3.1.1 空间向量及其加减运算空间向量及其加减运算-数学向量定义：向量定义： 既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫的量叫向量向量。重要概念：重要概念：（1）零向量：）零向量： 长度为长度为0的向量，记作的向量，记作0.（2）单位向量：）单位向量：长度为长度为1个单位长度的向量个单位长度的向量.（3）平行向量：）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量的非零向量.（4）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量.注意：注意：1）零向量是一个特殊的向量；）零向量是一个特殊的向量；2）零向量与非零向量的区别。）零向量与非零向量的区别。1.平面向量的基本知识复复 习习 回回 顾顾空间向量及其加减运算-数学几何表示 : 有向线段有向线段向量的表示字母表示 坐标表示 : (x，y)若若 A(x1,y1), B(x2,y2)则则 AB = (x2 x1 , y2 y1)1.平面向量的基本知识复复 习习 回回 顾顾空间向量及其加减运算-数学2、平面向量的加法、减法运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba b复复 习习 回回 顾顾首尾连，指终点共起点，指被减空间向量及其加减运算-数学3、平面向量的加法、减法运算律加法交换律：加法结合律：复复 习习 回回 顾顾空间向量及其加减运算-数学4、平面向量的推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。复复 习习 回回 顾顾空间向量及其加减运算-数学已知已知F1=2000N,F2=2000N,F1F2F3F3=2000N,这三个力两两之间这三个力两两之间的夹角都为的夹角都为60度度,它们的合力的大小它们的合力的大小为多少为多少N?这需要进一步来认识空间中的向量这需要进一步来认识空间中的向量新新 课课 讲讲 解解空间向量及其加减运算-数学ababOABb结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。思考思考2：空间任意两个向量是否可能异面？：空间任意两个向量是否可能异面？空间向量及其加减运算-数学平面向量平面向量空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量 几何表示法几何表示法几何表示法几何表示法字母表示法字母表示法 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小 向量的大小向量的大小 长度为零的向量长度为零的向量 长度为零的向量长度为零的向量模为模为1的向量的向量模为模为1的向量的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向相同长度相等且方向相同 的向量的向量长度相等且方向相同的长度相等且方向相同的向量向量定义定义表示法表示法向量的模向量的模零向量零向量单位向量单位向量相反向量相反向量相等向量相等向量一：空间向量的基本概念一：空间向量的基本概念空间向量及其加减运算-数学加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律平面向量概念加法减法运算律减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律具有大小和方向的量空间向量及其加减运算-数学abcab+c+()OABCab+abcab+c+()OABCbc+空间向量及其加减运算-数学加法交换律：加法交换律：abba 加法结合律：加法结合律： (ab)ca(bc) 推广空间向量的加法运算律空间向量的加法运算律空间向量及其加减运算-数学 已知平行六面体已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。表达式，并标出化简结果的向量。( (如图如图) )ABCDA1B1C1D1空间向量及其加减运算-数学ABCGD在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中, , 化简化简空间向量及其加减运算-数学加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律平面向量概念加法减法运算律减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律具有大小和方向的量空间向量及其加减运算-数学3.1.2 空间向量的数乘运算空间向量及其加减运算-数学2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba ba (k0)ka (k0)k向量的数乘a空间向量及其加减运算-数学例如例如: :三、空间向量的数乘运算空间向量及其加减运算-数学数乘分配律数乘:ka,k为正数,负数,零加法减法数乘运算数乘:ka,k为正数,负数,零数乘分配律平面向量概念运算律减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律具有大小和方向的量加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律空间向量及其加减运算-数学已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1空间向量及其加减运算-数学已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1空间向量及其加减运算-数学ABCDA1B1C1D1空间向量及其加减运算-数学ABCDA1B1C1D1空间向量及其加减运算-数学一、共线向量一、共线向量: :零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线. . 1.1.共线向量共线向量: :如果表示空间向量的如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合有向线段所在直线互相平行或重合, ,则这些则这些向量叫做共线向量向量叫做共线向量( (或平行向量或平行向量),),记作记作 2.2.共线向量定理共线向量定理: :对空间任意两个对空间任意两个向量向量 的充要条件是存在的充要条件是存在实数使实数使空间向量及其加减运算-数学 推论推论: :如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直线的直线, ,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式OP=OA+t OP=OA+t 其中向量叫做直线的其中向量叫做直线的方向向量方向向量. .OABPa 若若P P为为A,BA,B中点中点, , 则则空间向量及其加减运算-数学2.共面向量定理共面向量定理：如果两个向量：如果两个向量 ， 不共线不共线， 则向量则向量 与向量与向量 ， 共面的充要共面的充要条件是条件是存在实数对存在实数对x, ,y使使C通常把平行于同一个平面的向量叫做共面向量通常把平行于同一个平面的向量叫做共面向量空间向量及其加减运算-数学3.空间四点空间四点P、A、B、C共面共面实数对实数对空间一点空间一点P在平面在平面ABC内的充要条件是内的充要条件是或对空间任意一点或对空间任意一点O空间向量及其加减运算-数学1.下列说明正确的是：下列说明正确的是：A.在平面内共线的向量在空间不一定共线在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：下列说法正确的是：A.平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线B.空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面C.空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量都共面D.空间的任意三个向量都共面空间的任意三个向量都共面空间向量及其加减运算-数学例一空间四边形OABC中，等于()C空间向量及其加减运算-数学已知三棱锥已知三棱锥O-ABC，点，点M,N分别为分别为AB,OC的中点且的中点且用用a,b,c,表示则等于？表示则等于？空间向量及其加减运算-数学已知已知A、B、C三点不共线，三点不共线，M、A、B、C四点共面，则四点共面，则对平面对平面ABC外的任一点外的任一点O，有，有 求求t空间向量及其加减运算-数学CD7a2b，则一定共线的三点是(题型2 共线问题)AA，B，DCB，C，DBA，B，CDA，C，D思维突破：证明三点共线的关键是证明以某点为起点的两个向量中，一个向量可以表示为另一个向量与某个实数的数乘形式空间向量及其加减运算-数学答案：A空间向量及其加减运算-数学 1.下列命题中正确的有：下列命题中正确的有：A.1个个B.2个个C.3个个D.4个个例例4:B空间向量及其加减运算-数学2.对于空间中的三个向量对于空间中的三个向量它们一定是：它们一定是：A.共面向量共面向量B.共线向量共线向量C.不共面向量不共面向量D.既不共线又不共面向量既不共线又不共面向量A空间向量及其加减运算-数学3.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任内，并且对空间任意一点意一点O， ,则则x的值为：的值为：D空间向量及其加减运算-数学4.已知已知A、B、C三点不共线，对平面外一点三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点，在下列条件下，点P是否与是否与A、B、C共面？共面？空间向量及其加减运算-数学练习练习2.若对任一点若对任一点O和不共线的三点和不共线的三点A、B、C，且有且有 则则x+y+z=1是四点是四点P、A、B、C共面的（共面的（ ）A.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件B.充分不必要条件充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件CP与与A,B,C共面共面空间向量及其加减运算-数学 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.定理定理推论推论运用运用判断三点共线，或两判断三点共线，或两直线平行直线平行判断四点共面，或直线判断四点共面，或直线平行于平面平行于平面小结小结共面共面空间向量及其加减运算-数学