3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1 1/14/14故若故若故若故若设设设设, , , ,则则则则 相互独立相互独立相互独立相互独立若若若若不独立不独立不独立不独立, ,如何刻画它们之间的关系如何刻画它们之间的关系如何刻画它们之间的关系如何刻画它们之间的关系 相互独立相互独立相互独立相互独立, , , ,则则则则若若若若必不独立必不独立必不独立必不独立, , , ,它们之间必存在一定关系它们之间必存在一定关系它们之间必存在一定关系它们之间必存在一定关系则则则则的方差均存在的方差均存在的方差均存在的方差均存在, , , ,记记记记若若若若的的的的协方差协方差协方差协方差称称称称为为为为3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2 2/14/14相互独立相互独立相互独立相互独立若若若若对任意常数对任意常数对任意常数对任意常数有有有有3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征3 3/14/14相互独立相互独立相互独立相互独立必不独立必不独立必不独立必不独立之间必存在某种之间必存在某种之间必存在某种之间必存在某种“ “关系关系关系关系” ”这种这种这种这种“ “关系关系关系关系” ”到底是什么关系到底是什么关系到底是什么关系到底是什么关系又又又又称称称称的的的的相关系数相关系数相关系数相关系数 为为为为考虑考虑考虑考虑“ “单位化单位化单位化单位化” ”的的的的r.vr.vr.vr.v 从直观上看从直观上看从直观上看从直观上看 之间的关系与之间的关系与之间的关系与之间的关系与 之间的关之间的关之间的关之间的关系应无本质差异系应无本质差异系应无本质差异系应无本质差异, , , ,但它们的协方差但它们的协方差但它们的协方差但它们的协方差相差了相差了相差了相差了 倍倍倍倍 用相关系数用相关系数用相关系数用相关系数来度量这种关系来度量这种关系来度量这种关系来度量这种关系 的大小是的大小是的大小是的大小是否反映了否反映了否反映了否反映了这种这种这种这种“关系关系关系关系”的密切程度的密切程度的密切程度的密切程度3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4 4/14/14记记记记均方误差均方误差均方误差均方误差之间什么关系之间什么关系之间什么关系之间什么关系相关系数相关系数相关系数相关系数刻画了刻画了刻画了刻画了之间的线性关系之间的线性关系之间的线性关系之间的线性关系考虑考虑考虑考虑, , , ,即用即用即用即用r.vr.vr.vr.v近似地表示近似地表示近似地表示近似地表示为常数为常数为常数为常数令令令令解得解得解得解得即有即有即有即有3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征5 5/14/143 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征6 6/14/14其中其中其中其中为常数为常数为常数为常数3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征7 7/14/14相关相关相关相关较大时均方误差较大时均方误差较大时均方误差较大时均方误差 较小较小较小较小之间的线性关系较密切之间的线性关系较密切之间的线性关系较密切之间的线性关系较密切之间几乎就是之间几乎就是之间几乎就是之间几乎就是线性关系线性关系线性关系线性关系特别当特别当特别当特别当时时时时之间的之间的之间的之间的线性关系较弱线性关系较弱线性关系较弱线性关系较弱反之反之反之反之, , , ,当当当当较小较小较小较小时时时时正相关正相关正相关正相关当当当当时时时时, , , ,称称称称 与与与与负相关负相关负相关负相关当当当当时时时时, , , ,称称称称 与与与与不相关不相关不相关不相关当当当当时时时时, , , ,称称称称 与与与与3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征8 8/14/143 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征9 9/14/14又因为又因为又因为又因为 均为偶函数均为偶函数均为偶函数均为偶函数 设设设设服从圆域服从圆域服从圆域服从圆域上的均匀分布上的均匀分布上的均匀分布上的均匀分布, , , ,试讨论试讨论试讨论试讨论的独立性与相关性的独立性与相关性的独立性与相关性的独立性与相关性. . . .先求得先求得先求得先求得的密度函数分别为的密度函数分别为的密度函数分别为的密度函数分别为不不不不独立独立独立独立故故故故不相关不相关不相关不相关3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1010/14/14设设设设求求求求的相关系数的相关系数的相关系数的相关系数. . . .3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1111/14/14设设设设求求求求的相关系数的相关系数的相关系数的相关系数. . . .3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1212/14/14相互相互相互相互独立独立独立独立互互互互不相关不相关不相关不相关指指指指 之间没之间没之间没之间没有任何关系有任何关系有任何关系有任何关系, , , , 当当当当然也没有线性关然也没有线性关然也没有线性关然也没有线性关系系系系指指指指 之间没之间没之间没之间没有线性关系有线性关系有线性关系有线性关系, , , ,但可但可但可但可能有其它关系能有其它关系能有其它关系能有其它关系相互相互相互相互独立独立独立独立互互互互不相关不相关不相关不相关设设设设则则则则3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1313/14/14设设设设的概率密度为：的概率密度为：的概率密度为：的概率密度为：问：问：问：问： 与与与与 是否相关？是否独立？是否相关？是否独立？是否相关？是否独立？是否相关？是否独立？3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1414/14/14ENDEND17171717、20202020、21212121、23232323