开放性开放性 与探求性与探求性问题求解问题求解2021年湖北黄冈中学年湖北黄冈中学第一课时：第一课时：范围与轨迹的探求：范围与轨迹的探求： 课前导引课前导引 第一课时：第一课时：范围与轨迹的探求：范围与轨迹的探求： 课前导引课前导引 第一课时：第一课时：范围与轨迹的探求：范围与轨迹的探求： 课前导引课前导引 B第一课时：第一课时：范围与轨迹的探求：范围与轨迹的探求： 解析解析 解析解析 答案答案 D D 考点搜索考点搜索 考点搜索考点搜索 1. 探求点的位置及参量的取值范围往探求点的位置及参量的取值范围往往是综合知条件和所学知识点，根据转化往是综合知条件和所学知识点，根据转化或数形结合的思想进展探求，直到结论显或数形结合的思想进展探求，直到结论显然为止然为止. 2. 在处理数列和恒成立的问题时，要在处理数列和恒成立的问题时，要根据特殊和普通的辩证思想，从特殊的个根据特殊和普通的辩证思想，从特殊的个体总结出普通的规律，对普遍的规律任何体总结出普通的规律，对普遍的规律任何个体都会满足个体都会满足. 链接高考链接高考 链接高考链接高考 例例11 链接高考链接高考 法一法一 例例11 法二法二 点评点评 从特殊的个体调查普遍的规律是高从特殊的个体调查普遍的规律是高中阶段必需掌握的思想方式中阶段必需掌握的思想方式, 此题先令此题先令x=0和和x=1得到得到sin 0, cos 0, 大大的减少了的调大大的减少了的调查范围查范围, 为后面的解答提供的很大的方便为后面的解答提供的很大的方便. 而而解法二经过换元解法二经过换元, 使得式子更为规范使得式子更为规范. 例例22 解析解析 P1P2P3yxl1l2yxl1l2dyxl1l2dyxl1l2yxl1l2dyxl1l2yxl1l2dyxl1l2 例例3 在棱在棱长为长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分分别别是棱是棱BC、CD上上的点，且的点，且BECF (1) 当当E、F在何位置在何位置时时，B1FD1E； (2) 当当E、F在何位置在何位置时时三棱三棱锥锥C1CEF的体的体积积获获得最大得最大值值，并求此，并求此时时二二面角面角C1EFC的大小的大小 解析解析 点评点评 立体几何中的点的位置的探求立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合知经常借助于空间向量，引入参数，综合知和结论列出等式，解出参数和结论列出等式，解出参数. . 这是立体几这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法何中的点的位置的探求的常用方法. . 例例44 解析解析 点评点评 此题是数列探求性问题，往此题是数列探求性问题，往往经过特殊的个体总结出普通的规律：往经过特殊的个体总结出普通的规律：(1) 要否认一个结论，只需经过前面几要否认一个结论，只需经过前面几项即可；项即可；(2) 的证明必需对每一项都要的证明必需对每一项都要满足，所以要对第一项进展检验满足，所以要对第一项进展检验. 方法论坛方法论坛 方法论坛方法论坛 处理任何一个数学问题都是综合题处理任何一个数学问题都是综合题中的条件和结论运用适当的思想方式进中的条件和结论运用适当的思想方式进展探求，相对其他的问题更注重思想性展探求，相对其他的问题更注重思想性,主要有以下的思想方式：主要有以下的思想方式： 1. 将题中的知和结论都看作条件将题中的知和结论都看作条件,有机地结合，推导出要证的结论或求出有机地结合，推导出要证的结论或求出参量的范围参量的范围. 2. 利用特殊和普通，个体和总体的利用特殊和普通，个体和总体的辩证关系，经过个体来发现普遍的规律辩证关系，经过个体来发现普遍的规律,再运用数学归纳法加以证明，或根据普再运用数学归纳法加以证明，或根据普遍的规律代入个体中，从而加强标题的遍的规律代入个体中，从而加强标题的条件，这样便于尽快处理问题条件，这样便于尽快处理问题. 3. 对于存在性问题的求解，应先假对于存在性问题的求解，应先假设存在，再综合题中所给的条件，要么设存在，再综合题中所给的条件，要么推出存在的范围，要么得出矛盾推出存在的范围，要么得出矛盾. 假设得假设得出矛盾那么阐明不存在出矛盾那么阐明不存在. 4. 条件或结论开放性问题，应发散条件或结论开放性问题，应发散本人的思想，结合所学的知识点进展分本人的思想，结合所学的知识点进展分析，从而可寻觅出所要补的条件和能得析，从而可寻觅出所要补的条件和能得出的结论出的结论.第二课时：第二课时：存在性问题的探求：存在性问题的探求： 例例11第二课时：第二课时：存在性问题的探求：存在性问题的探求： 解析解析 第第(2)的探求表达了存在性问题的探求的探求表达了存在性问题的探求的根本方法，假设存在那么可以由条件推出，的根本方法，假设存在那么可以由条件推出，假设不存在那么会推出矛盾假设不存在那么会推出矛盾; 第第(3)是函数中的是函数中的不等式问题，往往会用到函数的单调性不等式问题，往往会用到函数的单调性. 点评点评 考点搜索考点搜索 1. 开放性问题的背景是同一个条件可开放性问题的背景是同一个条件可推出很多个结论，或同一个结论可与有多推出很多个结论，或同一个结论可与有多个条件推出，所以处理这类问题时要发散个条件推出，所以处理这类问题时要发散本人的思想本人的思想; 2. 存在性问题是结论开放性的一种，存在性问题是结论开放性的一种，处理存在性问题往往假设存在，再综合题处理存在性问题往往假设存在，再综合题中所给的条件，要么推出存在的范围，要中所给的条件，要么推出存在的范围，要么得出矛盾么得出矛盾. 假设得出矛盾那么阐明不存假设得出矛盾那么阐明不存在在. 考点搜索考点搜索 D1ABCDA1B1C1NPM 例例22D1ABCDA1B1C1NPMyxQ 解析解析 D1ABCDA1B1C1NPMyxQD1ABCDA1B1C1NPMyxQ 此此题题是立体几何的位置确定的探是立体几何的位置确定的探求性求性问题问题： (1) 普通是知普通是知P点的位置，求二面角，点的位置，求二面角，但在此知二面角来确定但在此知二面角来确定P的位置，可运用的位置，可运用方程求解待定参数方程求解待定参数. (2) 运用了：运用了：“要否要否认认一个一个结论结论只需只需寻觅寻觅一个反例即可的思想方式一个反例即可的思想方式. 点评点评 知知A、B、C是长轴长为是长轴长为4的椭圆上的的椭圆上的三点三点, 点点A是长轴的一个端点是长轴的一个端点, BC过椭圆中心过椭圆中心O，且，且 (1) 建立适当的坐标系，求椭圆方程建立适当的坐标系，求椭圆方程.(2) 假假设椭圆设椭圆上有上有P、Q两点两点,使使PCQ的平分的平分线线垂直垂直AO, 证证明明: 存在存在实实数数使得使得 例例33 以以O为坐标原点为坐标原点, OA为为x轴建立直角轴建立直角坐标系坐标系, 那么那么A(2, 0), 设椭圆方程为设椭圆方程为 由由对对称性可知称性可知|OB|=|OC|, 又又|BC|=2|AC|, 那那么么|OC|=|AC|, 所以所以AOC为为等腰直角三角形等腰直角三角形,那么那么点点C的坐的坐标为标为(1, 1), 点点B的坐的坐标为标为(-1, -1), 将点将点C的的坐坐标标代人代人椭圆椭圆方程得方程得 故所求的椭圆方程为故所求的椭圆方程为 解析解析 法一法一 (2) 由于由于PCQ的角平分的角平分线线垂直于垂直于OA, 无妨无妨设设PC的斜率的斜率为为k, 那么那么QC的斜率的斜率为为k,因此因此PC、QC的直的直线线方程分方程分别为别为: () 由于点由于点C(1, 1)在在椭圆椭圆上上, 所以所以x=1是方程是方程()的解的解.所以直线所以直线PQ的斜率为的斜率为 由于由于A(2, 0), B(-1, -1), 所以所以 法二法二 由上述四式可得：由上述四式可得： 点评点评 (1) 的探求在知道是椭圆的情的探求在知道是椭圆的情况下运用了待定系数法况下运用了待定系数法, 留意先要建立适留意先要建立适当的坐标系当的坐标系. (2) 属于存在性问题的探求属于存在性问题的探求, 先转化先转化结论结论,只需求证明直线只需求证明直线PQ与与AB平行平行, 证法证法一一: 以以PC的斜率为参数的斜率为参数, 运用化归的求出运用化归的求出PQ的斜率的斜率, 而证法二引入多个参量而证法二引入多个参量, 利用利用整体代值计算出整体代值计算出PQ的斜率，这种方法需的斜率，这种方法需求较强的察看和分析才干求较强的察看和分析才干. 能否存在能否存在实实数数a、b使得函数使得函数f(x)=ax+b对对区区间间0, 2内的恣意内的恣意实实数数x, 均有均有 例例44 能否存在能否存在实实数数a、b使得函数使得函数f(x)=ax+b对对区区间间0, 2内的恣意内的恣意实实数数x, 均有均有 例例44 解析解析