第四章第四章连续系统模型的离散化处理方法连续系统模型的离散化处理方法第三章的数值积分方法较成熟，计算精度高第三章的数值积分方法较成熟，计算精度高,但算法复杂，计算量大。在一些要求速度较高的实但算法复杂，计算量大。在一些要求速度较高的实时仿真或计算机控制系统中实现数字控制器算法，时仿真或计算机控制系统中实现数字控制器算法，就跟不上速度的要求，就需要一些快速计算方法。就跟不上速度的要求，就需要一些快速计算方法。本章介绍对连续系统模型进行离散化处理，本章介绍对连续系统模型进行离散化处理，得到一个得到一个“等效等效”的结构比较简单的离散化模型，的结构比较简单的离散化模型，便于计算机求解，运行速度较快，又称为便于计算机求解，运行速度较快，又称为“快速计快速计算方法算方法”。连续系统模型的离散化方法主要有连续系统模型的离散化方法主要有替换法替换法和和离离散相似法散相似法。.1 .1 替换法替换法主要内容主要内容简单替换法简单替换法双线性替换法双线性替换法4.2 4.2 离散相似法离散相似法Z Z域离散相似法域离散相似法时域离散相似法时域离散相似法4.4.根匹配法根匹配法.1 .1 替换法替换法 替换法的基本思想：替换法的基本思想：替换法的基本思想：替换法的基本思想： 对给定的连续系统模型对给定的连续系统模型对给定的连续系统模型对给定的连续系统模型G(S) G(S) ，设法找到域到域的，设法找到域到域的，设法找到域到域的，设法找到域到域的某种映射关系，将域的变量映射到平面上，由此得到某种映射关系，将域的变量映射到平面上，由此得到某种映射关系，将域的变量映射到平面上，由此得到某种映射关系，将域的变量映射到平面上，由此得到与连续系统与连续系统与连续系统与连续系统G(S)G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数相对应的离散系统的脉冲传递函数相对应的离散系统的脉冲传递函数相对应的离散系统的脉冲传递函数(Z)(Z)。然后，再由然后，再由然后，再由然后，再由(Z)(Z)通过反变换得到系统的时域离散模型通过反变换得到系统的时域离散模型通过反变换得到系统的时域离散模型通过反变换得到系统的时域离散模型差分方程，从而快速求解。差分方程，从而快速求解。差分方程，从而快速求解。差分方程，从而快速求解。传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连连连连续系统为域的传递函数续系统为域的传递函数续系统为域的传递函数续系统为域的传递函数G(S)G(S)，离散系统为域的脉冲传离散系统为域的脉冲传离散系统为域的脉冲传离散系统为域的脉冲传递函数递函数递函数递函数(Z)(Z)。G(S) (Z) 差分方程差分方程根据变换理论，域到域的最基本的映根据变换理论，域到域的最基本的映射关系是：射关系是：或或其中是采样周期其中是采样周期若直接将这个映射关系代入若直接将这个映射关系代入(S)得到得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。似的离散模型。4.1.1 4.1.1 简单替换法简单替换法用此式代入用此式代入(S)就得到就得到G(Z)，这就是简，这就是简单替换法，又称单替换法，又称Euler法。法。由幂级数展开式：由幂级数展开式：由幂级数展开式：由幂级数展开式：取近似式：取近似式：或：或：进行进行进行进行Z Z反变换得差分方程反变换得差分方程反变换得差分方程反变换得差分方程例：例：例：例：二阶连续系统二阶连续系统二阶连续系统二阶连续系统分别用简单替换法和欧拉法建立差分方程。分别用简单替换法和欧拉法建立差分方程。分别用简单替换法和欧拉法建立差分方程。分别用简单替换法和欧拉法建立差分方程。解：解：解：解：代入代入代入代入G(s)G(s)1 1、简单替换法、简单替换法、简单替换法、简单替换法为何简单替换法又称为何简单替换法又称Euler法？法？是多步法还是单步法是多步法还是单步法利用前向欧拉法的矩阵形式利用前向欧拉法的矩阵形式利用前向欧拉法的矩阵形式利用前向欧拉法的矩阵形式先将传递函数化成一阶微分方程组先将传递函数化成一阶微分方程组先将传递函数化成一阶微分方程组先将传递函数化成一阶微分方程组2 2、欧拉法、欧拉法、欧拉法、欧拉法为了与简单替换法比较，再化为仅有为了与简单替换法比较，再化为仅有为了与简单替换法比较，再化为仅有为了与简单替换法比较，再化为仅有 y y 的差分方程形式，消去的差分方程形式，消去的差分方程形式，消去的差分方程形式，消去4.1.2 4.1.2 双线性替换法双线性替换法用此式代入用此式代入用此式代入用此式代入(S)(S)就得到就得到就得到就得到G(Z)G(Z)，这就是，这就是，这就是，这就是双线性替双线性替双线性替双线性替换法换法换法换法，又称，又称，又称，又称TustinTustin变换变换变换变换。相当于数值积分法中的。相当于数值积分法中的。相当于数值积分法中的。相当于数值积分法中的梯形梯形梯形梯形法法法法，有较好的性能。，有较好的性能。，有较好的性能。，有较好的性能。取近似式：取近似式：取近似式：取近似式：或：或：或：或： 由于高阶线性系统总可以分解成几个积分环节的某些线性组由于高阶线性系统总可以分解成几个积分环节的某些线性组由于高阶线性系统总可以分解成几个积分环节的某些线性组由于高阶线性系统总可以分解成几个积分环节的某些线性组合，以下用一个积分环节来说明双线性替换法与梯形法是等效的。合，以下用一个积分环节来说明双线性替换法与梯形法是等效的。合，以下用一个积分环节来说明双线性替换法与梯形法是等效的。合，以下用一个积分环节来说明双线性替换法与梯形法是等效的。可见，可见，可见，可见，双线性替换法双线性替换法双线性替换法双线性替换法与数值积分法中的与数值积分法中的与数值积分法中的与数值积分法中的梯形法梯形法梯形法梯形法等效。等效。等效。等效。用梯形公式：用梯形公式：用梯形公式：用梯形公式：用双线性替换用双线性替换用双线性替换用双线性替换：进行进行进行进行Z Z反变换反变换反变换反变换：例：例：例：例：二阶连续系统二阶连续系统二阶连续系统二阶连续系统用双线性替换法建立差分方程。用双线性替换法建立差分方程。用双线性替换法建立差分方程。用双线性替换法建立差分方程。解：解：解：解：代入代入代入代入G(s)G(s)双线性替换双线性替换双线性替换双线性替换：进行进行进行进行Z Z反变换得差分方程反变换得差分方程反变换得差分方程反变换得差分方程4.2 4.2 离散相似法离散相似法离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。的一种方法。的一种方法。的一种方法。设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似定的连续系统中的信息流相似定的连续系统中的信息流相似定的连续系统中的信息流相似。或者是根据给定的连续系统。或者是根据给定的连续系统。或者是根据给定的连续系统。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型，数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型，数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型，数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之与连续系统等效。使之与连续系统等效。使之与连续系统等效。使之与连续系统等效。4.2.1 4.2.1 4.2.1 4.2.1 离散相似法的概念离散相似法的概念离散相似法的概念离散相似法的概念离散化模型的离散化模型的离散化模型的离散化模型的精度精度精度精度，取决于，取决于，取决于，取决于采样周期的大小采样周期的大小采样周期的大小采样周期的大小以及以及以及以及保持器的精度保持器的精度保持器的精度保持器的精度离散化过程中，输入输出加以为采样周期的采样开关。离散化过程中，输入输出加以为采样周期的采样开关。离散化过程中，输入输出加以为采样周期的采样开关。离散化过程中，输入输出加以为采样周期的采样开关。仅有采样开关，仅有采样开关，仅有采样开关，仅有采样开关，y* y* 不能完全体现不能完全体现不能完全体现不能完全体现 y(t) y(t) 的变化规律，还要在输入的变化规律，还要在输入的变化规律，还要在输入的变化规律，还要在输入采样开关后加保持器以使采样开关后加保持器以使采样开关后加保持器以使采样开关后加保持器以使 u(t) u(t)不失真。不失真。不失真。不失真。常用保持器有：零阶保持器、一阶保持器、三角保持器。常用保持器有：零阶保持器、一阶保持器、三角保持器。常用保持器有：零阶保持器、一阶保持器、三角保持器。常用保持器有：零阶保持器、一阶保持器、三角保持器。常用保持器的传递函数：常用保持器的传递函数：常用保持器的传递函数：常用保持器的传递函数：零阶保持器零阶保持器零阶保持器零阶保持器一阶保持器一阶保持器一阶保持器一阶保持器三角保持器三角保持器三角保持器三角保持器是理想保持器，物理上不可实现。是理想保持器，物理上不可实现。是理想保持器，物理上不可实现。是理想保持器，物理上不可实现。实际中用滞后一拍的三角保持器实际中用滞后一拍的三角保持器实际中用滞后一拍的三角保持器实际中用滞后一拍的三角保持器由于连续系统常由于连续系统常由于连续系统常由于连续系统常用两种形式描述：用两种形式描述：用两种形式描述：用两种形式描述：频域：传递函数频域：传递函数频域：传递函数频域：传递函数时域：状态空间表达式时域：状态空间表达式时域：状态空间表达式时域：状态空间表达式相应离散相似法相应离散相似法相应离散相似法相应离散相似法也有两种形式：也有两种形式：也有两种形式：也有两种形式：传递函数传递函数传递函数传递函数离散相似处理得离散相似处理得离散相似处理得离散相似处理得离离离离散传递函数散传递函数散传递函数散传递函数（Z Z域离散化法）域离散化法）域离散化法）域离散化法）状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式离散相似离散相似离散相似离散相似处理得处理得处理得处理得离散状态空间表达式离散状态空间表达式离散状态空间表达式离散状态空间表达式（时域离散化法）（时域离散化法）（时域离散化法）（时域离散化法）4.2.2 Z4.2.2 Z4.2.2 Z4.2.2 Z域离散相似法域离散相似法域离散相似法域离散相似法连续系统模型连续系统模型连续系统模型连续系统模型一、基本方法一、基本方法一、基本方法一、基本方法离散化模型离散化模型离散化模型离散化模型u(t)u(t)经采样后是离散信号，加保持器经采样后是离散信号，加保持器经采样后是离散信号，加保持器经采样后是离散信号，加保持器Gh(S)Gh(S)后，将后，将后，将后，将离散信号离散信号离散信号离散信号 转化成连续信号，并作用于连续系统转化成连续信号，并作用于连续系统转化成连续信号，并作用于连续系统转化成连续信号，并作用于连续系统G(S)G(S)上输出。上输出。上输出。上输出。离散模型离散模型离散模型离散模型例例例例：连续系统为一惯性环节：连续系统为一惯性环节：连续系统为一惯性环节：连续系统为一惯性环节以零阶保持器采用离散相似法求出差分方程以零阶保持器采用离散相似法求出差分方程以零阶保持器采用离散相似法求出差分方程以零阶保持器采用离散相似法求出差分方程解解解解：零阶保持器零阶保持器零阶保持器零阶保持器 Z Z变换表变换表变换表变换表 F(s) F(z) F(s) F(z)差分方程：差分方程：差分方程：差分方程：采用域离散相似法对连续系统进行离散化处理的采用域离散相似法对连续系统进行离散化处理的采用域离散相似法对连续系统进行离散化处理的采用域离散相似法对连续系统进行离散化处理的步骤：步骤：步骤：步骤：、画出连续系统的结构图；、画出连续系统的结构图；、画出连续系统的结构图；、画出连续系统的结构图；、适当的位置加入采样开关，选择合适的保持器、适当的位置加入采样开关，选择合适的保持器、适当的位置加入采样开关，选择合适的保持器、适当的位置加入采样开关，选择合适的保持器; ;、将保持器传递函数与连续系统传递函数串联，通过、将保持器传递函数与连续系统传递函数串联，通过、将保持器传递函数与连续系统传递函数串联，通过、将保持器传递函数与连续系统传递函数串联，通过变换求得系统的脉冲传递函数；变换求得系统的脉冲传递函数；变换求得系统的脉冲传递函数；变换求得系统的脉冲传递函数；、通过反变换求得差分方程；、通过反变换求得差分方程；、通过反变换求得差分方程；、通过反变换求得差分方程；、根据差分方程编制仿真程序。、根据差分方程编制仿真程序。、根据差分方程编制仿真程序。、根据差分方程编制仿真程序。、积分环节、积分环节、积分环节、积分环节二、典型环节离散相似模型二、典型环节离散相似模型二、典型环节离散相似模型二、典型环节离散相似模型）选用零阶保持器）选用零阶保持器）选用零阶保持器）选用零阶保持器离散化传递函数离散化传递函数离散化传递函数离散化传递函数反变换得差分方程：反变换得差分方程：反变换得差分方程：反变换得差分方程：同数值积分法的前向同数值积分法的前向同数值积分法的前向同数值积分法的前向EularEular相当相当相当相当积分环节的微分方程：积分环节的微分方程：积分环节的微分方程：积分环节的微分方程：）选用一阶保持器）选用一阶保持器）选用一阶保持器）选用一阶保持器离散化传递函数离散化传递函数离散化传递函数离散化传递函数 Z Z变换表变换表变换表变换表 F(s) F(z) F(s) F(z)反变换得差分方程：反变换得差分方程：反变换得差分方程：反变换得差分方程：对积分环节采用一阶保持器进行离散相似化后所得模型，对积分环节采用一阶保持器进行离散相似化后所得模型，对积分环节采用一阶保持器进行离散相似化后所得模型，对积分环节采用一阶保持器进行离散相似化后所得模型，与数值积分中的显式二阶与数值积分中的显式二阶与数值积分中的显式二阶与数值积分中的显式二阶AdamsAdams法一致。法一致。法一致。法一致。可见采用不同的保持器，得到的离散模型是不同的，精度可见采用不同的保持器，得到的离散模型是不同的，精度可见采用不同的保持器，得到的离散模型是不同的，精度可见采用不同的保持器，得到的离散模型是不同的，精度也不同，实际应用中常采用零阶保持器。也不同，实际应用中常采用零阶保持器。也不同，实际应用中常采用零阶保持器。也不同，实际应用中常采用零阶保持器。. .一阶环节（惯性环节、超前滞后环节）一阶环节（惯性环节、超前滞后环节）一阶环节（惯性环节、超前滞后环节）一阶环节（惯性环节、超前滞后环节）选用零阶保持器）选用零阶保持器）选用零阶保持器）选用零阶保持器离散化传递函数离散化传递函数离散化传递函数离散化传递函数 Z Z变换表变换表变换表变换表 F(s) F(z) F(s) F(z)反变换得差分方程：反变换得差分方程：反变换得差分方程：反变换得差分方程：若取若取若取若取则得则得则得则得4.2.4.2.4.2.4.2. 时域离散相似法时域离散相似法时域离散相似法时域离散相似法连续系统模型连续系统模型连续系统模型连续系统模型一、状态空间表达式的离散相似法一、状态空间表达式的离散相似法一、状态空间表达式的离散相似法一、状态空间表达式的离散相似法状态方程的解状态方程的解状态方程的解状态方程的解采用零阶保持器对状态空间表达式进行离散化处理采用零阶保持器对状态空间表达式进行离散化处理采用零阶保持器对状态空间表达式进行离散化处理采用零阶保持器对状态空间表达式进行离散化处理对于连续解对于连续解对于连续解对于连续解变量替换变量替换变量替换变量替换由于采用零阶保持器由于采用零阶保持器由于采用零阶保持器由于采用零阶保持器保持不变保持不变保持不变保持不变是常数阵是常数阵是常数阵是常数阵令令令令则离散化状态方程：则离散化状态方程：则离散化状态方程：则离散化状态方程：这是用零阶保持器得到的离散状态方程。这是用零阶保持器得到的离散状态方程。这是用零阶保持器得到的离散状态方程。这是用零阶保持器得到的离散状态方程。例：例：例：例：则用零阶保持器的离散状态方程：则用零阶保持器的离散状态方程：则用零阶保持器的离散状态方程：则用零阶保持器的离散状态方程：请用零阶保持器得到离散状态方程。请用零阶保持器得到离散状态方程。请用零阶保持器得到离散状态方程。请用零阶保持器得到离散状态方程。解：解：解：解： 连续状态方程：连续状态方程：连续状态方程：连续状态方程：最终得：最终得：最终得：最终得： 其中其中其中其中T T为采样周期，选定合适的采样周期，为采样周期，选定合适的采样周期，为采样周期，选定合适的采样周期，为采样周期，选定合适的采样周期，并确定系统参数并确定系统参数并确定系统参数并确定系统参数a a，则可进行程序设计。，则可进行程序设计。，则可进行程序设计。，则可进行程序设计。 离散化状态方程的求取关键在离散化状态方程的求取关键在离散化状态方程的求取关键在离散化状态方程的求取关键在 的积分问题，若的积分问题，若的积分问题，若的积分问题，若输入函数复杂，积分很难计算。输入函数复杂，积分很难计算。输入函数复杂，积分很难计算。输入函数复杂，积分很难计算。 保持器是将离散信号复原为连续信号，实际是采样保持器是将离散信号复原为连续信号，实际是采样保持器是将离散信号复原为连续信号，实际是采样保持器是将离散信号复原为连续信号，实际是采样时刻之间输入函数的差值问题，通过保持器将复杂的时刻之间输入函数的差值问题，通过保持器将复杂的时刻之间输入函数的差值问题，通过保持器将复杂的时刻之间输入函数的差值问题，通过保持器将复杂的输入函数转换成简单函数，便于积分计算。输入函数转换成简单函数，便于积分计算。输入函数转换成简单函数，便于积分计算。输入函数转换成简单函数，便于积分计算。 选择的保持器不同，得到的复原连续信号选择的保持器不同，得到的复原连续信号选择的保持器不同，得到的复原连续信号选择的保持器不同，得到的复原连续信号 也也也也不同。不同。不同。不同。零阶保持器信号复原特性零阶保持器信号复原特性零阶保持器信号复原特性零阶保持器信号复原特性零阶保持器零阶保持器零阶保持器零阶保持器保持不变保持不变保持不变保持不变一阶保持器信号复原特性一阶保持器信号复原特性一阶保持器一阶保持器最终用一阶保持器得到的离散状态方程：最终用一阶保持器得到的离散状态方程：三角保持器信号复原特性三角保持器信号复原特性三角保持器三角保持器计算中要用到计算中要用到 可见，这就是实际可见，这就是实际不能实现的原因不能实现的原因滞后一拍三角保持器信号复原特性滞后一拍三角保持器信号复原特性滞后一拍三角保持器滞后一拍三角保持器代入下式计算代入下式计算同理得：同理得：4.4. 根匹配法根匹配法由控制理论，连续系统的动态特性是传递函由控制理论，连续系统的动态特性是传递函数的零点、极点分布情况和增益决定。数的零点、极点分布情况和增益决定。4.4.1 .1 根匹配法的基本思想根匹配法的基本思想根匹配法就是构造一个相应于连续传递函数根匹配法就是构造一个相应于连续传递函数的离散传递函数，使两者零点、极点相匹配，并的离散传递函数，使两者零点、极点相匹配，并且具有相同的动态响应值。且具有相同的动态响应值。设线性连续系统传递函数为设线性连续系统传递函数为构造离散系统传递函数构造离散系统传递函数其中其中其中其中G(S),G(Z)G(S),G(Z)中的中的中的中的满足一定的满足一定的满足一定的满足一定的匹配关系匹配关系匹配关系匹配关系是为实现是为实现是为实现是为实现G(Z)G(Z)与与与与G(S)G(S)幅值与相位的最佳匹配幅值与相位的最佳匹配幅值与相位的最佳匹配幅值与相位的最佳匹配而附加上去的附加零点。而附加上去的附加零点。而附加上去的附加零点。而附加上去的附加零点。是根据终值相同而确定的增益。是根据终值相同而确定的增益。是根据终值相同而确定的增益。是根据终值相同而确定的增益。、G(Z)与与G(S)具有相同数目的极点、零点；具有相同数目的极点、零点；4.3.2 4.3.2 4.3.2 4.3.2 连续传递函数与离散传递函数的动态匹配连续传递函数与离散传递函数的动态匹配连续传递函数与离散传递函数的动态匹配连续传递函数与离散传递函数的动态匹配一、实现动态匹配需考虑的问题一、实现动态匹配需考虑的问题、G(Z)具有与具有与G(S) 的极点、零点相匹配的极点、的极点、零点相匹配的极点、零点；零点；、G(Z)具有与具有与G(S) 终值相匹配的终值；终值相匹配的终值；、调节相位，使、调节相位，使G(Z)和和G(S)的动态响应达到最的动态响应达到最佳匹配。佳匹配。、确定连续系统的传递函数、确定连续系统的传递函数G(S)；二、根匹配法实现系统离散化的步骤二、根匹配法实现系统离散化的步骤、将、将G(S) 写成零极点增益形式写成零极点增益形式、将平面上的零极点映射到平面上；、将平面上的零极点映射到平面上；、利用求得的平面的零极点写出、利用求得的平面的零极点写出以确定零极点以确定零极点暂不考虑附加零点，暂不考虑附加零点，Kz待定待定、确定连续系统在单位阶跃作用下的终值（若、确定连续系统在单位阶跃作用下的终值（若响应为，则考虑其它形式的典型输入函数；响应为，则考虑其它形式的典型输入函数；、求出典型信号作用下离散系统的终值；、求出典型信号作用下离散系统的终值；、根据终值不变的原则确定、根据终值不变的原则确定Kz；、确定、确定G(Z)的附加零点的附加零点 、对得到的、对得到的G(Z)求反变换，得差分方程，由求反变换，得差分方程，由此设计仿真程序。此设计仿真程序。使使G(Z)的分子分母阶次相匹配，并尽量保证的分子分母阶次相匹配，并尽量保证G(Z)和和G()。附加零点后，需要重新确定。附加零点后，需要重新确定Kz;