5.5 5.5 定积分的物理学应用定积分的物理学应用一、变力所做的功一、变力所做的功二、液体的压力二、液体的压力三、小结、作业三、小结、作业一、变力所作的功一、变力所作的功 由于力由于力 的大小随物体所在的位置变化而变化，的大小随物体所在的位置变化而变化，因此它是一个因此它是一个 的函数，记为的函数，记为 ，并且假定，并且假定在在 上连续。求变力上连续。求变力 在上在上 所作的功？所作的功？ 设物体在设物体在 轴上运动，且轴上运动，且在从在从 移动到移动到 的过程中，的过程中，一直受到跟一直受到跟 轴的正方向一轴的正方向一致的变力致的变力 的作用，的作用，如图所示如图所示 考虑用定积分的元素法。考虑用定积分的元素法。(1) 选选 为积分变量，则为积分变量，则 (2) 在在 上任取一小区间上任取一小区间 ,当物体从当物体从 移动到移动到 时，由于位移很小，变力近似于恒力，时，由于位移很小，变力近似于恒力，则在此小区间上变力所做功的元素为则在此小区间上变力所做功的元素为(3) 变力变力 在在 上所作的功为：上所作的功为： 在在弹弹性性限限度度内内，弹弹簧簧拉拉伸伸（或或压压缩缩）的的长长度度于于外外力力成成正正比比，已已知知弹弹簧簧拉拉长长（m m），需需用用9 9. .8 8 （N N）的的力力，求求把把弹弹簧簧拉拉长长（m m ）所所做做的的功功。例例1 设拉力为设拉力为 ，弹簧的伸长量为，弹簧的伸长量为 则则 （ 为比为比例系数），从而有例系数），从而有 在在 上任取一小区上任取一小区间间 ，则在此小区间上变力，则在此小区间上变力所做功的元素为所做功的元素为解解 即变力函数为：即变力函数为： 如图建立坐标系，取如图建立坐标系，取 为积分变量为积分变量于是，于是， 拉力所做的功为拉力所做的功为 则在此小区间上变力所做功则在此小区间上变力所做功的元素为的元素为解解 建立坐标系如图。建立坐标系如图。例例2 在在 上任取一小区间上任取一小区间 若将平板若将平板竖直插入竖直插入液体中，由于深度不一样的点液体中，由于深度不一样的点处压强不同，因此，平板一侧所受液体的压力就不能处压强不同，因此，平板一侧所受液体的压力就不能用上述方法计算，那如何计算它的一侧所受的压力？用上述方法计算，那如何计算它的一侧所受的压力？二、液体的压力二、液体的压力 由物理学知道，在液体内部深由物理学知道，在液体内部深 处的压强处的压强 这里这里 为液体的比重，如果把一面积为为液体的比重，如果把一面积为 的平板的平板水水平放置平放置在液体深为在液体深为 处，则平板一侧所受液体压力处，则平板一侧所受液体压力为为考虑用定积分的元素法。考虑用定积分的元素法。则在此小区间上闸门所受压力的元素为则在此小区间上闸门所受压力的元素为解解在在 上任取一小区间上任取一小区间 例例3 一个竖直的闸门，形状是等腰梯形，尺寸与坐一个竖直的闸门，形状是等腰梯形，尺寸与坐 标标 如图所示，当水面齐闸门时，求闸门所受的压力？如图所示，当水面齐闸门时，求闸门所受的压力？从而从而 则在此小区间上端面所则在此小区间上端面所受压力的元素为受压力的元素为解解 建立坐标系如图，建立坐标系如图， 在在 上任取一小区间上任取一小区间 定积分的物理应用一般使用定积分的物理应用一般使用“元素法元素法” 在求变力作功、液体的压力等物理问题时，在求变力作功、液体的压力等物理问题时， 注注意熟悉相关的物理知识意熟悉相关的物理知识三、小结三、小结