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在计算机采样控制系统中，因为在计算机内参与运算的信号是二进制数码，所以要利用计算机来实现系统的控制目标，首先要在控制系统中通过模数转换器(AD)，把控制目标的连续信号转换成数字信号，送给计算机构成的数字控制器，经过数字控制器的数字计算，给出的控制信号也是数字量，然后再通过数模转换器(DA)，使数字量恢复成连续的控制作用，再去控制被控对象。在分析采样控制系统时，把AD和DA的工作过程理想化，即认为AD转换相当于一个每隔T秒瞬时接通一次的理想采样开关，它把连续信号变成数字信号；而DA转换则近似于一个保持器，它把数字信号变成连续信号。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础7图7.2 采样控制系统结构图e*(t)u*(t)uh(t)+Gh(s)Gp(s)r (t)e (t)c (t)-GD(s)H(s)采样开关 由于在离散系统中存在着脉冲或离散的数字信号以及信号的变换过程，因此，在研究这种系统时，虽在一定程度上可以借鉴在连续系统中应用的一些成熟的方法，但仍然有它本身的特殊性，必须对其进行单独讨论。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础87.2 7.2 信号的采样与复原信号的采样与复原信号的采样与复原信号的采样与复原 在采样控制系统中信号的转换是采样控制系统区别于传统连续控制系统的重点，也是影响采样控制系统正确工作的关键。因此了解采样控制系统中信号转换的过程，对于理解采样控制系统的特点和本质具有重要的意义。下面将从信号的采样和恢复两个方面讨论采样控制系统的信号处理过程及其数学本质。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础97.2 .17.2 .1信号的采样信号的采样信号的采样信号的采样 采样过程，就是按照一定的时间间隔对系统中的连续信号进行采样，将连续信号变换为时间上离散的脉冲序列的过程。用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关，它可以用一个按一定周期（即采样周期）进行闭合操作的开关来表示。采样开关的采样周期为T，采样开关的采样周期为T，每次闭合时间为，如图7.3所示。通常远小于采样周期T和系统中连续部分的时间常数，可以近似的认为0。1. 1.采样过程采样过程采样过程采样过程 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础10图7.3 模拟信号的采样 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础11 因此，采样过程可以看成是一个电子系统中的脉冲调制过程。理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序列发生器，它能够产生单位脉冲序列 ，如图7.4所示。单位脉冲序列 的数学表达式为k =0，1，2为整数 (7.1)式中T为采样周期。根据图7.4， 的数学表达形式可写成：(7.2) 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础12调制器e*(t)e (t)T(t)图7.4 单位脉冲序列和采样信号的调制 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础13综上所述，采样过程相当于一个脉冲调制过程，采样开关的输出信号 可表示为两个函数的乘积，其中载波信号 决定输出函数存在的时刻，而采样信号的幅值由输入信号 决定。 可见，满足单位脉冲函数定义的脉冲串 相当于一种载波信号。实际系统中 t0时，通常 ，所以上式可改写为(7.3) 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础14式中, 傅里叶系数； 2. 2.采样定理采样定理采样定理采样定理(1)采样信号拉氏变换与连续信号拉氏变换之间关系 因为理想单位脉冲序列 是一个以T为周期的函数，可以展开为傅里叶级数，其复数形式为 代入,有 (7.4)(7.5)为采样角频率。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础15上式反映了采样函数的拉氏变换式 和连续函数拉氏变换式 之间的关系，这表明 是s的周期性函数。故 的拉氏变换为(7.6) 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础16上式反映了采样后的离散信号频谱与连续信号频谱之间的关系。通常，连续函数e(t)的频带宽度有限，其最大截止频率为max， 为一孤立的频谱，如图7.5a所示。 用 代入上式，得到采样信号的傅里叶变换： (2)采样定理(7.7)由图7.5可见，相邻两部分频谱互不重叠的条件是 s2max (7.8) 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础17(a)连续信号(b)采样信号 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础18采样之后，离散序列 的频谱是无限多个频谱的周期重复，其幅值 为的1/T，周期为s，k=0时为主频谱。根据采样频率s的大小， 可能有两种情况，如图7.5b所示：一种是s2max，采样信号的频谱不会发生重迭；另一种是s2max，在此情况下，采样信号的频谱发生重迭。 香农采样定理的物理意义即是对最高频率的正弦信号，在一个周期内至少应采样两次(正负值各采样一次)。香农采样定理是选择采样周期的一个重要依据。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础19为使采样后的信号不丢失原连续信号的信息，或者说为了能将采样后的离散信号恢复为原连续信号，必须使采样信号的频谱中各部分相互不重叠，这样就可以采用一个低通滤波器滤掉所有的高频分量，只保留主频谱，这个低通滤波器就是下面要介绍的将离散信号恢复成连续信号的零阶保持器。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础207.2 .27.2 .2信号的复原信号的复原信号的复原信号的复原 根据采样定理，在s2max的条件下，离散信号频谱中各分量彼此互不重叠，采用理想的低通滤波器滤去各高频分量，保留主频谱，就可以无失真地恢复为原连续信号。但上述理想滤波器在实际上难以实现，因此，必须寻找在特性上比较接近理想滤波器，而实际上又可以实现的滤波器，在采样控制中应用的保持器就是这种实际的滤波器。保持器是一种采用时域外推原理的装置。结构最简单，应用最广泛的是零阶保持器。微型计算机输出通道中的 DA转换器就是零阶保持器。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础211. 1.零阶保持器概念零阶保持器概念零阶保持器概念零阶保持器概念 零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它的作用是把采样时刻kT的采样值e(kT)恒定不变地保持(外推)到下一采样时刻(k+1)T。也就是说，在时间tkT，(k+1)T区间内，它的输出量一直保持为e(kT)这个值。其输入信号和输出信号的关系如图7.6所示。可见，零阶保持器的输出信号是阶梯形的，它包含着高次谐波，与要恢复的连续信号是有一些区别的。若将阶梯形输出信号的各中点连接起来，可以得到一条比连续信号迟后T/2的曲线，这反映了零阶保持器的相位滞后特性。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础22e*(t)eh(t)零阶保持器图7.6 连续信号与采样信号 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础232. 2.零阶保持器的传递函数零阶保持器的传递函数零阶保持器的传递函数零阶保持器的传递函数当零阶保持器的输入为单位脉冲时，其输出是一个高度为1，宽度为T的矩形波，即响应零阶保持器的单位脉冲响应gh(t)。它可以分解为两个单位阶跃函数的叠加（如图7.7所示）：gh(T)=1(t)-1(t-T)，从而零阶保持器单位脉冲响应的拉氏变换式为图7.7 零阶保持器单位脉冲响应的(7.9) 此即是零阶保持器的传递函数。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础24令式(7.9)中 ，可求得零阶保持器的频率特性为 3. 3.零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性(7.10) (7.12) (7.11) 幅频特性和相频特性分别为零阶保持器的幅频特性，其幅值随着频率的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性，主频谱与连续信号相似，但还存在一些高频分量。因此，其转换后的连续信号与原来的信号是有些差别的。此外，由相频特性可见，采用零阶保持器还将产生相角滞后，对稳定性不利。T越小，采样系统越接近于连续系统，但计算机负担加重，对计算机运算速度等要求越高。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础257.3 z7.3 z变换变换变换变换 在传统连续系统的控制器设计与分析中，我们一般应用微分方程、系统的传递函数和频率特性等方法和工具进行研究，其中最重要的工具就是拉氏变换。一个连续信号f(t)的拉氏变换是复变量s的有理分式函数，微分方程通过拉氏变换后也可以转换为s的代数方程，从而大大简化微分方程的求解，方便得到系统的频率特性。因此氏变换是连续系统研究的基本工具。而在采样控制系统中存在着脉冲或数字的离散信号以及离散信号与连续信号的变换过程，因此，如果仍沿用拉氏变换得到的传递函数来分析系统，那么拉氏变换就会在运算中给我们带来复变量的超越函数，使得计算与分析难以顺利进行。为了避免这种情况出现，我们需要用一种新的工具z变换替代拉氏变换，用差分方程或z传递函数来描述采样控制系统的数学模型。本节将具体介绍z变换及z反变换。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础267.3 .1 z7.3 .1 z变换的定义变换的定义变换的定义变换的定义对于连续函数 ，它的拉氏变换为： 由于x(t)的采样信号为 ，对x(t)采样信号的拉氏变换则为： (7.13) (7.14) 式(7.14)中的 是s的超越函数，不便于直接进行运算。因此，我们引入一个新的复变量 ，将它代人式(7.14)得 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础27(7.15) 定义式(7.15)为采样函数 的z变换，记为 。 由上述z变换的定义可见，z变换实际是拉氏变换的一种变形。严格地讲，z变换只适用于使用离散信号的情况，即z变换式只表征了连续函数在采样时刻的特性，而不能反映采样时刻之间的特性。但人们往往根据习惯称 是 的z变换，这实质上是 指经过采样之后得到的 的z变换。 因为z变换是对采样时刻而言的，所以 的z变换就是 的z变换。通常把采样周期T当作一个单位，并将 简记为 ，这样，采样序列的z变换即定义为 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础28(7.16) 因而 这是复变量 的幂级数，只有当其收敛时，才能求得其简短的封闭形式。例7.1 求单位跃阶函数的z变换。说明：如果能够知道连续函数x(t)在各采样时刻的离散值x(kT)，可以按照定义求x(t)的z变换。 解：解： 单位跃阶函数在各个采样时刻的值均为1，因此 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础29当 ，即 时，级数收敛。 例7.2 求函数e-at的z变换。解解： 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础30例7.3 已知连续函数x(t)的拉氏变换为 ，求函数的z变换。 解：如果连续函数x(t)的拉氏变换X(s)为s的有理函数，并且X(s)的分母多项式能够分解因式时，可以将X(s)展开成部分分式，即 (7.17) 其中，pi是X(s)的极点，ai为极点pi的留数，而 所对应的时间函数为 ，由例7.2可知其z变换为 ，因此，相应于x(t)的z变换为 (7.18) 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础31解解:因为 ，又拉氏反变换得 所以 教材中表7.1中列出了一些常见函数及其相应的拉氏变换和z变换。利用此表可以根据给定的函数或其拉氏变换式直接查出其对应的z变换。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础327.3 .2 z7.3 .2 z变换的性质变换的性质变换的性质变换的性质与拉氏变换相类似，z变换也有一些基本定理，根据这些定理，加上熟悉表7.1列出的一些简单函数的z变换，则可以方便地求出一些复杂函数的z变换。 1 1线性定理线性定理线性定理线性定理 设函数 ，则(7.19) 即各函数线性组合的z变换，等于各函数z变换的线性组合。这由定理很容易证明，这里就不给出详细证明过程。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础332. 2.滞后定理滞后定理滞后定理滞后定理 设在 时连续函数 ，其z变换为 ，则 (7.20)证明： 令 ，则 因为 时， ，所以 迟后定理说明，原函数在时域中延时m个采样周期，相当于其z变换乘以 。由此可见算子 的物理意义，即是把采样信号延时m个采样周期， 代表迟后环节。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础343. 3.超前定理超前定理超前定理超前定理设在 时连续函数 ，其z变换为 ，则(7.22) (7.21) 证明： 令 ，则在特殊情况下，若 则超前定理为 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础354. 4.初值定理初值定理初值定理初值定理设函数 的z变换为 ，并且 存在，则 (7.23) 证明：因为 所以 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础365. 5.终值定理终值定理终值定理终值定理设函数 的z变换为 ，则 (7.24) 证明： 由z变换定义可知终值定理常用于计算采样控制系统的稳态误差。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础377.3.3 z7.3.3 z反变换反变换反变换反变换所谓z反变换，就是根据 ，求出 或者 ，记作 或 (7.25) 得到了 或 ，通常也就得到了 。 下面介绍三种常用的求解z反变换的方法。 1 1幂级数法幂级数法幂级数法幂级数法( (长除法长除法长除法长除法) ) X(z)的一般表达式为 (7.26) 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础38用分子除以分母可得(7.27) 根据X(z)的定义，z-k的系数ck就是x(k)，对上式z反变换为，(7.28) 这种方法适用于简单的函数，但难以求得 的简短的封闭形式。 例7.4 求 的z反变换式。 解：解： 因为 由z变换定义得 即 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础392 2部分分式法部分分式法部分分式法部分分式法 采用部分分式法可以求出离散函数的闭合形式，其方法与求拉氏反变换的部分分式法类似。稍有不同的是，由于X(z)的分子中通常都含有z，因此应将X(z)除以z，然后展开为部分分式，再根据z变换表写出起原函数。 (1)如X(z)只含有单极点，则 (7.29) 式中，zj是 的极点，Aj是相应于zj的留数 (7.30) 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础40(2) 如X(z)含有重极点，则 (7.31) 式中zj是 的单极点，Aj是相应于zj的留数；zi是 的重极点，r是它的阶次，Bk为对应的留数， (7.32) 例7.5 用部分分式法求 的反变换式。解：解： 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础413留数法 已知 ，则通过复变函数中的某些定理进行演算，可得计算公式 (7.33)式中，Res表示函数在极点处的留数，zm是X(z)zk-1的极点，m是极点数。 (1)对于单重极点， (7.34) (2)如果X(z)zk-1在z=zm处有r阶重极点，则 (7.35) 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础42例7.6 已知 ，试求x(kT)。 解：解： 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础437.4 7.4 线型离散系统的差分方程线型离散系统的差分方程线型离散系统的差分方程线型离散系统的差分方程线性采样系统通常采用差分方程和z传递函数这两种重要的数学工具来进行分析处理，上一节介绍了z传递函数的相关知识，本节将继续讨论采样系统的差分方程。 7.4.17.4.1差分方程的数学描述差分方程的数学描述差分方程的数学描述差分方程的数学描述 如将连续系统离散化，则可将各阶微分用各阶差分近似代替，从而得到用输出、输入信号的离散序列及其各阶差分所描述的系统运动方程，如下所示： 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础44或 其中： ， ，(i=0，1，n；j=0，1，m)分别表示输出、输入信号的各阶前向差分， ， 分别表示输出、输入信号的各阶后向差分。以输出为例的各阶差分如下： 一阶前向差分为： 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础45二阶前向差分为： n阶前向差分为： 一阶后向差分为： 二阶后向差分为： 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础46n阶后向差分为： 从而得到相应的系统前向差分方程和后向差分方程如下： 或 差分方程左边为输出在各个采样时刻的值，下脚标降次排列，方程右边为输入信号在各个采样时刻的值，下脚标也降次排列。其中n是差分方程的阶数，等于输出变量序号的最高值与最低值之差。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础477.4.2 7.4.2 差分方程的求解差分方程的求解差分方程的求解差分方程的求解 以上介绍了差分方程的概念和差分方程的求取。在实际应用中，我们常利用z传递函数的概念，首先求出系统的z传递函数，然后利用z反变换，求出系统的后向差分方程，最终使用计算机迭代算法方便地求解出结果。 1迭代法解差分方程 迭代法是将给定的初始条件代入差分方程，依次迭代从而得到方程的解。使用迭代法得到的解是一个数字序列，它是系统的输出信号的在采样时刻的幅值。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础48例77 已知系统的一阶差分方程为 输入为单位阶跃函数，即初始条件 求解差分方程的解。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础49 解：解：根据给出的差分方程有 将初始条件代入上式可以得到：由此可以看出此系统对于单位阶跃输出的响应为不衰减的等幅振荡输出。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础502z变换法解差分方程 利用超前定理可以得到： 将差分方程式逐项求z变换，得到输出信号的z变换表达式，然后求z反变换，就可以得到差分方程的解。利用这种方法可以求得系统采样输出信号的解析表达式。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础51例7.8 已知系统的差分方程为 用z变换法求解差分方程。解解: 对方程两边取z变换，得到 整理得 通过z反变换得到 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础527.5 7.5 脉冲传递函数脉冲传递函数脉冲传递函数脉冲传递函数要对采样控制系统进行分析研究，首先要建立它的数学模型。与连续系统相类似，线性采样系统通常采用差分方程和脉冲传递函数来进行数学描述，上一节介绍了差分方程的有关知识，本节将继续讨论采样系统的脉冲传递函数。 7.5.17.5.1脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义 1脉冲传递函数定义 如前所述，线性定常离散控制系统的差分方程一般形式为或 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础53 式中nm，这说明当前的输出只与过去的输入输出数据有关，这是符合系统的物理意义的。对上面式子取z变换，并假设初始条件为零，则可以得到 (7.36) 线性定常离散控制系统，在零初始条件下，输出信号序列的z变换与输入信号序列的z变换之比，即为系统的脉冲传递函数，或者叫z传递函数。z-(n-m)表示了输出迟后于输入n-m个采样周期。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础54如图7.8a所示，若已知系统的G(z)和输入r(t)或R(z)，就可以 由和 ，求出其输出C(z)或c*(t)，此为零状态响应。在实际中，许多采样系统的输出信号是连续信号（如图7.8b所示），在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，可以在输出端虚设一个采样开关，并令其采样周期与输入端采样开关的周期相同。C(s)G (s)C*(s)R*(s)R(s)TTG (z)TC(s)G (s)C*(s)R*(s)R(s)TG (z)a)b) 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础552脉冲传递函数的物理意义 假设k=0 时，在系统输入端施加单位脉冲信号 ，则定义系统的输出响应序列叫做单位脉冲响应序列g(kT)，即有，而 故 ，因此可见，脉冲传递函数就是单位脉冲响应序列的z变换，这就是脉冲传递函数的物理意义。由上式也可以看出，系统响应速度越快，即其单位脉冲响应g(t)越快衰减到零，则相应的脉冲传递函数G(z)的展开式中包含的项数越少。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础567.5.2脉冲传递函数的求解方法 (1)若已知系统连续部分的传递函数G(s)或脉冲响应函数g(t)，则对G(s)进行z变换或利用 就可求得G(z)。(2)若已知系统的差分方程，则可对差分方程进行z变换，从而求得脉冲传递函数。反之若已知系统的z脉冲传递函数，则可利用z反变换求得系统的差分方程。这就是脉冲传递函数与差分方程之间的关系。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础57例7.9 已知系统的差分方程为 求系统的脉冲传递函数。解解: 对差分方程两边取z变换，得到 系统的脉冲传递函数为 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础587.5.3脉冲传递函数的连接方式 实际采样控制系统通常都是由一些子系统组成的，这些子系统之间又以一定的方式相互联系，常见的联系方式有串联、并联和反馈。下面首先讨论串联和并联采样控制系统的脉冲传递函数。1串联采样系统的脉冲传递函数 G1(s)C(z)R(z)R(s)TTG (z)G2(s)TG2(z)G1(z)图7.9 串联系统 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础59两个子系统串联的情况如图7.9所示，此时系统的脉冲传递函数为： (7.37) 上式表明，有采样开关分隔的两个环节串联时，其脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之积。上述结论可推广到有采样开关隔离的n个环节串联的情况。 例7.10 设在图7.9中， 求系统的开环脉冲传递函数。解解: 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础602并联采样系统的脉冲传递函数 G1(s)C(z)R(s)TTG (z)G2(s)T图7.10 并联系统两个子系统并联的情况如图7.10所示，此时系统的脉冲传递函数为： (7.38) 上式表明，有采样开关分隔的两个环节并联时，其脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之和。上述结论可推广到有采样开关隔离的n个环节并联的情况。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础617.5.4闭环系统的脉冲传递函数 前面介绍了采样控制系统串联和并联联系下的脉冲传递函数计算方法，下面介绍采样控制系统反馈联接的脉冲传递函数计算方法。反馈联系存在于闭环采样控制系统中，根据子系统的传递函数去求闭环系统总的脉冲传递函数的运算规则基本上和连续系统中的运算规则相同，但由于采样开关位置不同，系统结构有异，其闭环脉冲传递函数的结果是不一样的。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础62图7.11 闭环采样系统图7.11是比较常见的闭环采样控制系统的结构图，图中输入端和输出端的采样开关是为了分析方便而虚设的。由图7.11可知 E(s)=R(s)H(s)C(s)，C(s)=G(s)E*(s)合并两式得E(s)=R(s)-G(s)H(s) E* (s) 求上式的拉氏变换，则有 或 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础63考虑到输出信号采样后的拉氏变换为 则得 写成z变换形式，即得闭环脉冲传递函数 (7.39) 对于单位反馈系统 ，则有(7.40) 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础647.6 7.6 采样控制系统的性能分析采样控制系统的性能分析采样控制系统的性能分析采样控制系统的性能分析7.6.1采样控制系统的稳定性分析采样控制系统的稳定性分析我们知道：线性连续系统稳定的充要条件是系统特征方程的所有根都位于s平面虚轴的左半部，即系统特征方程的所有根都具有负实部。与连续系统相类似，对线性采样系统进行稳定性分析，首先要通过z变换处理得到系统特征方程的所有根在z平面的分布特点，然后用z平面来分析系统的稳定性。 1s平面和z平面的映射关系 由z变换概念知： ，T为采样周期。设复变量s在s平面上沿虚轴移动，即s=j，则对应的复变量 ，它是z平面上幅值为1的单位旋转向量，相角T随角频率而改变。当角频率由-/T变化到+/T时， 的相角由-变化到+，在z平面上画出了一个以原点为圆心的单位圆。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础65由上可见，s平面的虚轴在z平面上的映射曲线是以坐标原点为圆心的单位圆，如图7.12所示。设 ，则 ， 其幅值为 ，当s位于s平面虚轴的左半部时，为负，这时 ，反之，若s位于s平面虚轴的右半部时，为正，这时 。所以，s平面虚轴的左半部在z平面上的映象为以原点为圆心的单位圆的内部区域。 图7.12 s平面和z平面的映射关系 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础662线性采样系统稳定的充要条件 根据以上分析易知，线性采样系统稳定的充要条件是闭环特征方程的所有根（即闭环脉冲传递函数的极点）均位于z平面上以原点为圆心的单位圆内，也就是要求这些根的模均小于1。 与分析连续系统的稳定性一样，用直接求解特征方程式根的方法判断系统的稳定性往往比较困难，下面介绍一种比较实用的方法。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础673劳斯稳定判据 因为劳斯判据能判断系统特征方程式的根是否在复平面虚轴的左半部，而不能直接判断特征方程的根是否在z平面的单位圆内，因此，为了使劳斯判据仍然适用于离散系统稳定性的判断，必须采用一种双线性变换方法(又称w变换)，使z平面上的单位圆内映射为w平面虚轴的左半部。 根据复变函数的双线性变换方法，设 ，z和w均为复变量， , 则有 即， 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础68 可见，z平面上的单位圆x2+y2=1，对应于w平面中虚轴u=0；z平面上的单位圆内x2+y21，对应于w平面中虚轴的左半部，即u1，对应于w平面中虚轴的右半部，即u0。z平面和w平面的映射关系如图7.13所示。 综上所述，令 代人采样系统的特征方程，进行w变换后，即可在w平面中利用劳斯判据判断采样系统的稳定性。下面举例说明劳斯判据的应用。 图7.13 z平面和w平面的映射关系 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础69 例7.11 设采样系统的方框图如图7.14所示，其中 ，采样周期T=1s，试确定闭环采样系统稳定的K值范围。 图7.14 某采样系统解解: 系统的开环传递函数为 则系统的特征方程式为 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础70将 代人，则有w2 2.740.63K 0.63K w 1.26 0 w0 0.63K 为了保证采样系统稳定，则必须有2.74-0.63K0和0.63K0，故0K4.35。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础71 由此可见，在二阶系统中加入了采样开关之后，当系统增益增大到一定幅度后，采样系统会变为不稳定。从线性连续系统的稳定性理论可知：二阶线性连续系统总是稳定的(因为闭环特征根的轨迹总是在s左半平面)。二阶线性采样系统与线性连续系统的稳定性差异是由于采样开关的特性（采样定理）造成的。对于线性采样系统而言，一般情况下当系统采样频率增高时，系统的稳定性会得到改善，因为随着采样频率增高，采样系统的工作情况更接近于连续系统的工作情况。应该指出，在许多情况下加入采样器对系统稳定性不利，但也不能绝对化。在一些特殊情况，例如再包含迟后环节的系统，加入采样器往往能改善系统的稳定性。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础72另外，在利用劳斯判据判断闭环采样系统稳定性时的双线性变换，可以是 ，也可以是 ，z平面的单位圆内仍对应于w平面虚轴的左半平面。采用双线性变换后，凡是适合于线性连续系统分析稳定性的方法，均可以推广应用于线性采样系统，包括频域分析法、根轨迹法。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础737.6.27.6.2采样控制系统的稳态性分析采样控制系统的稳态性分析采样控制系统的稳态性分析采样控制系统的稳态性分析稳态误差是系统稳态性能的重要指标。图7.15所示的单位反馈采样控制系统中，系统在输人信号作用下误差的z变换为 式中，E(z)为采样误差信号 的z变换；R(z)为输入采样信号 的z变换。E*(s)C*(s)R*(s)R(s)G(s)C(s)E(s)图7.15 采样控制系统 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础74若闭环系统稳定，利用终值定理，不难求出在输入信号作用下采样系统的给定稳态误差终值 (7.41) 由此可见，离散系统的稳态误差与连续系统的类似，与输入信号r(t)及系统开环脉冲传递函数G(z)的结构参数有关。 由于z平面上z=1的极点与s平面上的s=0的极点相对应，因此离散控制系统可以按其开环脉冲传递函数G(z)中含有0，1，2，个z=1的极点，而分为0型，I型，型系统。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础75下面讨论在典型输入信号作用下，系统的稳态误差终值的计算。 1.单位阶跃输入时 ， ，将R(z)代人式(7.41)，得 (7.42) 其中， 定义为系统的位置误差系数。 在阶跃输入信号作用下，采样系统的稳态误差终值与位置误差系数基本成反比。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础762.单位速度输入时 ， ，将R(z)代人式(7.41)，得 (7.43) 其中 ，定义为系统的速度误差系数。 在速度输入信号的作用下，采样系统的稳态误差终值与速度误差系数成反比。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础773.单位加速度输入时 ， ，将R(z)代人式(7.41)，得 (7.44) 其中 ，定义为系统的加速度误差系数。 在加速度输入信号的作用下，采样系统的稳态误差终值与加速度误差系数成反比。书表7.2列出了以上三种输入信号作用下之稳态误差终值。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础78 由此可见，在采样控制系统中，当典型输入信号和系统类型不同时所得的关于稳态误差终值的结论和连续系统中的结论是相似的。 但应注意，在采样控制系统中，有差系统的稳态误差还与采样周期的大小有关，缩短采样周期将会减小稳态误差。上述结果只是采样时刻的稳态误差，在采样时刻之间还将附加由高频频谱信号产生的纹波所引起的误差。有时，这部分误差会较大，在分析和设计系统时应当注意。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础797.6.37.6.3采样控制系统的动态特性分析采样控制系统的动态特性分析采样控制系统的动态特性分析采样控制系统的动态特性分析 由线性连续系统理论可知，闭环极点及零点在s平面的分布对反馈系统瞬态响应起着决定性的作用。与此相类似，闭环采样控制系统的瞬态响应与闭环脉冲传递函数极点、零点在z平面上的分布也密切相关。设闭环采样系统的脉冲传递函数为 (7.45) 式中，N(z)、D(z)分别为分子、分母多项式。 设闭环脉冲传递函数的极点为pi(i=1，2，n)，为了简化问题，假设没有重极点。当输入信号r(t)为单位阶跃信号时，这时系统输出信号的z变换为 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础80(7.46) 上式第一项为系统输出采样信号的稳态分量；第二项为输出采样信号的瞬态响应分量，是由系统的固有特性所决定的，其取决于系统闭环脉冲传递函数极点、零点在z平面上的分布位置。 z平面上不同位置闭环极点对应的瞬态响应分量如图7.16所示。由图可见，闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的位置决定了相应瞬态分量的性质和特点，也就决定了输出瞬态响应的性质和特征。 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础81图7.16 不同位置闭环极点对应的瞬态响应 7 7 采样采样采样采样控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础控制系统分析基础82 1.只要闭环极点在z平面的单位圆内，离散控制系统总是稳定的，其瞬态响应是衰减的，极点距离z平面坐标原点越近，则衰减速度越快。 2.为了使采样控制系统具有较好的动态性能，希望它的主导极点分布在z平面单位圆的右半圆内，而且离原点不要太远，与实轴的夹角要适中。 3.至于系统的零点，虽然不影响系统的稳定性，但影响系统的动态性能，因为其影响动态响应的系数Ai，零点对系统动态性能影响的分析比较困难，在此不做详细的论述。 4.在采样系统中，动态性能的分析，在采样瞬时有效，有些系统尽管在采样时刻的性能很好，但采样时刻之间的纹波可能仍然较大，特别是在采样周期较大时。若需进一步研究采样时刻之间系统的性能，则需采用广义z变换的知识。