第九章第九章 矩形板的弯曲理论矩形板的弯曲理论主要讨论的对象：主要讨论的对象：主要讨论的对象：主要讨论的对象： 承受各种垂直于板面载荷的承受各种垂直于板面载荷的承受各种垂直于板面载荷的承受各种垂直于板面载荷的, , , ,具有不同边界条具有不同边界条具有不同边界条具有不同边界条件的矩形平板弯曲时的应力与变形问题。其中应力主要是弯曲正应力件的矩形平板弯曲时的应力与变形问题。其中应力主要是弯曲正应力件的矩形平板弯曲时的应力与变形问题。其中应力主要是弯曲正应力件的矩形平板弯曲时的应力与变形问题。其中应力主要是弯曲正应力, , , ,变形主要是挠度。变形主要是挠度。变形主要是挠度。变形主要是挠度。 基基基基本本本本假假假假定定定定(1)(1)直法线假定直法线假定直法线假定直法线假定 ExitNextPre薄板薄板薄板薄板薄板的特点薄板的特点薄板的特点薄板的特点薄板的应力薄板的应力薄板的应力薄板的应力薄板的应变薄板的应变薄板的应变薄板的应变应力应变应力应变应力应变应力应变关系式关系式关系式关系式船体结构中的板属于薄板的范畴船体结构中的板属于薄板的范畴船体结构中的板属于薄板的范畴船体结构中的板属于薄板的范畴. . . . 薄板是指板的厚度薄板是指板的厚度薄板是指板的厚度薄板是指板的厚度t t与板短边与板短边与板短边与板短边b b的比值在以下范围之内：的比值在以下范围之内：的比值在以下范围之内：的比值在以下范围之内：对于通常的海船甲板与外板对于通常的海船甲板与外板对于通常的海船甲板与外板对于通常的海船甲板与外板, ,t t / /b b常在常在常在常在1/401/601/401/60左左左左右右右右, ,对于舱壁板对于舱壁板对于舱壁板对于舱壁板, ,t t / /b b还要更小些，约为还要更小些，约为还要更小些，约为还要更小些，约为1/1001/100左右左右左右左右 根据图形说明矩形板的受力特点根据图形说明矩形板的受力特点根据图形说明矩形板的受力特点根据图形说明矩形板的受力特点. .在材料力学里曾分析在材料力学里曾分析在材料力学里曾分析在材料力学里曾分析任何单元都有六个应任何单元都有六个应任何单元都有六个应任何单元都有六个应力和六个方向的应变力和六个方向的应变力和六个方向的应变力和六个方向的应变, ,对于薄板的弯曲对于薄板的弯曲对于薄板的弯曲对于薄板的弯曲, ,实际实际实际实际上因上因上因上因 z z x x, , y y, ,而而而而可不计可不计可不计可不计 z z , ,并不计应变并不计应变并不计应变并不计应变 z z认为板在认为板在认为板在认为板在x x, ,y y方向的方向的方向的方向的微块断面满足平断面微块断面满足平断面微块断面满足平断面微块断面满足平断面假定假定假定假定( (由此导得的由此导得的由此导得的由此导得的“ “直法直法直法直法线假定线假定线假定线假定” ”), ),从而认为从而认为从而认为从而认为 x x z z= = yzyz=0=0 92 板的筒形弯曲板的筒形弯曲 ExitNextPre筒形弯曲筒形弯曲筒形弯曲筒形弯曲cylindrical bendingcylindrical bending板的边长比相当大（板的边长比相当大（板的边长比相当大（板的边长比相当大（ 2.5-32.5-3）并且外载荷沿板的长边不变化。并且外载荷沿板的长边不变化。并且外载荷沿板的长边不变化。并且外载荷沿板的长边不变化。板条梁板条梁板条梁板条梁在研究板的筒形弯曲时，在板的筒形部分沿在研究板的筒形弯曲时，在板的筒形部分沿在研究板的筒形弯曲时，在板的筒形部分沿在研究板的筒形弯曲时，在板的筒形部分沿弯曲方向取一个单位宽度的狭条梁来研究。弯曲方向取一个单位宽度的狭条梁来研究。弯曲方向取一个单位宽度的狭条梁来研究。弯曲方向取一个单位宽度的狭条梁来研究。 板在弯曲时板在弯曲时板在弯曲时板在弯曲时, ,一般在一般在一般在一般在x x和和和和y y方向均有曲率方向均有曲率方向均有曲率方向均有曲率, ,因此问题要比梁的弯曲复杂。因此问题要比梁的弯曲复杂。因此问题要比梁的弯曲复杂。因此问题要比梁的弯曲复杂。但是在最简单的情况下板只有一个方向有曲率但是在最简单的情况下板只有一个方向有曲率但是在最简单的情况下板只有一个方向有曲率但是在最简单的情况下板只有一个方向有曲率, ,这时板的弯曲与梁的弯曲有许这时板的弯曲与梁的弯曲有许这时板的弯曲与梁的弯曲有许这时板的弯曲与梁的弯曲有许多类似的地方多类似的地方多类似的地方多类似的地方, ,并可应用梁的弯曲公式求解并可应用梁的弯曲公式求解并可应用梁的弯曲公式求解并可应用梁的弯曲公式求解-即叫做即叫做即叫做即叫做板发生筒形弯曲板发生筒形弯曲板发生筒形弯曲板发生筒形弯曲。ExitNextPre 板条梁的特点板条梁的特点板条梁的特点板条梁的特点应力应变应力应变应力应变应力应变关系式关系式关系式关系式弯曲微分方程弯曲微分方程弯曲微分方程弯曲微分方程筒形刚度或弯筒形刚度或弯筒形刚度或弯筒形刚度或弯曲刚度曲刚度曲刚度曲刚度弯曲正应力弯曲正应力弯曲正应力弯曲正应力板表面的最大板表面的最大板表面的最大板表面的最大弯曲正应力弯曲正应力弯曲正应力弯曲正应力单位单位单位单位q: N/mm2 M: Nmm约束的差别约束的差别约束的差别约束的差别: : 板条梁与普板条梁与普板条梁与普板条梁与普通梁的弯曲变形是一致的通梁的弯曲变形是一致的通梁的弯曲变形是一致的通梁的弯曲变形是一致的, ,差别仅在于板条梁两个侧差别仅在于板条梁两个侧差别仅在于板条梁两个侧差别仅在于板条梁两个侧面受到相邻板的约束而不面受到相邻板的约束而不面受到相邻板的约束而不面受到相邻板的约束而不能自由变形能自由变形能自由变形能自由变形, ,而普通梁的而普通梁的而普通梁的而普通梁的侧面是自由的。侧面是自由的。侧面是自由的。侧面是自由的。变形差别变形差别变形差别变形差别: : 板条梁在变形板条梁在变形板条梁在变形板条梁在变形后的截面仍为矩形，而普后的截面仍为矩形，而普后的截面仍为矩形，而普后的截面仍为矩形，而普通梁弯曲后的截面不再保通梁弯曲后的截面不再保通梁弯曲后的截面不再保通梁弯曲后的截面不再保持矩形持矩形持矩形持矩形( (受压部分缩小，受压部分缩小，受压部分缩小，受压部分缩小，受拉部分扩大受拉部分扩大受拉部分扩大受拉部分扩大) ) 1)1)板条梁与普通梁的差别板条梁与普通梁的差别板条梁与普通梁的差别板条梁与普通梁的差别2)2)受力分析特点受力分析特点受力分析特点受力分析特点( ( ( (板长边上仅受垂直板面的均布载荷板长边上仅受垂直板面的均布载荷板长边上仅受垂直板面的均布载荷板长边上仅受垂直板面的均布载荷) ) ) )对板条梁对板条梁对板条梁对板条梁 y y=0,=0,对普通梁对普通梁对普通梁对普通梁 y y00n n二、筒形板的复杂弯曲二、筒形板的复杂弯曲二、筒形板的复杂弯曲二、筒形板的复杂弯曲（课堂自学后讲）（课堂自学后讲）（课堂自学后讲）（课堂自学后讲）ExitNextPre 在船体结构中横骨架式的甲板板与船底板在船体结构中横骨架式的甲板板与船底板在船体结构中横骨架式的甲板板与船底板在船体结构中横骨架式的甲板板与船底板, ,它们的边长比足够大它们的边长比足够大它们的边长比足够大它们的边长比足够大, ,并且除了并且除了并且除了并且除了横载荷外横载荷外横载荷外横载荷外还还还还在长边受到作用于板平面内的均布的总弯曲应力在长边受到作用于板平面内的均布的总弯曲应力在长边受到作用于板平面内的均布的总弯曲应力在长边受到作用于板平面内的均布的总弯曲应力( (中面应力中面应力中面应力中面应力) )。在这种情况下板仍将发生筒形弯曲。在这种情况下板仍将发生筒形弯曲。在这种情况下板仍将发生筒形弯曲。在这种情况下板仍将发生筒形弯曲, ,在板中取出的板条梁在板中取出的板条梁在板中取出的板条梁在板中取出的板条梁将处于如图所示的复杂弯曲状态，因此板条梁的求解就要用到复杂将处于如图所示的复杂弯曲状态，因此板条梁的求解就要用到复杂将处于如图所示的复杂弯曲状态，因此板条梁的求解就要用到复杂将处于如图所示的复杂弯曲状态，因此板条梁的求解就要用到复杂弯曲梁的结果。弯曲梁的结果。弯曲梁的结果。弯曲梁的结果。 根据前面同样的分析根据前面同样的分析根据前面同样的分析根据前面同样的分析, ,不难得到板条梁不难得到板条梁不难得到板条梁不难得到板条梁复杂弯曲的微分方程式及基本关系为复杂弯曲的微分方程式及基本关系为复杂弯曲的微分方程式及基本关系为复杂弯曲的微分方程式及基本关系为: :板条梁的弯曲要素亦可利用附录板条梁的弯曲要素亦可利用附录板条梁的弯曲要素亦可利用附录板条梁的弯曲要素亦可利用附录B B中的结果。中的结果。中的结果。中的结果。 板条梁的总应力为弯曲应力与中面应力之板条梁的总应力为弯曲应力与中面应力之板条梁的总应力为弯曲应力与中面应力之板条梁的总应力为弯曲应力与中面应力之代数和代数和代数和代数和, ,最大应力总是在板的表面最大应力总是在板的表面最大应力总是在板的表面最大应力总是在板的表面, ,其值为其值为其值为其值为: : n例题：例题：如下图所示，l=1000mm,t=10mm,受均布载荷q=0.05N/,并有中面应力 ， 计算此板条梁的最大应力。 。ExitNextPre 计算3.7 计算0.14附录B-3 计算-875N.mm/mm最大弯曲应力52.5N/mm2最大总应力152.5N/mm2板条梁的最大弯曲应力375N/mm2如果此板如果此板如果此板如果此板不受中面力不受中面力不受中面力不受中面力 ExitNextPre刚性刚性刚性刚性板板板板中面力对弯曲要中面力对弯曲要中面力对弯曲要中面力对弯曲要素可以忽略不计素可以忽略不计素可以忽略不计素可以忽略不计的板。的板。的板。的板。 或同时受有中面力但或同时受有中面力但或同时受有中面力但或同时受有中面力但柔性柔性柔性柔性板板板板中面力对弯曲要中面力对弯曲要中面力对弯曲要中面力对弯曲要素不可忽略的板。素不可忽略的板。素不可忽略的板。素不可忽略的板。 或无外加中面力但或无外加中面力但或无外加中面力但或无外加中面力但薄膜薄膜薄膜薄膜板的中面力远较板的中面力远较板的中面力远较板的中面力远较弯曲力大，板主弯曲力大，板主弯曲力大，板主弯曲力大，板主要靠中面拉力承要靠中面拉力承要靠中面拉力承要靠中面拉力承载。载。载。载。发生在相当薄且挠度大的板中，船发生在相当薄且挠度大的板中，船发生在相当薄且挠度大的板中，船发生在相当薄且挠度大的板中，船体结构中丧失稳定性后的板有这种体结构中丧失稳定性后的板有这种体结构中丧失稳定性后的板有这种体结构中丧失稳定性后的板有这种性质。性质。性质。性质。在板的弯曲问题中常把板分为以下几类在板的弯曲问题中常把板分为以下几类在板的弯曲问题中常把板分为以下几类在板的弯曲问题中常把板分为以下几类: : 由例子得结论：由例子得结论：由例子得结论：由例子得结论：(1)(1)中面拉力对板的承载起了很大的作用；中面拉力对板的承载起了很大的作用；中面拉力对板的承载起了很大的作用；中面拉力对板的承载起了很大的作用；(2)(2)如果没有中面力如果没有中面力如果没有中面力如果没有中面力, ,板在横荷重下就会发生很大的应力与变形；板在横荷重下就会发生很大的应力与变形；板在横荷重下就会发生很大的应力与变形；板在横荷重下就会发生很大的应力与变形；(3)(3)板似乎不能承受中面压力。板似乎不能承受中面压力。板似乎不能承受中面压力。板似乎不能承受中面压力。 对于船体板来说对于船体板来说对于船体板来说对于船体板来说, ,后面两个结论是不正确的后面两个结论是不正确的后面两个结论是不正确的后面两个结论是不正确的, ,实际板发生大变形实际板发生大变形实际板发生大变形实际板发生大变形, ,两端两端两端两端不可以自由趋近的支座不可以自由趋近的支座不可以自由趋近的支座不可以自由趋近的支座, ,这种支座使得板发生挠度后被拉长这种支座使得板发生挠度后被拉长这种支座使得板发生挠度后被拉长这种支座使得板发生挠度后被拉长, ,即在弯曲时产即在弯曲时产即在弯曲时产即在弯曲时产生有中面拉力生有中面拉力生有中面拉力生有中面拉力, ,这种中面力就不应忽视这种中面力就不应忽视这种中面力就不应忽视这种中面力就不应忽视, ,否则就会低估了板的承载能力否则就会低估了板的承载能力否则就会低估了板的承载能力否则就会低估了板的承载能力 93 刚性板的弯曲微分方程式刚性板的弯曲微分方程式 ExitNextPre 刚性板的弯曲微分方程式可刚性板的弯曲微分方程式可刚性板的弯曲微分方程式可刚性板的弯曲微分方程式可以用梁的弯曲微分方程式同样的以用梁的弯曲微分方程式同样的以用梁的弯曲微分方程式同样的以用梁的弯曲微分方程式同样的途径的建立途径的建立途径的建立途径的建立, ,即利用变形条件即利用变形条件即利用变形条件即利用变形条件, ,物理物理物理物理方程及静力平衡关系方程及静力平衡关系方程及静力平衡关系方程及静力平衡关系, ,其中还要用其中还要用其中还要用其中还要用到应力合成为内力的静力等效公到应力合成为内力的静力等效公到应力合成为内力的静力等效公到应力合成为内力的静力等效公式，依次导出式，依次导出式，依次导出式，依次导出 研究矩形板的一般弯曲研究矩形板的一般弯曲研究矩形板的一般弯曲研究矩形板的一般弯曲, ,并限于讨论刚性板并限于讨论刚性板并限于讨论刚性板并限于讨论刚性板, ,即不计板中面即不计板中面即不计板中面即不计板中面力对弯曲的影响。力对弯曲的影响。力对弯曲的影响。力对弯曲的影响。研究对象研究对象研究对象研究对象: :n n一、基本假定一、基本假定一、基本假定一、基本假定n n1 1直法线假定直法线假定直法线假定直法线假定：板变形前垂直于中面的法线在变形后仍为直线，并且变：板变形前垂直于中面的法线在变形后仍为直线，并且变：板变形前垂直于中面的法线在变形后仍为直线，并且变：板变形前垂直于中面的法线在变形后仍为直线，并且变形前在中面法线上的点在变形后距中面的距离不变。存在形前在中面法线上的点在变形后距中面的距离不变。存在形前在中面法线上的点在变形后距中面的距离不变。存在形前在中面法线上的点在变形后距中面的距离不变。存在 。n n2 2板在板在板在板在z z方向的正应力与其它应力分量相比可以忽略不计方向的正应力与其它应力分量相比可以忽略不计方向的正应力与其它应力分量相比可以忽略不计方向的正应力与其它应力分量相比可以忽略不计，即，即，即，即 。n n3 3不计板中面的变形不计板中面的变形不计板中面的变形不计板中面的变形。n n二、弯曲微分方程式二、弯曲微分方程式二、弯曲微分方程式二、弯曲微分方程式n n1. 1.应变与位移之间的关系应变与位移之间的关系应变与位移之间的关系应变与位移之间的关系n n2. 2.应力与应变之间的关系应力与应变之间的关系应力与应变之间的关系应力与应变之间的关系n n3. 3.断面上的力与弯矩断面上的力与弯矩断面上的力与弯矩断面上的力与弯矩n n4. 4.静力平衡条件静力平衡条件静力平衡条件静力平衡条件ExitNextPre利用变形条件利用变形条件利用变形条件利用变形条件, ,物理方程及静力平衡关系物理方程及静力平衡关系物理方程及静力平衡关系物理方程及静力平衡关系( (其中还要用到其中还要用到其中还要用到其中还要用到应力合成为内力的静力等效公式，依次导出如下。应力合成为内力的静力等效公式，依次导出如下。应力合成为内力的静力等效公式，依次导出如下。应力合成为内力的静力等效公式，依次导出如下。刚性板一般弯曲的刚性板一般弯曲的刚性板一般弯曲的刚性板一般弯曲的平衡微分方程式平衡微分方程式平衡微分方程式平衡微分方程式 : :n n三、边界条件三、边界条件三、边界条件三、边界条件ExitNextPre板自由支持板自由支持板自由支持板自由支持在刚性边界上在刚性边界上在刚性边界上在刚性边界上板刚性固定板刚性固定板刚性固定板刚性固定在刚性边界上在刚性边界上在刚性边界上在刚性边界上板的边缘为板的边缘为板的边缘为板的边缘为自由边自由边自由边自由边自由支持在刚性周界上板的边界条件为边缘处挠度等于零自由支持在刚性周界上板的边界条件为边缘处挠度等于零自由支持在刚性周界上板的边界条件为边缘处挠度等于零自由支持在刚性周界上板的边界条件为边缘处挠度等于零和边缘处的弯矩等于零和边缘处的弯矩等于零和边缘处的弯矩等于零和边缘处的弯矩等于零 此边界条件是边缘处的挠度等于零和支持边缘的转角等于零此边界条件是边缘处的挠度等于零和支持边缘的转角等于零此边界条件是边缘处的挠度等于零和支持边缘的转角等于零此边界条件是边缘处的挠度等于零和支持边缘的转角等于零 板的边缘为自由边板的边缘为自由边板的边缘为自由边板的边缘为自由边: :在这种情形中在这种情形中在这种情形中在这种情形中, ,支持周界支持周界支持周界支持周界既不妨碍弯曲既不妨碍弯曲既不妨碍弯曲既不妨碍弯曲, ,亦不妨碍边缘的转角。亦不妨碍边缘的转角。亦不妨碍边缘的转角。亦不妨碍边缘的转角。若若若若y y= =b b的边为自由边的边为自由边的边为自由边的边为自由边, ,则该边应满足：则该边应满足：则该边应满足：则该边应满足：对于悬空的角点上对于悬空的角点上对于悬空的角点上对于悬空的角点上, ,还应该满足还应该满足还应该满足还应该满足集中反力为零为条件集中反力为零为条件集中反力为零为条件集中反力为零为条件 求解刚性板的弯曲问题求解刚性板的弯曲问题求解刚性板的弯曲问题求解刚性板的弯曲问题, ,实际上就是在已知外荷重、板的尺寸、材料性质实际上就是在已知外荷重、板的尺寸、材料性质实际上就是在已知外荷重、板的尺寸、材料性质实际上就是在已知外荷重、板的尺寸、材料性质以及边界条件情况下以及边界条件情况下以及边界条件情况下以及边界条件情况下, ,对微分方程式对微分方程式对微分方程式对微分方程式 进行积分进行积分进行积分进行积分 94 刚性板弯曲的解刚性板弯曲的解在求得板的挠曲函数在求得板的挠曲函数在求得板的挠曲函数在求得板的挠曲函数w w( (x x, ,y y) )之后之后之后之后, ,借助于公式借助于公式借助于公式借助于公式决定弯矩及扭矩决定弯矩及扭矩决定弯矩及扭矩决定弯矩及扭矩, ,从而可算出从而可算出从而可算出从而可算出弯曲正应力和剪应力。弯曲正应力和剪应力。弯曲正应力和剪应力。弯曲正应力和剪应力。对于四周自由支持的板对于四周自由支持的板对于四周自由支持的板对于四周自由支持的板, ,板的挠曲面函数在支持周界上必须适合下列条件：板的挠曲面函数在支持周界上必须适合下列条件：板的挠曲面函数在支持周界上必须适合下列条件：板的挠曲面函数在支持周界上必须适合下列条件： ( (应用双三角级数对板弯曲问题的解称为应用双三角级数对板弯曲问题的解称为应用双三角级数对板弯曲问题的解称为应用双三角级数对板弯曲问题的解称为“ “纳维叶解纳维叶解纳维叶解纳维叶解” ”) ) 1. 1.应用双三角级数解四边自由支持板应用双三角级数解四边自由支持板应用双三角级数解四边自由支持板应用双三角级数解四边自由支持板的弯曲的弯曲的弯曲的弯曲-方法就是应用傅里叶级数展开方法就是应用傅里叶级数展开方法就是应用傅里叶级数展开方法就是应用傅里叶级数展开为求解微分方程式为求解微分方程式为求解微分方程式为求解微分方程式, ,可将可将可将可将w w( (x x, ,y y) )写成下面的级数形式写成下面的级数形式写成下面的级数形式写成下面的级数形式: :式中式中式中式中A Amnmn为未知的待定常数为未知的待定常数为未知的待定常数为未知的待定常数 上式上式上式上式w w( (x x, ,y y) )满足边界条件式满足边界条件式满足边界条件式满足边界条件式将将将将w w( (x x, ,y y) )代入微分方程式得代入微分方程式得代入微分方程式得代入微分方程式得: : 将荷重将荷重将荷重将荷重q q( (x x, ,y y) )也展成和挠曲函数相对应的级数形式也展成和挠曲函数相对应的级数形式也展成和挠曲函数相对应的级数形式也展成和挠曲函数相对应的级数形式( (傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数) )： 式中式中式中式中q qmnmn为傅里叶系数为傅里叶系数为傅里叶系数为傅里叶系数即可求出即可求出即可求出即可求出A Amnmn如下：如下：如下：如下： 于是得板的挠曲线方程式为于是得板的挠曲线方程式为于是得板的挠曲线方程式为于是得板的挠曲线方程式为: :下面我们考虑两个情况：下面我们考虑两个情况：下面我们考虑两个情况：下面我们考虑两个情况：（1 1）若板上受均布荷重）若板上受均布荷重）若板上受均布荷重）若板上受均布荷重 q q0 0 ，这时，这时，这时，这时所以所以所以所以 从这里看到从这里看到从这里看到从这里看到, ,级数的分母是级数的分母是级数的分母是级数的分母是mm, ,n n的五次式的五次式的五次式的五次式, ,因此这个级数的收敛性比较好因此这个级数的收敛性比较好因此这个级数的收敛性比较好因此这个级数的收敛性比较好, ,计算时计算时计算时计算时级数往往取一、二项就足够精确了。但是级数往往取一、二项就足够精确了。但是级数往往取一、二项就足够精确了。但是级数往往取一、二项就足够精确了。但是, ,在求弯矩时须求二次导数在求弯矩时须求二次导数在求弯矩时须求二次导数在求弯矩时须求二次导数, ,收敛性要收敛性要收敛性要收敛性要差些。差些。差些。差些。(2) (2) 若板上受集中力若板上受集中力若板上受集中力若板上受集中力p p，它的作用点的坐标为，它的作用点的坐标为，它的作用点的坐标为，它的作用点的坐标为 , , 这时系数这时系数这时系数这时系数q qmnmn可这样来决定可这样来决定可这样来决定可这样来决定: :在集中力的在集中力的在集中力的在集中力的作用处作用处作用处作用处, ,取边长为取边长为取边长为取边长为dddd的矩形微块的矩形微块的矩形微块的矩形微块, ,并并并并且认为在此微块且认为在此微块且认为在此微块且认为在此微块dddd上作用着强度上作用着强度上作用着强度上作用着强度为为为为 的分布荷重的分布荷重的分布荷重的分布荷重 应用上述均布载荷下的公式应用上述均布载荷下的公式应用上述均布载荷下的公式应用上述均布载荷下的公式, ,得得得得: : 当当当当dd, ,dd趋于零时趋于零时趋于零时趋于零时, ,其极限为其极限为其极限为其极限为: : 于是于是于是于是 从所得解的结果看到从所得解的结果看到从所得解的结果看到从所得解的结果看到, ,式中可将两个正弦函数互换位置式中可将两个正弦函数互换位置式中可将两个正弦函数互换位置式中可将两个正弦函数互换位置, ,说明当说明当说明当说明当P P作用在作用在作用在作用在( ( , ,)处处处处, ,则则则则在板任意点在板任意点在板任意点在板任意点( (x x, ,y y) )处引起的挠度就等于处引起的挠度就等于处引起的挠度就等于处引起的挠度就等于P P作用在板上任意点作用在板上任意点作用在板上任意点作用在板上任意点( (x x, ,y y) )处在处在处在处在( ( , ,)处所产生的挠度处所产生的挠度处所产生的挠度处所产生的挠度, ,这就是这就是这就是这就是位移互等定理位移互等定理位移互等定理位移互等定理。 2.2.2.2.应用单三角级数解一对边自由支持板的弯曲应用单三角级数解一对边自由支持板的弯曲应用单三角级数解一对边自由支持板的弯曲应用单三角级数解一对边自由支持板的弯曲 对于一对边对于一对边对于一对边对于一对边( (x x=0=0及及及及x x= =a a的边的边的边的边) )为自由支持为自由支持为自由支持为自由支持, ,另一对边为任意固定情况另一对边为任意固定情况另一对边为任意固定情况另一对边为任意固定情况的板的板的板的板, ,我们可以将板的弯曲微分方程式的解取为单三角级数形式：我们可以将板的弯曲微分方程式的解取为单三角级数形式：我们可以将板的弯曲微分方程式的解取为单三角级数形式：我们可以将板的弯曲微分方程式的解取为单三角级数形式：上式满足上式满足上式满足上式满足x x=0=0及及及及x x= =a a的自由支持的边界条件。其中的自由支持的边界条件。其中的自由支持的边界条件。其中的自由支持的边界条件。其中f fmm( (y y) )为为为为y y的任意函数的任意函数的任意函数的任意函数, ,它可以由平衡方程式和它可以由平衡方程式和它可以由平衡方程式和它可以由平衡方程式和y y=0=0及及及及y y= =b b处的边界条件来决定。处的边界条件来决定。处的边界条件来决定。处的边界条件来决定。将将将将w w( (x x, ,y y) )代入板的弯曲微分方程式得代入板的弯曲微分方程式得代入板的弯曲微分方程式得代入板的弯曲微分方程式得: : 为着要决定函数为着要决定函数为着要决定函数为着要决定函数f fmm( (y y), ),把荷重把荷重把荷重把荷重q q( (x x, ,y y) )展开成相应的单三角级数：展开成相应的单三角级数：展开成相应的单三角级数：展开成相应的单三角级数：式中式中式中式中 单三角级数解题的本质是分离变量法单三角级数解题的本质是分离变量法单三角级数解题的本质是分离变量法单三角级数解题的本质是分离变量法, ,即将一个关于即将一个关于即将一个关于即将一个关于x,yx,y的偏微的偏微的偏微的偏微分方程化为一个变量分方程化为一个变量分方程化为一个变量分方程化为一个变量y y的常微分方程。的常微分方程。的常微分方程。的常微分方程。单三角级数解题的本质单三角级数解题的本质单三角级数解题的本质单三角级数解题的本质: :将式将式将式将式q q( (x x, ,y y) )代入板的弯曲微分方程式中代入板的弯曲微分方程式中代入板的弯曲微分方程式中代入板的弯曲微分方程式中, ,得得得得: :上式是一个典型的常微分方程上式是一个典型的常微分方程上式是一个典型的常微分方程上式是一个典型的常微分方程, ,它的一般解由齐次方程的通解它的一般解由齐次方程的通解它的一般解由齐次方程的通解它的一般解由齐次方程的通解和它的特解组成和它的特解组成和它的特解组成和它的特解组成 该微分方程式的一般解为：该微分方程式的一般解为：该微分方程式的一般解为：该微分方程式的一般解为：式中式中式中式中F Fmm( (y y) )为特解为特解为特解为特解, ,积分常数可以由积分常数可以由积分常数可以由积分常数可以由y=0y=0及及及及y=by=b处的边界条件来决定。处的边界条件来决定。处的边界条件来决定。处的边界条件来决定。 例例例例 试决定自由支持在边缘试决定自由支持在边缘试决定自由支持在边缘试决定自由支持在边缘x x=0=0与与与与x x=a=a处及刚性固定在边缘处及刚性固定在边缘处及刚性固定在边缘处及刚性固定在边缘y y=b b/2/2处的板的挠曲面处的板的挠曲面处的板的挠曲面处的板的挠曲面( (如图如图如图如图) )。板上受均匀分布荷重。板上受均匀分布荷重。板上受均匀分布荷重。板上受均匀分布荷重q q0 0。( (先判断先判断先判断先判断, ,用单三角用单三角用单三角用单三角) )解解解解: : 由于板的挠曲面对称于由于板的挠曲面对称于由于板的挠曲面对称于由于板的挠曲面对称于x x = 0 = 0轴轴轴轴, ,因而函数因而函数因而函数因而函数f fmm= =（y y）中的奇函数项的）中的奇函数项的）中的奇函数项的）中的奇函数项的系数就应等于零系数就应等于零系数就应等于零系数就应等于零, ,即即即即B Bmm= =C Cmm=0,=0,于是于是于是于是 其中特解其中特解其中特解其中特解F Fmm（y y）可以这样求得。）可以这样求得。）可以这样求得。）可以这样求得。因为因为因为因为( (当取当取当取当取m=1,3,5)m=1,3,5)所以所以所以所以从此方程中看到从此方程中看到从此方程中看到从此方程中看到, ,只要取特解为常数就能成为方程的解只要取特解为常数就能成为方程的解只要取特解为常数就能成为方程的解只要取特解为常数就能成为方程的解, ,从而得从而得从而得从而得: : 所以所以所以所以积分常数积分常数积分常数积分常数A Amm、D Dmm可以由可以由可以由可以由y y=b b/2/2处的边界条件来决定处的边界条件来决定处的边界条件来决定处的边界条件来决定当当当当 时，时，时，时， 即即即即 将上式代入板的刚性固定边界条件将上式代入板的刚性固定边界条件将上式代入板的刚性固定边界条件将上式代入板的刚性固定边界条件, ,得得得得: : 由此解得由此解得由此解得由此解得: :式中式中式中式中: :将求得之常数代入将求得之常数代入将求得之常数代入将求得之常数代入f fmm式中，得式中，得式中，得式中，得: :于是得板的挠曲面函数为于是得板的挠曲面函数为于是得板的挠曲面函数为于是得板的挠曲面函数为: : 应用单三角级数对板弯曲问题的解称为应用单三角级数对板弯曲问题的解称为应用单三角级数对板弯曲问题的解称为应用单三角级数对板弯曲问题的解称为“ “列维列维列维列维(Levy)(Levy)解解解解” ”。 3.3.四周刚性固定的板的解四周刚性固定的板的解四周刚性固定的板的解四周刚性固定的板的解 对于大多数受均布荷重作用的船体板对于大多数受均布荷重作用的船体板对于大多数受均布荷重作用的船体板对于大多数受均布荷重作用的船体板, , , ,由于荷重和结构都对称于由于荷重和结构都对称于由于荷重和结构都对称于由于荷重和结构都对称于板格的支座板格的支座板格的支座板格的支座, , , ,因此通常认为板的四边都是刚性固定在刚性支座上。因此通常认为板的四边都是刚性固定在刚性支座上。因此通常认为板的四边都是刚性固定在刚性支座上。因此通常认为板的四边都是刚性固定在刚性支座上。 四周刚性固定板的求解要比上面所讨论的一对边或四边自由支持的四周刚性固定板的求解要比上面所讨论的一对边或四边自由支持的四周刚性固定板的求解要比上面所讨论的一对边或四边自由支持的四周刚性固定板的求解要比上面所讨论的一对边或四边自由支持的板要困难得多。板要困难得多。板要困难得多。板要困难得多。通常做法是通常做法是通常做法是通常做法是: : 将这种板化成两个四边自由支持的板叠加求解将这种板化成两个四边自由支持的板叠加求解将这种板化成两个四边自由支持的板叠加求解将这种板化成两个四边自由支持的板叠加求解：其中一个是受均布荷重作用的自由支持板其中一个是受均布荷重作用的自由支持板其中一个是受均布荷重作用的自由支持板其中一个是受均布荷重作用的自由支持板, ,另一个是在四边有分布另一个是在四边有分布另一个是在四边有分布另一个是在四边有分布弯矩作用的自由支持板弯矩作用的自由支持板弯矩作用的自由支持板弯矩作用的自由支持板, ,如图。如图。如图。如图。显然这两种板都可以用双三角级数解法计算。显然这两种板都可以用双三角级数解法计算。显然这两种板都可以用双三角级数解法计算。显然这两种板都可以用双三角级数解法计算。要求图要求图要求图要求图 (a) (a)与图与图与图与图 (b) (b)叠加后的结果就是四周刚性固定受均布荷重作用叠加后的结果就是四周刚性固定受均布荷重作用叠加后的结果就是四周刚性固定受均布荷重作用叠加后的结果就是四周刚性固定受均布荷重作用的板的板的板的板, ,要使图要使图要使图要使图 (b) (b)中板边的分布的弯矩恰好形成板边的转角与图中板边的分布的弯矩恰好形成板边的转角与图中板边的分布的弯矩恰好形成板边的转角与图中板边的分布的弯矩恰好形成板边的转角与图 (a) (a)中中中中受均布荷重作用的板边形成转角大小相等方向相反受均布荷重作用的板边形成转角大小相等方向相反受均布荷重作用的板边形成转角大小相等方向相反受均布荷重作用的板边形成转角大小相等方向相反, ,加起来等于零加起来等于零加起来等于零加起来等于零。 参阅上图的板结构参阅上图的板结构参阅上图的板结构参阅上图的板结构, ,长边为长边为长边为长边为a a, ,短边为短边为短边为短边为b b的四周刚性固定受均布荷重的四周刚性固定受均布荷重的四周刚性固定受均布荷重的四周刚性固定受均布荷重作用的矩形板的挠度与弯矩的计算公式为作用的矩形板的挠度与弯矩的计算公式为作用的矩形板的挠度与弯矩的计算公式为作用的矩形板的挠度与弯矩的计算公式为: :板中点的挠度板中点的挠度板中点的挠度板中点的挠度: :1 1板中点板中点板中点板中点, ,与短边平行的断面与短边平行的断面与短边平行的断面与短边平行的断面( (垂直于垂直于垂直于垂直于x x轴的断面轴的断面轴的断面轴的断面) )中的弯矩中的弯矩中的弯矩中的弯矩: :2 2板中点板中点板中点板中点, ,与长边平行的断面与长边平行的断面与长边平行的断面与长边平行的断面( (垂直于垂直于垂直于垂直于y y轴的断面轴的断面轴的断面轴的断面) )中的弯矩中的弯矩中的弯矩中的弯矩: :3 3板短边中点的弯矩板短边中点的弯矩板短边中点的弯矩板短边中点的弯矩: :4 4板长边中点的弯矩板长边中点的弯矩板长边中点的弯矩板长边中点的弯矩: :5 5以上公式中的系数以上公式中的系数以上公式中的系数以上公式中的系数k k1 1、k k2 2、k k3 3、k k4 4及及及及k k5 5随板的边长比而变化随板的边长比而变化随板的边长比而变化随板的边长比而变化, ,见图见图见图见图9-209-20ExitNextPre 由以上公式求出了板的弯矩后由以上公式求出了板的弯矩后由以上公式求出了板的弯矩后由以上公式求出了板的弯矩后, ,板上下表面的弯曲正应力可按下式板上下表面的弯曲正应力可按下式板上下表面的弯曲正应力可按下式板上下表面的弯曲正应力可按下式计算计算计算计算: : 上式表示上式表示上式表示上式表示, ,当当当当MM为正时为正时为正时为正时( (板中点板中点板中点板中点), ),板的上表面为压应力板的上表面为压应力板的上表面为压应力板的上表面为压应力, ,下表面为下表面为下表面为下表面为拉应力拉应力拉应力拉应力; ;当当当当MM为负时为负时为负时为负时( (板边上板边上板边上板边上), ),板的板的板的板的上表面为拉应力上表面为拉应力上表面为拉应力上表面为拉应力, ,下表面为压应力下表面为压应力下表面为压应力下表面为压应力. . 当当当当a a/ /b b相当大时相当大时相当大时相当大时, , k k5 5=0.0833,=0.0833,由此得长边中点断面的最大由此得长边中点断面的最大由此得长边中点断面的最大由此得长边中点断面的最大弯曲应力为弯曲应力为弯曲应力为弯曲应力为: :此式常用来校核船体板在此式常用来校核船体板在此式常用来校核船体板在此式常用来校核船体板在局部强度计算中的应力局部强度计算中的应力局部强度计算中的应力局部强度计算中的应力 横骨架式船体板横骨架式船体板横骨架式船体板横骨架式船体板( (见图见图见图见图9-21),9-21),设短边长度为设短边长度为设短边长度为设短边长度为s, s,则当边长比相当则当边长比相当则当边长比相当则当边长比相当大时大时大时大时, ,取取取取k k3 3=0.0417,=0.0417,k k5 5=0.0833,=0.0833,分别得沿船长方向跨度中点和分别得沿船长方向跨度中点和分别得沿船长方向跨度中点和分别得沿船长方向跨度中点和支座断面中的应力为支座断面中的应力为支座断面中的应力为支座断面中的应力为: :两类骨架两类骨架两类骨架两类骨架形式船体形式船体形式船体形式船体的跨中应的跨中应的跨中应的跨中应力和支座力和支座力和支座力和支座断面应力断面应力断面应力断面应力纵骨架式船体板纵骨架式船体板纵骨架式船体板纵骨架式船体板(a(ab),b),当边长比当边长比当边长比当边长比相当大时相当大时相当大时相当大时, ,取取取取 k k2 2=0.0125, =0.0125, k k4 4=0.0571,=0.0571,分别得沿船长方向跨度中点和分别得沿船长方向跨度中点和分别得沿船长方向跨度中点和分别得沿船长方向跨度中点和支座断面中的应力为支座断面中的应力为支座断面中的应力为支座断面中的应力为: :例例例例 计算计算计算计算“ “庆阳庆阳庆阳庆阳” ”号船底板中的最大应力及沿船长方向的最大应力及号船底板中的最大应力及沿船长方向的最大应力及号船底板中的最大应力及沿船长方向的最大应力及号船底板中的最大应力及沿船长方向的最大应力及板的最大挠度。此船底板为纵骨架式板板的最大挠度。此船底板为纵骨架式板板的最大挠度。此船底板为纵骨架式板板的最大挠度。此船底板为纵骨架式板, ,长边长度为长边长度为长边长度为长边长度为a a=2.25 m,=2.25 m,短边短边短边短边长度为长度为长度为长度为b b=0.75 m,=0.75 m,板厚板厚板厚板厚t t=18 mm, =18 mm, 计算水头高度取为型深计算水头高度取为型深计算水头高度取为型深计算水头高度取为型深HH=12.5m=12.5m。解解解解: :板的最大应力始终发生于长边中点。板的最大应力始终发生于长边中点。板的最大应力始终发生于长边中点。板的最大应力始终发生于长边中点。当当当当HH=12.5m=12.5m时，板上单位面积的水压力为时，板上单位面积的水压力为时，板上单位面积的水压力为时，板上单位面积的水压力为q q=12.510.05=125.6=12.510.05=125.6kNkN/ /mmmm2 2=0.126=0.126 kN kN/ /mmmm2 2故故故故板沿船长方向的最大应力可按公式纵骨架式计算板沿船长方向的最大应力可按公式纵骨架式计算板沿船长方向的最大应力可按公式纵骨架式计算板沿船长方向的最大应力可按公式纵骨架式计算, ,如仍取如仍取如仍取如仍取q q=0.126=0.126 kN kN/ /mmmm2 2, ,则得则得则得则得: :板中点的最大挠度可按公式板中点的最大挠度可按公式板中点的最大挠度可按公式板中点的最大挠度可按公式(9-72)(9-72)计算计算计算计算. .当当当当a a/ /b b=3=3时时时时, ,由图由图由图由图9-209-20得得得得k k1 1=0.028,=0.028,故故故故