A A A A A A A A A A A(1+i) A(1+i)0 0 A(1+i) A(1+i)1 1 A(1+i) A(1+i)2 2 A(1+i) A(1+i)n-2n-2 A(1+i) A(1+i)n-1n-1 后付年金终值的计算示意图后付年金终值的计算示意图 13 假设：假设：AA年金数额；年金数额； i i利息率；利息率； n n计算期数计算期数 FVA FVA n n年金终值年金终值 后付年金终值的计算公式：后付年金终值的计算公式：14 上式中的上式中的 称为年金终值系数。称为年金终值系数。可写成可写成FVIFA FVIFA i ,n i ,n 或或ACF ACF i, n i, n ，为简化工作，事先编制年金为简化工作，事先编制年金终值系数表。见附录三。终值系数表。见附录三。例，例，5 5年中每年年底存入银行年中每年年底存入银行100100元，存款利率为元，存款利率为8 8, ,求第求第5 5年末年金终值年末年金终值。 FVAFVA5 5=A=A FVIFA FVIFA 8%,58%,5 =100=1005.8675.867 =586.7 =586.7 15 后付年金现值系数后付年金现值系数 一定期间内每期期末等额的系列收付款项的现值之一定期间内每期期末等额的系列收付款项的现值之和，叫后付年金现值。年金现值的符号为和，叫后付年金现值。年金现值的符号为PVA PVA n n 。 年金现值的计算公式为：年金现值的计算公式为：16 1 2 n-1 n 1 2 n-1 n A A A A A A A A A(1+i) A(1+i)-1-1 A(1+i) A(1+i)-2-2 A(1+i) A(1+i) - -（n-1n-1） A(1+i) A(1+i) -n-n 后付年金现值示意图后付年金现值示意图17 式中式中 称为年金现值系数，可记为称为年金现值系数，可记为PVIFA PVIFA i,ni,n为了简化计算，可事先编制年金现值系数表。为了简化计算，可事先编制年金现值系数表。例，现在存入一笔钱，准备在以后例，现在存入一笔钱，准备在以后5 5年中每年末得到年中每年末得到100100元，元，如果利息率为如果利息率为1010，现在应存入多少钱？，现在应存入多少钱？PVA PVA 5 5 =A. =A. PVIFA PVIFA 10%, 510%, 5 =100=1003.7913.791 =379.1 =379.118 先付年金先付年金 先付年金是指在一定时期内，各期期初等额先付年金是指在一定时期内，各期期初等额的系列收付款项。的系列收付款项。 先付年金与后付年金的区别仅在于付款时间先付年金与后付年金的区别仅在于付款时间的不同。的不同。 由于后付年金是最常用的，年金终值和现值由于后付年金是最常用的，年金终值和现值系数表是按后付年金编制的。利用后付年金系数系数表是按后付年金编制的。利用后付年金系数表计算先付年金的终值和现值时，表计算先付年金的终值和现值时，可在后付年金可在后付年金的基础上用终值和现值的计算公式进行调整。的基础上用终值和现值的计算公式进行调整。19 先付年金终值：先付年金终值： n n期先付年金与期先付年金与n n期后付年金的期后付年金的付款次数相同，但由于付款时间的不同。付款次数相同，但由于付款时间的不同。n n期先期先付年金终值比付年金终值比n n期后付年金终值多计算一期利息。期后付年金终值多计算一期利息。所以所以 可以先求出可以先求出n n期后付年金终值，然后再乘以期后付年金终值，然后再乘以（1+i1+i）便可求出）便可求出n n期先付年金的终值。其计算期先付年金的终值。其计算公式为公式为: : 20 0 1 2 n-1 n0 1 2 n-1 nA A A AA A A A n n期先付年金终值期先付年金终值0 1 2 n-1 n0 1 2 n-1 n A A A A A A A An n期后付年金终值期后付年金终值21 此外此外, ,还可根据还可根据n n期先付年金与期先付年金与n+1n+1期后付年期后付年金的关系推导出另一公式。金的关系推导出另一公式。n n期先付年金与期先付年金与n n1 1期后付年金的计息期数相同，但比期后付年金的计息期数相同，但比 n + ln + l期后期后付年金少付一次款，因此，只要将付年金少付一次款，因此，只要将n+1n+1期后付期后付年金的终值减去一期付款额年金的终值减去一期付款额A ,A ,便可求出便可求出n n期先期先付年金终值。其计算公式为：付年金终值。其计算公式为：22 例，某人每年年初存入银行例，某人每年年初存入银行10001000元，银行存款年利率为元，银行存款年利率为8 8，问第问第1010年末的本利和应为多少？年末的本利和应为多少？V V1010=1000=1000FVIFA FVIFA 8%,108%,10(1+8%)(1+8%) =100014.4871.08 =100014.4871.08 =15645 =15645或或V V1010=1000(FVIFA =1000(FVIFA 8%,118%,11 -1) -1) =1000(16.645-1) =1000(16.645-1) =15645 =1564523 先付年金现值：先付年金现值：n n 期后付年金现值与期后付年金现值与n n期先付年期先付年金现值的付款期数相同金现值的付款期数相同, ,但由于但由于n n期后付年金是期后付年金是期末付款，期末付款，n n期先付年金是期初付款，在计算期先付年金是期初付款，在计算现值时，现值时，n n期后付年金现值比期后付年金现值比n n期先付年金现值期先付年金现值多贴现一期。所以，可先求出多贴现一期。所以，可先求出n n期后付年金现期后付年金现值值, ,然后再乘以（然后再乘以（1+i1+i），便可求出），便可求出n n期先付年金期先付年金的现值。其计算公式为的现值。其计算公式为: :24 0 1 2 n-1 n0 1 2 n-1 nA A A AA A A A n n期先付年金现值期先付年金现值0 1 2 n-1 n0 1 2 n-1 n A A A A A A A A n n 期后付年金现值期后付年金现值25 根据根据n n期先付年金与期先付年金与n-1n-1期后付年金现值的关系，可推导期后付年金现值的关系，可推导出计算出计算n n期先付年金现值的另一公式。期先付年金现值的另一公式。 n n期先付年金现值期先付年金现值与与n-1n-1期后付年金现值的贴现期数相同，但期后付年金现值的贴现期数相同，但n n期先付年金比期先付年金比n-1n-1期后付年金多一期不用贴现的付款期后付年金多一期不用贴现的付款A A，因此，先计算，因此，先计算n-n-1 1期后付年金的现值，然后再加上一期不需贴现的付款期后付年金的现值，然后再加上一期不需贴现的付款A,A,便可求出便可求出n n期先付年金的现值。其计算公式为：期先付年金的现值。其计算公式为：26 例，某企业租用一设备，在例，某企业租用一设备，在1010年中每年年初要支付租金年中每年年初要支付租金50005000元，年利息率为元，年利息率为8 8，问这些租金的现值是多少？，问这些租金的现值是多少？V V0 0=5000=5000PVIFA PVIFA 8%,108%,10(1+8%)(1+8%) =50006.711.08 =50006.711.08 =36234 =36234或或V V0 0=5000(PVIFA =5000(PVIFA 8%,98%,9 +1) +1) =5000(6.247+1) =5000(6.247+1) =36235 =3623527 延期年金延期年金 延期年金是指在延期年金是指在最初若干期最初若干期没有收付款项的情况下没有收付款项的情况下 ，后面若干期等额的系列收付款项。假设最初有，后面若干期等额的系列收付款项。假设最初有mm期没有期没有收付款项收付款项, ,后面后面n n期有等额的收付款项，则延期年金的现值期有等额的收付款项，则延期年金的现值即为后即为后n n期年金贴现至期年金贴现至mm期期初的现值。期期初的现值。 通常先求出延期年金在通常先求出延期年金在n n期期初（期期初（mm期期末）的现值，期期末）的现值，再将它作为终值贴现至再将它作为终值贴现至mm期期初，便可求出延期年金的现期期初，便可求出延期年金的现值。值。 0 1 2 n0 1 2 n 0 1 2 m m+1 m+2 m +n0 1 2 m m+1 m+2 m +n A A A AA A A A 28 延期年金现值还可以用另外一种方法计算。先求出延期年金现值还可以用另外一种方法计算。先求出m +nm +n期后付年金现值减去没有付款的前期后付年金现值减去没有付款的前mm期后付年金期后付年金现值，二者之差便是延期现值，二者之差便是延期mm期的期的n n期后付年金现值。其期后付年金现值。其计算公式为：计算公式为：29 例，某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利息率为例，某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利息率为8 8，银行规定前，银行规定前1010年不用还本付息，但从第年不用还本付息，但从第 1111年至第年至第 2020年每年年末偿还本息年每年年末偿还本息 10001000元。这笔款项的现值应为多少？元。这笔款项的现值应为多少？V V0 0=1000=1000PVIFA PVIFA 8%,108%,10 PVIF PVIF 8%,108%,10 =10006.7100.463 =10006.7100.463 =3107 =3107或或V V0 0=1000(PVIFA =1000(PVIFA 8%,208%,20 PVIFA PVIFA 8%,108%,10) ) =1000(9.818-6.710) =1000(9.818-6.710) =3108 =310830 永续年金永续年金 永续年金是指无限期支付的年金。西方有些债券为永续年金是指无限期支付的年金。西方有些债券为无期限债券，可视为永续年金无期限债券，可视为永续年金; ;优先股有固定的股利，无优先股有固定的股利，无到期日，到期日， 有时可以看做是永续年金。另外，期限长、利有时可以看做是永续年金。另外，期限长、利率高的年金现值，可按计算永续年金的公式，计算其近率高的年金现值，可按计算永续年金的公式，计算其近似值。似值。31 例，某永续年金每年年末的收入为例，某永续年金每年年末的收入为 800800元，利息率为元，利息率为 8 8，求，求该项永续年金的现值。该项永续年金的现值。32 n n时间价值计算中的几个特殊问题时间价值计算中的几个特殊问题不等额现金流量的现值计算不等额现金流量的现值计算假设：假设：A A0 0 第第0 0年末的付款年末的付款 A A1 1 第第1 1年末的付款年末的付款 A A2 2 第第2 2年末的付款年末的付款 A An n 第第n n年末的付款年末的付款33 例，有一笔现金流量如下表所示，贴现率为例，有一笔现金流量如下表所示，贴现率为5%5%，求这笔不等，求这笔不等额现金流量的现值。额现金流量的现值。年年0 01 12 23 34 4现金流量现金流量1000100020002000100100300030004000400034 年金和不等额现金流量混合情年金和不等额现金流量混合情况下的现值况下的现值例，例， 某系列现金流量表，如左图某系列现金流量表，如左图所示：所示：年年现金流量现金流量1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101000100010001000100010001000100020002000200020002000200020002000200020003000300035 PVPV0 0=1000=1000PVIFA PVIFA 9%,49%,4 +2000(PVIFA +2000(PVIFA 9%,99%,9 -PVIFA -PVIFA 9%,49%,4) ) +3000PVIF +3000PVIF 9%,109%,10 =10003.240+2000(5.995-3.240)+30000.422 =10003.240+2000(5.995-3.240)+30000.422 =10016 =1001636第三节第三节第三节第三节 名义利率与实际利率名义利率与实际利率名义利率与实际利率名义利率与实际利率n n名义利率与实际利率的定义 前述计算均假定利率为年利率，每年复利一次。但实际上，复利的计息期间不一定是1年，有可能是季度、月份、每日。 当利息在1年内要复利几次时，给出的年利率称为名义利率。实际得到的利息要比按名义利率计算的利息高，称为实际利率。37 例，本金例，本金10001000元，投资元，投资5 5年，年利率为年，年利率为8%8%，每季度，每季度复利一次。复利一次。名义利率：名义利率：8%8%复利终值复利终值=1000*=1000*（1+8%1+8%）5 5=1000*1.469=1469=1000*1.469=1469实际利率：实际利率：季度利率季度利率=8%/4=2%=8%/4=2%复利次数复利次数=4*5=20=4*5=20复利终值复利终值=1000*=1000*（1+2%1+2%）2020=1000*1.486=1486=1000*1.486=1486 实际利率大于名义利率。实际利率大于名义利率。38 1486=1000（1+i）51.486=（1+i）5查表PVIF 8% ,5=1.469 PVIF 9% ,5=1.538利用插值法 1.538-1.469 = 1.486-1.469 9%-8% i%-8% i=8.25%39 n n名义利率与实际利率的换算按计算公式调整i=（1+r/m）m-1式中：r 名义利率 i 实际利率 m 每年的计息次数 40 例，某企业于年初存入例，某企业于年初存入1010万元，年利率为万元，年利率为10%10%，假定半年复利，假定半年复利1 1次，第次，第1010年末，该企业能得年末，该企业能得到多少本利和。到多少本利和。计算实际利率计算实际利率= =（1+10%/21+10%/2）2 2-1=10.25%-1=10.25%本利和本利和=10=10（1+10.25%1+10.25%）1010=26.53=26.53方法二，调整有关指标方法二，调整有关指标本利和本利和=10=10（1+5%1+5%）2020=26.53=26.5341习题习题习题习题1 1 假设利民工厂有假设利民工厂有1 1笔笔123600123600元的资金，准备存入银行，希望元的资金，准备存入银行，希望在在7 7年后利用这笔款项的本利和购买年后利用这笔款项的本利和购买1 1套生产设备，当时银套生产设备，当时银行存款的利率为行存款的利率为10%10%，按复利计算。该设备的预计价格为，按复利计算。该设备的预计价格为240000240000元。试用数据说明元。试用数据说明7 7年后，利民工厂能否用这笔款年后，利民工厂能否用这笔款项的本利和购买设备。项的本利和购买设备。2 2某合营企业于年初向银行借款某合营企业于年初向银行借款500000500000元购买设备，第元购买设备，第1 1年末，年末，开始还款，每年还款开始还款，每年还款1 1次，等额偿还，分次，等额偿还，分5 5年还清，银行借年还清，银行借款利率为款利率为12%12%。试计算每年应还款多少。试计算每年应还款多少。3 3某人现在准备存入某人现在准备存入1 1笔钱，以便在以后的笔钱，以便在以后的2020年中每年年底得年中每年年底得到到30003000元，设银行存款利率为元，设银行存款利率为10%10%。计算此人目前应存入。计算此人目前应存入多少钱。多少钱。42 4 4时代公司需用时代公司需用1 1台设备，买价为台设备，买价为160000160000元，可用元，可用1010年。如果年。如果租用，则每年年初须付租金租用，则每年年初须付租金200200元。假设其他情况相同。元。假设其他情况相同。利率为利率为6%6%。用数据说明购买与租用何者为优。用数据说明购买与租用何者为优。5 5某公司发行某公司发行1 1种债券，年利率为种债券，年利率为12%12%，按季计息，按季计息，1 1年后还年后还本付息，每张债券还本付息本付息，每张债券还本付息100100元。计算该种债券的现值。元。计算该种债券的现值。43