19.1 平行四边形平行四边形主要内容19.1.2 平行四边形的判定19.1.1 平行四边形的性质 引言引言伸缩门庭院的竹篱笆防护栏升降机平行四边形的定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD,记作 ABCD ADCD19.1.1 平行四边形的性质平行四边形的性质 根据定义画一个平行四边形，观察这个四边形，除了“两组对边分别平行”外，它的边、角之间有什么关系？度量一下，是不是和你的猜想一致？ 归纳归纳 平行四边形的对边相等ABCD证明： 如图所示平行四边形ABCD中，连接AC.因为AD/BC,AB/CD, 所以 CAD=ACB，BCA=ACD， 又AC是公共边；所以ABCCDA.所以AD=BC，AB=CD，B=D. 平行四边形的对角相等同理可证，BAD=BCD. 例1 如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中AB边长为8m，其他三条边的长各是多少？例例 题题 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 AB=CD，AD=BC又 AB+BC+CD+AD=36m.因为AB=8m，所以 CD=8m， 所以AD=BC=10m.ABCD 如图，在纸上画ABCD，将它剪下.再在一张纸上沿ABCD的边缘画出一个与ABCD相同的EFGH. 在它们的中心O（两条对角线的交点）钉一个图钉。将ABCD绕点O旋转1800，还和EFGH重合吗？丛中你能看出前面得到的ABCD的边角关系吗？ABCDo 归纳归纳 进一步观察上述旋转动画可知，在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，由此可得平行四边形又一个性质：平行四边形的对角线互相平分. 例2 如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB=10，AD=8，ACBC，求BC、CD、AC、OA的长以及平行四边形ABCD的面积.例例 题题 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 AB=CD=10，AD=BC=8因为ACBC,所以ABC是直角三角形 所以OA= AC.ABCDo所以平行四边形的面积为 S=BCAC=86=48.练习练习P84 练习1，2，3 P86 练习1，2小结平行四边形有哪些性质？平行四边形有哪些性质？平行四边形的两组对边平行；平行四边形的两组对边平行；平行四边形的两组对边相等平行四边形的两组对边相等;平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分.作业作业P90-91 习题19.1 1，2，3 6，7，8，919.1.2 平行四边形的判定平行四边形的判定 思考思考 通过前面的学习，我们知道，平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分。反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？ 如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边.转动这个四边形，使它形状改变。在图形变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？ABCD 如图，将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD。转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？ABCDO 归纳归纳平行四边形的判定定理：1. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；2. 对角线互相平分的四边形是平行四边形.你能利用三角形的全等，根据平行四边形的定义证明它们吗？ 例3 如图四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AC上的两点，并且AE=CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形.例例 题题所以，AO=CO，BO=DO.证明：因为四边形ABCD是平行四边形因为AE=CF，所以 EO=FO.又BO=DO.所以四边形BFDE是平行四边形.ABCDOEF练习 1. 如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF，图中有哪些互相平行的线段？ADCBFE答：根据题设，知四边形ABCD、四边形CDEF是平行四边形，所以有如下平行线段：AB/CD/EF, AD/BC,DE/CF 2. 求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.又A+B+C+D=3600.证明：如图四边形ABCD中，A=C，B=D.所以AD/BC,AB/CD.所以四边形ABCD是平行四边形.ABCD所以A+B=D+C=1800平行四边形的判定定理：3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 如图，取两根等长的木条AB，CD，将它们平行放置，再用两根木条AD、BC加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？ABCD 讨论讨论 因为四边形ABCD有两组对边相等，所以它是平行四边形.如图，连接四边形ABCD的一条对角线AC.因为AB/CD, 所以BAC=DCA.又因为AB=CD, AC=CA.所以 ABCCDA.所以BC=AD.ABCD平行四边形的判定定理：4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 现在你有多少种判定平行四边形的方法了？平行四边形的判定定理：1. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；2. 对角线互相平分的四边形是平行四边形；3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 例例 题题 例4 如图，点D、E分别是ABC的边AB、AC的中点，求证：DE/BC,且DE= BC.ACEDBACEDBF 证明：如图，延长DE到点F,使EF=DF，连接FC、DC、AF. 因为AE=EC， 所以四边形ADCF是平行四边形， 即CF/DA,且CF=DA. 所以 CF/BD,CF=BD. 所以四边形DBCF是 平行四边形， 即DF/BC,DF=BC . 又 2DE=DF 所以 DE/BC,DE= BC .ACEDBF 归纳归纳 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，可得中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 思考思考 如图，a、b是两条平行线.从直线a上的任意一点A向直线b作垂线，垂足为点B，我们得到线段AB. 按同样的作法，我们作出线段CD.你能发现AB与CD的关系吗？ADCBab容易得到AB=CD证明：因为ABD=900， CDB=900所以ABD=CDB.所以AB/CD.所以 四边形ABCD是平行四边形.所以 AB=CD.两条平行线间的任何两条垂线段都是相等的 归纳归纳ADCBab两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的ADCBab推广： 两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离. 定义定义ABab其中AB是垂直于两条平行线的线段. 思考思考 1. 两条平行线间的距离与点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？ 2. 如何理解几何中“距离”的概念？练习练习 P90 练习1，2，3小结1.平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理2.三角形的中位线定理三角形的中位线定理3.两条平行线间的距离两条平行线间的距离作业作业课外作业： P91-92 习题19. 1 4，5，10， 11，12拓展练习： P92 习题19.1 13，14