二次函数的定义：二次函数的定义： 形如形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，是常数，a0) 的函数叫做二次函数的函数叫做二次函数想一想想一想:函数的自变量函数的自变量x是否可以取任何值是否可以取任何值呢呢?注意注意:当二次函数表示某个实际问题时当二次函数表示某个实际问题时,还必还必须根据题意确定自变量的取值范围须根据题意确定自变量的取值范围.二次函数的一般形式 函数函数yax2bxc其中其中a、b、c是常数是常数切记：切记：a0右边一个右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）的二次多项式（不能是分式或根式）二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式：当当b0时，时， yax2c当当c0时，时， yax2bx当当b0，c0时，时， yax2知识运用知识运用 下列函数中，哪些是二次函数？下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x -2 +x (6)y=x2-x(1+x)驶向胜利的彼岸当m取何值时，函数是取何值时，函数是y= (m+2)x 分别分别 是一次函数？是一次函数？ 反比例函数？反比例函数？ 知识运用知识运用m2-2二次函数？二次函数？（一）形如y = ax 2(a0) 的二次函数 二次函数二次函数 开开 口口 方方 向向 对对 称称 轴轴 顶顶 点点 坐坐 标标 y = ax 2 a 0a 0 向上向上向下向下直线X=0 (0,0)（二）（二）形如y = ax 2+k(a0) 的二次函数二次函数二次函数开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y = ax 2+k a 0 向上向上a 0向下向下直线X=0（0，K）二次函数二次函数开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y = a（x - h) 2 a 0 a 0 向上向上向下向下直线直线X=h（h，0）（三）、形如（三）、形如y = a (x - h) 2 ( a0 ) 的二次函数的二次函数巩固练习巩固练习1：（1）抛物线）抛物线y = x 2的开口向的开口向 ,对称轴是对称轴是 ,顶点坐标是顶点坐标是 ,图象过第图象过第 象限象限 ；（2)已知已知y = - nx 2 (n0) , 则图象则图象 ( )（填（填“可能可能”或或“不可能不可能”）过点）过点A（-2，3）。）。上上Y轴轴(0,0)一、二一、二不可能不可能（3）抛物线）抛物线y = x 2+3的开口向的开口向 ,对称轴对称轴是是 , 顶点坐标是顶点坐标是 ,是由抛物线是由抛物线y = x 2向向 平移平移 个单位得到的；个单位得到的；上直线X=0（0，3）上3（2）已知（如图）抛物线）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，的图象，则则a 0，k 0；若图象过；若图象过A (0,-2) 和和B (2,0) ，则则a = ,k = ；函数关系式是；函数关系式是y = 。0.5-20.5x 2-2XYABO(四四) 形如形如y = a (x+h) 2 +k (a 0) 的二次函数的二次函数二次函数开口方向对称轴顶点坐标y = a（x+h) 2+k 向上 向下a 0 a 0直线X=-h（-h，k）练习巩固练习巩固2:（1）抛物线 y = 2 (x ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是 （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。 上上X=（，（，1） 2、已知二次函数、已知二次函数y=- x2+bx-5的图象的的图象的顶点在顶点在y轴上，则轴上，则b=_。120-1-2-3-401234123456-1-2观察观察y=xy=x2 2与与y=xy=x2 2-6x+7-6x+7的函数图象，说说的函数图象，说说y=xy=x2 2-6x+7-6x+7的的图象是怎样由图象是怎样由y=xy=x2 2的图象平移得到的？的图象平移得到的？y=xy=x2 2-6x+7-6x+7=x=x2 2-6x+9-2-6x+9-2=(x-3)=(x-3)2 2-2-2平移规律：平移规律：h决定左右决定左右左正右负左正右负K决定上下决定上下上正下负上正下负基础练习基础练习 1.由由y=2x2的图象向左平移两个单位的图象向左平移两个单位,再向下平再向下平 移三个单位移三个单位,得到的图象的函数解析式为得到的图象的函数解析式为 _2.由函数由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移的图象向右平移4个单位个单位,再向上平移再向上平移3个单位个单位,得到的图象的函数解析式得到的图象的函数解析式为为_y=2(x+2)2-3=2x2+8x+5y= - 3(x-1-4)2+2+3=-3x=-3x2 2+30x-70+30x-703.抛物线抛物线y=ax2向左平移一个单位向左平移一个单位,再向下再向下平移平移8个单位且个单位且y=ax2过点过点(1,2).则平移后的则平移后的解析式为解析式为_;y=2(x+1)2-84.将抛物线将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到如何移动才能得到y=x2.逆向思考逆向思考,由由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知知:先向左平移先向左平移3个个单位单位,再向上平移再向上平移5个单位个单位.二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0开口向下开口向下a0交点在交点在x轴下方轴下方c0与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac0； 当当0x1x22时，时，y1 y2 你认为其中正确的个数有你认为其中正确的个数有（ ） A2 B3 C4 D5 C练一练：已知练一练：已知y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示的图象如图所示, , a_0, b_0, c_0, abc_0a_0, b_0, c_0, abc_0 b_2a, 2a-b_0, 2a+b_0 b_2a, 2a-b_0, 2a+b_0 b b2 2-4ac_0-4ac_0 a+b+c_0, a-b+c_0 a+b+c_0, a-b+c_0 4a-2b+c_0 4a-2b+c_00-11-2二次函数与一元二次方程w二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交点有三种情况: :有两个交点有两个交点, ,有一个交点有一个交点, ,没有交点没有交点. .当二次函数当二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴有交轴有交点时点时, ,交点的横坐标就是当交点的横坐标就是当y=0y=0时自变量时自变量x x的值的值, ,即一元二次方程即一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根. .二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判别式根的判别式（b b2 2-4ac-4ac）有两个交点有两个交点有两个相异的实数根有两个相异的实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b b2 2-4ac = 0-4ac = 0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0选择选择(1)抛物线抛物线y=x2-4x+3的对称轴是的对称轴是_. A 直线直线x=1 B直线直线x= -1 C 直线直线x=2 D直线直线x= -2(2)抛物线抛物线y=3x2-1的的_ A 开口向上开口向上,有最高点有最高点 B 开口向上开口向上,有最低点有最低点 C 开口向下开口向下,有最高点有最高点 D 开口向下开口向下,有最低点有最低点(3)若若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点与轴交于点A(2,0), B(4,0), 则对称轴是则对称轴是_ A 直线直线x=2 B直线直线x=4 C 直线直线x=3 D直线直线x= -3(4)若若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是则对称轴是_ A 直线直线x=3 B 直线直线x=4 C 直线直线x= -3 D直线直线x=2c cB BCA A2、已知抛物线顶点坐标（、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设），通常设抛物线解析式为抛物线解析式为_3、已知抛物线与、已知抛物线与x 轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为通常设解析式为_1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y=ax2+bx+c(a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2) (a0)求抛物线解析式的三种方法求抛物线解析式的三种方法练习根据下列条件，求二次函数的解析式。练习根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；三点；(2)、图象的顶点、图象的顶点(2，3)， 且经过点且经过点(3，1) ；(3)、图象经过、图象经过(-2，0)， (3，0) ，且最高点，且最高点 的纵坐标是的纵坐标是3 。 例例1、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的最的最大值是大值是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并上，并且图象经过点（且图象经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（ 1 ， 2）设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：即： y=-2x2+4x综合创新综合创新: :1.1.已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的的 形状相同形状相同, ,顶点在直线顶点在直线x=1x=1上上, ,且顶点到且顶点到x x轴的距离轴的距离 为为5,5,请写出满足此条件的抛物线的解析式请写出满足此条件的抛物线的解析式. .解解: :抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形状的形状 相同相同 a=1a=1或或-1-1 又又顶点在直线顶点在直线x=1x=1上上, ,且顶点到且顶点到x x轴的距离为轴的距离为5,5, 顶点为顶点为(1,5)(1,5)或或(1,-5)(1,-5) 所以其解析式为所以其解析式为: : (1) y=(x-1) (1) y=(x-1)2 2+5 (2) y=(x-1)+5 (2) y=(x-1)2 2-5-5 (3) y=-(x-1) (3) y=-(x-1)2 2+5 (4) y=-(x-1)+5 (4) y=-(x-1)2 2-5-5 2.2.若若a+b+ca+b+c=0,a=0,a 0,0,把抛物线把抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c向下向下平移平移4 4个单位个单位, ,再向左平移再向左平移5 5个单位所到的新个单位所到的新抛物线的顶点是抛物线的顶点是(-2,0),(-2,0),求原抛物线的解析式求原抛物线的解析式. .分析分析: :(1)(1)由由a+b+ca+b+c=0=0可知可知, ,原抛物线的图象经过原抛物线的图象经过(1,0)(1,0)(2) (2) 新抛物线向右平移新抛物线向右平移5 5个单位个单位, , 再向上平移再向上平移4 4个单位即得原抛物线个单位即得原抛物线答案答案:y=-x:y=-x2 2+6x-5+6x-5练习练习1、已知抛物线、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是的对称轴是x=1 ， 最高点在直线最高点在直线y=2x+4上。上。 (1) 求此抛物线的顶点坐标求此抛物线的顶点坐标.（2）求抛物线解析式）求抛物线解析式.（3）求抛物线与直线的交点坐标）求抛物线与直线的交点坐标.解：解：二次函数的对称轴是二次函数的对称轴是x=1 图象的顶点横坐标为图象的顶点横坐标为1又又图象的最高点在直线图象的最高点在直线y=2x+4上上当当x=1时，时，y=6 顶点坐标为（顶点坐标为（ 1 ， 6） 例例2 2、已知抛物线、已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴正、负半轴分轴正、负半轴分别交于别交于A A、B B两点，与两点，与y y轴负半轴交于点轴负半轴交于点C C。若。若OA=4OA=4，OB=1OB=1，ACB=90ACB=90，求抛物线解析式。，求抛物线解析式。解：解： 点点A在正半轴，点在正半轴，点B在负半轴在负半轴OA=4，点点A（4，0）OB=1， 点点B（-1，0） ACB=90 CAO=BCO CAO+OCA=90,OCA+BCO=90BOC=COA,COOC=2，点，点C（0，-2）由题意可设由题意可设ya（x）（）（x）得：）得：a（）（）（）（）a. y.（x）（）（x）ABxyOC练习、已知二次函数练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。的图象如图。(1)、当、当x为何值时，为何值时，y随随x的增大而增大的增大而增大;(2)、当、当x为何值时，为何值时，y0。yOx(3)、求它的解析式和顶点坐标；、求它的解析式和顶点坐标；2.50 00x x xy y y h h h A BA BA BD DD 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的表达式为示的坐标系，其函数的表达式为示的坐标系，其函数的表达式为示的坐标系，其函数的表达式为y= - xy= - xy= - xy= - x2 2 2 2 ， 当水位线在当水位线在当水位线在当水位线在ABABABAB位位位位置时，水面宽置时，水面宽置时，水面宽置时，水面宽 AB = 30AB = 30AB = 30AB = 30米米米米，这时水面离桥顶的高度这时水面离桥顶的高度这时水面离桥顶的高度这时水面离桥顶的高度h h h h是（是（是（是（ ） A A A A、5 5 5 5米米米米 B B B B、6 6 6 6米；米；米；米； C C C C、8 8 8 8米；米；米；米； D D D D、9 9 9 9米米米米1 11252525解：当解：当x=15时时，Y=-1/25 152=-9问题1：问题问题问题问题4 4：某商场将进价某商场将进价某商场将进价某商场将进价4040元一个的某种商品按元一个的某种商品按元一个的某种商品按元一个的某种商品按5050元一个元一个元一个元一个售出时，能卖出售出时，能卖出售出时，能卖出售出时，能卖出500500个，已知这种商品每个涨价一元，个，已知这种商品每个涨价一元，个，已知这种商品每个涨价一元，个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少销量减少销量减少销量减少1010个，为赚得最大利润，售价定为多少？最个，为赚得最大利润，售价定为多少？最个，为赚得最大利润，售价定为多少？最个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？大利润是多少？大利润是多少？大利润是多少？分析：利润分析：利润分析：利润分析：利润= =（每件商品所获利润）（每件商品所获利润）（每件商品所获利润）（每件商品所获利润） （销售件数）（销售件数）（销售件数）（销售件数）设每个涨价设每个涨价设每个涨价设每个涨价x x元，元，元，元， 那么那么那么那么（3）销售量可以表示为）销售量可以表示为（1）销售价可以表示为）销售价可以表示为 （50+x）元）元（x 0x 0，且为整数），且为整数），且为整数），且为整数）(500-10x)(500-10x) 个个（2）一个商品所获利）一个商品所获利润润润润可以表示为可以表示为（50+x-40）元）元（4）共获利）共获利润润润润可以表示为可以表示为(50+x-40)(500-10x)(50+x-40)(500-10x)元元元元答答答答：定价为：定价为7070元元/ /个，利润最高为个，利润最高为90009000元元. .解解： y=(50+x-40)(500-10x) y=(50+x-40)(500-10x)=-10 x=-10 x2 2 +400x+5000 +400x+5000(0 x50 ,(0 x50 ,且为整数且为整数且为整数且为整数 ) )=- 10（x-20）2 +9000问题问题问题问题4 4：某商场将进价某商场将进价某商场将进价某商场将进价4040元一个的某种商品按元一个的某种商品按元一个的某种商品按元一个的某种商品按5050元一个元一个元一个元一个售出时，能卖出售出时，能卖出售出时，能卖出售出时，能卖出500500个，已知这种商品每个涨价一元，个，已知这种商品每个涨价一元，个，已知这种商品每个涨价一元，个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少销量减少销量减少销量减少1010个，为赚得最大利润，售价定为多少？最个，为赚得最大利润，售价定为多少？最个，为赚得最大利润，售价定为多少？最个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？大利润是多少？大利润是多少？大利润是多少？问题问题5:如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方平方米。米。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。 ABCD解解： (1) AB为为x米、篱笆长为米、篱笆长为24米米 花圃另一边为（花圃另一边为（244x）米）米 (3) 墙的可用长度为墙的可用长度为8米米 (2)当x 时，S最大值 36（平方米） Sx（244x） 4x224 x （0x6） 0244x 8 4x6当当x4m时，时，S最大值最大值32 平方米平方米小试牛刀小试牛刀 如图，在如图，在ABC中，中，AB=8cm，BC=6cm，B B9090，点点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边向点边向点B B以以2 2厘米秒的速度移动，厘米秒的速度移动，点点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC边向点边向点C C以以1 1厘米秒的速度厘米秒的速度移动，如果移动，如果P,QP,Q分别从分别从A,BA,B同时出发，同时出发，几秒后几秒后PBQPBQ的面积最大？的面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？ABCPQ解：根据题意，设经过解：根据题意，设经过x秒秒后后PBQPBQ的面积的面积y y最大最大, ,则：则：AP=2x cm PB=（8-2x ） cm QB=x cm则则 y=1/2 x（8-2x）=-x2 +4x=-（x2 -4x +4 -4）= -（x - 2）2 + 4所以，当所以，当P、Q同时运动同时运动2秒后秒后PBQPBQ的面积的面积y y最大最大最大面积是最大面积是 4cm2（0x4）ABCPQ如图，在如图，在ABC中，中，AB=8cm，BC=6cm，B B9090，点，点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边向点边向点B B以以2 2厘米秒的速度移动，点厘米秒的速度移动，点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC边向点边向点C C以以1 1厘米秒的速度移动，如果厘米秒的速度移动，如果P,QP,Q分别从分别从A,BA,B同时出发，几秒后同时出发，几秒后PBQPBQ的面积最大？最大面积是多少？的面积最大？最大面积是多少？在矩形荒地在矩形荒地ABCD中，中，AB=10，BC=6,今在四今在四边上分别选取边上分别选取E、F、G、H四点，且四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？可使花园面积最大？DCABGHFE106解：设花园的面积为解：设花园的面积为y则则 y=60-x2 -（10-x）（）（6-x）=-2x2 + 16x（0x6）=-2（x-4）2 + 32所以当所以当x=4时时 花园的最大面积为花园的最大面积为32实际问题抽象转化数学问题数学问题运用数学知识问题的解问题的解谈谈你的学习体会谈谈你的学习体会“二次函数应用” 的思路 1.理解问题理解问题;2.分析问题中的变量和常量分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系用数学的方式表示出它们之间的关系;4.解题求解解题求解;5.检验结果的合理性检验结果的合理性,拓展等拓展等.