二二次次根根式式性质性质运算运算概念概念二次根式二次根式最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式（2）形如形如的的式子叫做式子叫做二次根式二次根式.（即一个（即一个的算术平方根叫做的算术平方根叫做二次根式二次根式）本章知识本章知识本章知识本章知识非负数非负数1.1.二次根式的有关概念：二次根式的有关概念：（1）二次根式（）二次根式（2）最简二次根式（）最简二次根式（3）同类二次根式）同类二次根式注意：注意： 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零被开方数大于或等于零被开方数不含分母；被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；或因式；（2 2）满足下列两个条件的二次根式，）满足下列两个条件的二次根式，叫做叫做最简二次根式最简二次根式：（3）几个二次根式化成最简二次根）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做几个二次根式叫做同类二次根式同类二次根式。若若则则;注：若注：若则则;2.2.二次根式的性质二次根式的性质(1)(1)：（1）非负性非负性：2.2.二次根式的性质二次根式的性质(2)(2)：3.3.二次根式的运算：二次根式的运算：二次根式乘法法则二次根式乘法法则二次根式除法法则二次根式除法法则二次根式的加减：二次根式的加减： 类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。二次根式的混合运算：二次根式的混合运算： 原来学原来学习的运算律（的运算律（结合律、交合律、交换律、分配律）仍然适用，律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如原来所学的乘法公式（如 , , ）仍然适用。）仍然适用。1.1.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同. .2.2.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式化成最简二次根式，再约分化成最简二次根式，再约分. .3.3.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷. .2课前热身课前热身1、2、计算或化简：、计算或化简：?3在直角坐标系中，点在直角坐标系中，点P（1，）到原点的）到原点的距离是距离是_23、若、若 ，则实数，则实数a在数轴在数轴上的对应点一定在上的对应点一定在( )A、原点左侧、原点左侧 B、原点右侧、原点右侧C、原点或原点左侧、原点或原点左侧D、原点或原点右侧、原点或原点右侧C4、化简下列各式、化简下列各式解：原式解：原式=? 5.设设a.b为实数为实数,且且求求的值的值解解:（3）（4）（1）（2）（5）（6）?0当当a为为_时，二次根式时，二次根式的值最小。的值最小。1.当当x取何值时，下列二次根式有意义：取何值时，下列二次根式有意义：题型题型1:二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件 取全体实数 3.(2005.3.(2005.青岛青岛) )有意义的条件是有意义的条件是_2.2.（20200505. .吉林）当吉林）当 _时，时， 有意义。有意义。 4.4.求下列二次根式中字母的取值范围求下列二次根式中字母的取值范围解：解：3 3a=4a=4说明：说明：二次根式被开方二次根式被开方数大于等于数大于等于0 0，所以求二，所以求二次根式中字母的取值范次根式中字母的取值范围常转化为不等式围常转化为不等式( (组组) ) 解得解得?2.(2005.2.(2005.湖北黄冈市湖北黄冈市) )已知已知x,yx,y为实数为实数, ,且且 , ,则则 的值为的值为( )( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 A.3 B.-3 C.1 D.-1题型题型2:2:二次根式的非负性的应用二次根式的非负性的应用D1.1.已知：已知： , ,求求 的值的值. .解之得解之得解：由题意，得解：由题意，得题型题型3:3:化简化简把下列二次根化为最简二次根式把下列二次根化为最简二次根式 变式应用变式应用1.1.式子式子 成立的条件是（成立的条件是（ ） D题型题型4:4:同类二次根式同类二次根式1.下列与是同类二次根式的有:( ) B. C.D.A.2.下列与不是同类二次根式的有:( ) B. C.D.A.（题中 ）BD（1）解：原式解：原式题型题型5:5: 计算计算（2）解：原式解：原式计算：计算： 1012解解:原式原式解解:原式原式1.(2004年年西宁西宁)如果最如果最简二次根式二次根式与与是同是同类根式，那么使有意根式，那么使有意义的的x x的取的取值范范围是是() A.x 10 B. x 10 C. x 10 A.x 10 B. x 10 C. x 10练习练习A2.(20004年年宁夏宁夏)计算：计算：的结果是的结果是。3.若若，则的取值范围是，则的取值范围是。12x2x2C4.(2004年年甘肃甘肃)在函数在函数中，自中，自变量量x x的取的取值范范围是是()A.x 4 B. x 4 C. x 4 D. x 4 D. x 45.(2004年年南昌南昌)化化简6.直接写出下列各题的计算结果：直接写出下列各题的计算结果：(1)=；(2)；(3)=；(4)(3+ )2002(3 )2003= .112487.在在、中与中与是同类二次根式的是是同类二次根式的是、.练习练习8.(2004年年沈阳沈阳)下列各式属于最下列各式属于最简二次根式的二次根式的是是 ( )A.B.C.D.9.(1)化简化简(a-1)的结果是的结果是.(2)当当x5时，化简时，化简. (3)(2002年年天津市天津市)若若1x4时，则时，则=。32 x-8x-8B10.（2004陕西）西）计算：算：练习练习典型例题解析典型例题解析【例【例1】x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：(1) (2)解解:(1)由由2-x0x2， x2时，时，在实数范围的有意义在实数范围的有意义.(3)由由-5x3时，时，在实数范围内有意义在实数范围内有意义.x3时，时，在实数范围内有意义在实数范围内有意义.(2)由由【例【例2】计算：计算：(1)(2)(3) (4)(2)原式原式=(10(10a a5 515)( 15)( ) )=解：解：(1)原式原式=(3)原式原式=(4)原式原式= (2) 若若x2-4x+1=0，求求 的值的值.解解:(1)(2)由由x2-4x+1=0x+-4=0x+=4. 原式原式=【例例3】求代数式的值求代数式的值.(1)若若求求的值的值【例【例4】比较根式的大小比较根式的大小.(1)(a+b)/2与与；(2)(2)解：解：(1)0【例【例5】已知：已知：,求求的值的值.解：已知解：已知x0，a0,得得1-a0，即即a1. 0a1 原式原式 课时训练课时训练1.(2004年年哈尔滨哈尔滨)函数函数中，自中，自变量变量x x的取值范围是的取值范围是.3.(2004年年河南省河南省)函数函数 中，中，自变量自变量x的取值的取值范围是范围是.2.(2004年年临汾市临汾市)若实数若实数ab，则化简，则化简的的结果是结果是()A.a+bB.a-bC.-a-bD.-a+b4.(2004年年西宁市西宁市)当当m22时，化，化简：D33x55且且课时训练课时训练5.(2004年年南京市南京市)计算：计算：7.(2004年年山西省山西省)观察下列各式：察下列各式： 请你将猜想到的你将猜想到的规律用含自然数律用含自然数n(n1)的代数式表示出来：的代数式表示出来：6.(2004年年上海市上海市)化简：化简：34 4