26.1.2 26.1.2 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质二次函数的定义：二次函数的定义： 注意：注意：1 1、其中，、其中，x x是自变量，是自变量，axax2 2是二次项，是二次项，a a是是二次向系数二次向系数 bxbx是一次项，是一次项，b b是一次项系数是一次项系数 c c是常数项。是常数项。 一般地，形如一般地，形如 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a,b,ca,b,c是常数，是常数，a 0a 0）的函数，叫做二次函数。的函数，叫做二次函数。 2 2、函数的右边最高次数为函数的右边最高次数为2 2, ,可以没有一次项和常数项可以没有一次项和常数项, ,但不能没有二次项但不能没有二次项. .1 1、下列函数中，哪些是二次函数？、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)2 2、当、当m m为何值时，函数为何值时，函数y y(m(m2)x2)xm m2 22 24x4x5 5是是x x的二次函数的二次函数. .3 3、已知关于、已知关于x x的二次函数的二次函数, , 当当x=x=1 1时时, ,函数值为函数值为10,10, 当当x=1x=1时时, , 函数值为函数值为4,4, 当当x=2x=2时时, ,函数值为函数值为7,7, 求这个二次函数的解析试求这个二次函数的解析试. .喷泉(1)创设情境，导入新课 （2 2）你你们们知知道道：投投篮篮时时，篮篮球球运运动动的的路路线线是是什什么么曲曲线线？怎怎样样计计算算篮篮球球达达到到最高点时的高度？最高点时的高度？26.1.2 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质下面我们将通过画二次函数的图象来下面我们将通过画二次函数的图象来探索二次函数的性质探索二次函数的性质-2-20 01 1-1-12 2x xy=xy=x2 2y=-xy=-x2 23 3-3-3例例1. .画出函数画出函数y=xy=x2 2的图象：的图象：1.1.列表：列表：2.2.描点：描点：3.3.连线：连线：与与 y=-xy=-x2 2的图像：的图像：y=xy=x2 2y=-xy=-x2 2二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c ( (a,b,ca,b,c是常数，是常数，a a0)0)图象是一条抛物线图象是一条抛物线函数函数y=xy=x2 2的图像抛物的图像抛物线开口向上；线开口向上；函数函数y=-xy=-x2 2的图像抛的图像抛物线开口向下。物线开口向下。函数函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)图象抛物线开口向上；图象抛物线开口向上；函数函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)图象抛物线开口向下。图象抛物线开口向下。顶点坐标顶点坐标1X234567-2 -1-5 -4 -3-7 -68123-1465Y79-20yx21.1.列表：列表：2.2.描点：描点：3.3.连线：连线：x xy=2xy=2x2 2-2-20 01 1-1-12 2y=xy=x2 2y= xy= x2 21 12 2顶点坐标顶点坐标例例2. .画出函数画出函数y=xy=x2 2、y=2xy=2x2 2、y= xy= x2 2的图象：的图象：1 12 2y=xy=x2 2y=2xy=2x2 2y= xy= x2 21 12 21.1.列表：列表：2.2.描点：描点：3.3.连线：连线：x xy=-2xy=-2x2 2-2-20 01 1-1-12 2y=-xy=-x2 2y=- xy=- x2 21 12 2顶点坐标顶点坐标例例3. .画出函数画出函数y=-xy=-x2 2、y=-2xy=-2x2 2、y=- xy=- x2 2的图象：的图象：1 12 2y=-xy=-x2 2y=-2xy=-2x2 2y=- xy=- x2 21 12 2y=xy=x2 2y=2xy=2x2 2y= xy= x2 21 12 2函数函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)中，中，|a|a|越大，抛物线开口越小；越大，抛物线开口越小；|a|a|越小，抛物线开口越大。越小，抛物线开口越大。x xy=xy=x2 2+2+2-2-20 01 1-1-12 2y=xy=x2 2顶点坐标顶点坐标y=xy=x2 2-2-21.1.列表：列表：2.2.描点：描点：3.3.连线：连线：例例4. .画出函数画出函数y=xy=x2 2、y=xy=x2 2+2+2、y=xy=x2 2-2-2的图象：的图象：y=xy=x2 2+2+2y=xy=x2 2y=xy=x2 2-2-21.1.列表：列表：2.2.描点：描点：3.3.连线：连线：例例5. .画出函数画出函数y=- xy=- x2 2、y=- xy=- x2 2+3+3、y=- xy=- x2 2-3-3的图象：的图象：1 12 21 12 21 12 2x x-3-30 02 2-2-23 3顶点坐标顶点坐标y=- xy=- x2 2-3-31 12 2y=- xy=- x2 21 12 2y=- xy=- x2 2+3+31 12 2形如形如y=axy=ax2 2+n+n这样的二次函数，这样的二次函数，( (这与这与y=ax2+c不是一个意义，不是一个意义，n不是不是c)当当n n0 0时，时，图象是函数图象是函数y=axy=ax2 2图图象向上平移象向上平移|n|n|个单位个单位；当当n n0 0时，图象是函数时，图象是函数y=axy=ax2 2图图象向下平移象向下平移|n|n|个单位个单位；y=- xy=- x2 2-3-31 12 2y=- xy=- x2 21 12 2y=- xy=- x2 2+3+31 12 2形如形如y=axy=ax2 2+n+n这样的二次函数，这样的二次函数，( (这与这与y=ax2+c不是一个意义，不是一个意义，n不是不是c)顶点坐标为（顶点坐标为（0 0，n n）1.1.列表：列表：2.2.描点：描点：3.3.连线：连线：例例6. .画出函数画出函数y=xy=x2 2、y=(x+2)y=(x+2)2 2、y=(x-2)y=(x-2)2 2的图象：的图象：x xy=(x+2)y=(x+2)2 2-2-20 01 1-1-12 2y=xy=x2 2-4-44 4y=(x-2)y=(x-2)2 23 3-3-3y=(x+2)y=(x+2)2 2y=xy=x2 2y=(x-2)y=(x-2)2 21.1.列表：列表：2.2.描点：描点：3.3.连线：连线：例例7. .画出函数画出函数y=-2xy=-2x2 2、y=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2、y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2的图象：的图象：x xy=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2-2-20 01 1-1-12 2y=-2xy=-2x2 2-4-44 4y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 23 3-3-3y=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2y=-2xy=-2x2 2y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2形如形如y=a(x+m)y=a(x+m)2 2这样的二次这样的二次函数，函数，当当m m0 0时，时，图象是函数图象是函数y=axy=ax2 2图象向左平移图象向左平移|m|m|个个单位单位；当当m m0 0时，图象是函数时，图象是函数y=axy=ax2 2图象向右平移图象向右平移|m|m|个个单位单位；形如形如y=a(x+m)y=a(x+m)2 2这样的二次函这样的二次函数，数，顶点坐标为（顶点坐标为（-m-m，0 0）对称轴为对称轴为x=-mx=-m1.1.列表：列表：2.2.描点：描点：3.3.连线：连线：例例8. .画出函数画出函数y=(x+3)y=(x+3)2 2+2+2的图象：的图象：-2-20 01 1-1-12 2顶点坐标顶点坐标x xy=(x+3)y=(x+3)2 2+2+2y=xy=x2 2x x顶点坐标顶点坐标y=(x+3)y=(x+3)2 2y=xy=x2 2y=(x+3)y=(x+3)2 2+2+21.1.列表：列表：2.2.描点：描点：3.3.连线：连线：例例9. .画出函数画出函数y=(x+3)y=(x+3)2 2+2+2的图象：的图象：-2-20 01 1-1-12 2顶点坐标顶点坐标x xy=(x+3)y=(x+3)2 2+2+2y=xy=x2 2x x顶点坐标顶点坐标y=xy=x2 2+2+2y=xy=x2 2y=(x+3)y=(x+3)2 2+2+21.1.列表：列表：2.2.描点：描点：3.3.连线：连线：例例10. .画出函数画出函数y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3的图象：的图象：-2-20 01 1-1-12 2顶点坐标顶点坐标x xy=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3y=-2xy=-2x2 2x x顶点坐标顶点坐标y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2y=-2xy=-2x2 2y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+31.1.列表：列表：2.2.描点：描点：3.3.连线：连线：例例11. .画出函数画出函数y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3的图象：的图象：-2-20 01 1-1-12 2顶点坐标顶点坐标x xy=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3y=-2xy=-2x2 2x x顶点坐标顶点坐标y=-2xy=-2x2 2+3+3y=-2xy=-2x2 2y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3形如形如y=a(x+m)y=a(x+m)2 2+n+n这样的二次这样的二次函数，函数，a a决定抛物线的开口和形状决定抛物线的开口和形状m m决定图像上下平移决定图像上下平移n n决定图像左右平移决定图像左右平移形如形如y=a(x+m)y=a(x+m)2 2+n+n这样的二次这样的二次函数，函数，顶点坐标为（顶点坐标为（-m-m，n n）对称轴为对称轴为x=-mx=-m解析式解析式分情况讨论分情况讨论变换过程变换过程顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴形如：形如：y=a(x+m)y=a(x+m)2 2+n+n（a a、m m、n n都是常数，都是常数，a a0 0）m m0,n0,n0 0m m0,n0,n0 0m m0,n0,n0 0m m0,n0,n0 0由由y=axy=ax2 2向左平移向左平移|m|m|个单位个单位，向上平移向上平移|n|n|个单位。个单位。由由y=axy=ax2 2向左平移向左平移|m|m|个单位个单位，向下平移向下平移|n|n|个单位。个单位。由由y=axy=ax2 2向右平移向右平移|m|m|个单位个单位，向上平移向上平移|n|n|个单位。个单位。由由y=axy=ax2 2向右平移向右平移|m|m|个单位个单位，向下平移向下平移|n|n|个单位。个单位。(-(-m,nm,n) )(-(-m,nm,n) )(-(-m,nm,n) )(-(-m,nm,n) )x=-mx=-mx=-mx=-mx=-mx=-mx=-mx=-m1.1.列表：列表：2.2.描点：描点：3.3.连线：连线：例例10. .画出函数画出函数y=2xy=2x2 2-12x+16-12x+16的图象：的图象：-2-20 01 1-1-12 2顶点坐标顶点坐标x xy=2(x-3)y=2(x-3)2 2-2-2y=2xy=2x2 2x x顶点坐标顶点坐标y=2(x-3)y=2(x-3)2 2-2-2y=2(x-3)y=2(x-3)2 2y=2xy=2x2 2y=2(x-3)y=2(x-3)2 2-2-2y=2xy=2x2 2-12x+16-12x+16解析式变形解析式变形分情况讨论分情况讨论变换过程变换过程y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a a、b b、c c都是常数，都是常数，a a0 0）y=y=a(xa(x+ )+ )2 2+ +b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a解析式解析式0 0b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a0 00 0b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a0 00 0b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a0 00 0b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a0 0由由y=axy=ax2 2向左平移向左平移| | |个单个单位位，向上平移向上平移| | |个单位。个单位。4ac-b4ac-b2 24a4ab b2a2a由由y=axy=ax2 2向左平移向左平移| | |个单个单位位，向下平移向下平移| | |个单位。个单位。4ac-b4ac-b2 24a4ab b2a2a由由y=axy=ax2 2向右平移向右平移| | |个单个单位位，向上平移向上平移| | |个单位。个单位。4ac-b4ac-b2 24a4ab b2a2a由由y=axy=ax2 2向右平移向右平移| | |个单个单位位，向下平移向下平移| | |个单位。个单位。4ac-b4ac-b2 24a4ab b2a2a顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴（- - ， ）b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a都是都是x=-x=-b b2a2a都是都是