对于连续时间信号 ，其频谱为 = 若积分不存在，则 的频谱不存在，无法分析信号，但许多有用信号的傅立叶变换的是不存在的，例如阶跃、正（余）弦等。为分析这类信号，借助 2.5.1. Z变换的定义 一衰减因子2.5 序列的Z变换1 频谱( f )复频谱( s )傅立叶变换 拉氏变换 推广 特例 定义的拉氏变换2对于离散时间信号 其频谱为= 若级数不收敛，则的频谱不存在。仿照连续时间。例如，分析阶跃序列的频谱 若 ，则级数收敛，要求 。信号复频谱分析，同样借助衰减因子3对于任意一个序列 定义 的Z 变换 z 可见，通过将序列乘以一个衰减因子，便可以分析一些有用信号的频谱特性，但此时的频谱不仅与数字频率 有关，且与r 有关，构成了一个复频域 Z域，。 z 频谱()复频谱( z )4序列傅立叶变换推广 特例 Z 变换通过序列的 Z变换，不仅讨论了序列的频率特性,同时讨论了r 的取值范围, 以保证 Z变换级数收敛。52.5.2 Z Z 变换的变换的收敛域收敛域（1）收敛域的定义使级数收敛的 Z平面上所有z 值的集合，称为 Z变换的收敛域。 若级数不收敛，Z 变换无意义； 若给定地确定x(n)。例，必须同时给定收敛域才能唯一67（2）序列与）序列与Z变换的收敛域的关系变换的收敛域的关系 891011(3)Z变换的零、极点变换的零、极点 一般地，Z变换可表示为 z 的有理分式 式中， 为 X(z) 的零点 为 X(z) 的极点显然，若级数收敛，则X(z) 存在，在X(z) 的收敛域内不存在极点。 0 或 为界。收敛域或以极点为界，或以12例如： 为 X(z) 的零点 a、b、c为 X(z)的极点 （1） 对应左边序列 （2） （3） 对应双边序列 （4） 对应右边序列 134例 求下列序列 x(n) 的Z变换及其收敛域与零、极点分布。(a) (b) 解： (a) (b) 极点： (N-1)阶，零点： 14z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系 1.连续信号的连续信号的FT与与STFTST(S 的收敛域包含虚轴)15经过采样的信号为：经过采样的信号为：与与ZT关系关系则则16从拉氏变换到从拉氏变换到z变换是单值映射，从变换是单值映射，从z到到s域是多值映射关系。域是多值映射关系。17连续信号的连续信号的ST与离散信号与离散信号ZT18Relationship between S plane and Z planeS plane Z plane虚轴虚轴 （=0） （r =1）单位圆）单位圆左半平面左半平面 （r 1）单位圆外）单位圆外19 从从S 到到Z 是单值映射，从是单值映射，从z 到到s 域是多值映域是多值映射关系。射关系。jZT/T-/T3/TSTR=eT=120 2.5.3 Z逆变换 1Z逆变换公式 若 则 x(n) = z -1X(z) 21222Z反变换的几种常用方法 介绍（1）留数法 可利用留数定理计算围线积分 X(z)z n-1在 c 内的极点上的留数 一阶极点的留数 设 X(z)z n-1在 c 内有 N 个一阶极点 m 阶极点的留数 设 X(z)z n-1在 c内有一个 m阶极点 a ,则 a上的留数为X(z)z n-1c 内23例 求 的反变换。 解： 时， X(z)z n-1在 c 内有一个极点 a 时，成为 X(z)z n-1的(-n)阶极点, a 仍为极点?24X(z)z n-1 满足一定条件(书48页”注意”点)时， X(z)z n-1 在 c 内的极点的留数 = X(z)z n-1 在 c 外的极点的留数 当 X(z)z n-1 在 z= 处有二阶或二阶以上的零点时， 例题中， 时，在 z= 处有(1n)阶零点由例题可看到高阶极点留数的求解比较困难。25（2）长除(幂级数)法 可见， X(z)为 z 和 z-1的幂级数，各项的系数即为对应的序列值。可通过长除把它展开为幂级数。应考察 X(z) 的收敛域，判断对应的是左边序列还是右边序列。一般地， X(z)为有理分式形式，在展开之前，首先若x(n)是右序列,级数应是负幂级数;若为左序列,级数应为正幂级数.2627（3） 部分分式法 再通过查表或展开为幂级数求得对应的序列（要注意收敛域）例 解：即 对应右边序列 对应左边序列 将 X(z)通过部分分式展开为简单的分式之和，283例 已知 X(z) 及其收敛域，求 x(n) （a） （b） 解： （a） 由收敛域可知对应右边序列（b） 292.5.4 Z变换的定理与性质 1Z变换特性表 序列Z变换收敛域 线性 移位 乘指数序列 X(z) 的微分 x(n) 的共轭 卷积 复卷积 30z z z 序列Z变换收敛域 初值 终值 X(z)z n-1收敛于 parseval 利用Z变换的线性与移位特性求解差分方程等式两边分别求Z变换线性特性 z 移位特性 313233343536 2.5 离散系统的系统函数和频率响应离散系统的系统函数和频率响应系统函数：系统函数：频率响应：频率响应： 单位圆上的系统函数单位圆上的系统函数37稳定性：稳定性：（收敛域包括单位圆）1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响：、零极点分布对系统因果、稳定性的影响：38离散系统稳定的充分必要条件是：离散系统稳定的充分必要条件是： The ROC of H(z) contain the unit circle(单位圆单位圆)unit circleunit circleunit circle39 Causality ( 因果性因果性 )：in the z-domain40因果、稳定系统：因果、稳定系统：H（z）的收敛域为：）的收敛域为：（极点均在单位圆内）（极点均在单位圆内）412、利用零极点分布确定系统的频率特性：、利用零极点分布确定系统的频率特性：42位于原点的零极点不影响位于原点的零极点不影响 只影响只影响43 单位圆附近的零点单位圆附近的零点使得使得分子变小，形成波谷，越靠近单位圆，波谷分子变小，形成波谷，越靠近单位圆，波谷越低越低极点使极点使 形成波峰，极点越靠近形成波峰，极点越靠近单位圆，波峰越尖锐。单位圆，波峰越尖锐。44例例1：The shape of the spectrum X( ) is affected by the pole/zero pattern of the z-transform X(z).zero dipzero dippole peakpole peak|X( )|X( )|0 011454647484950515253