自动控制原理主讲：谢红卫国防科技大学机电工程与自动化学院国防科技大学机电工程与自动化学院20082008年年4 4月月20082008年年7 7月月第三章控制系统的时域稳定性（教材第6章）3-1稳定性的基本概念3-2RouthHurwitz稳定性判据3-3RouthHurwitz稳定性判据的应用第六讲：控制系统时域稳定性（3学时）3-1稳定性的基本概念3-2RouthHurwitz稳定性判据3-3Routh判据的应用3-1 3-1 基本概念与结论基本概念与结论右图是塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。一、基本概念44个月之后，一个月之后，一阵风吹过，引起阵风吹过，引起桥的晃动，而且桥的晃动，而且越来越大，直到越来越大，直到.同理，不要在桥上齐步走！例例3.13.1麦克风和扬声器麦克风扬声器空气媒介语音信号回音信号功放信号增大功率减小距离尖叫 110 1.5 15 2 20 1 1 KkR(s)Y(s)B(s)G(s)=K/（1-K*k）拾音器正反馈例例3.13.1麦克风和扬声器系统稳定性 (输入输出稳定性): 对任何有界输入产生有界输出的系统成为稳定系统。 这种性质保证了系统的绝对稳定性。 对稳定系统而言，在稳定的前提下，还可以讨论系统的相对稳定性。 民航客机就比战斗机更加稳定。 理解理解 绝对稳定不稳定临界稳定 其中，系统的非零极点为： 和2. 系统稳定的充要条件 闭环传递函数的一般形式为：闭环传递函数的一般形式为： 其中， 是依赖于系统参数的常值系数。 当 和 取正值时，对任何有界输入， y(t)都是有界的。此时，所有闭环极点都在s平面的左半平面。 当 N=0 N=0时时, , 系统脉冲响应的一般表达式为：系统脉冲响应的一般表达式为： 例如，如果虚轴根 是二重根，对应的部分分式分解应该为： 而对应的系统脉冲响应为无界输出： 如果系统在如果系统在右半平面右半平面至少有一个极点，至少有一个极点，( (某个某个 或或 取取负值负值), ), 或在虚轴上有重根，系统对任何或在虚轴上有重根，系统对任何输入的响应都会是无界的。输入的响应都会是无界的。 此时，系统对特定的输入会出现无界输出，而对大部分有界输入产生的是有界响应。例如，存在简单虚轴极点时，系统对有界输入的响应是有界持续振荡，但当输入为有界正弦信号且频率正好为虚根幅值时，输出却是无界的。 用公式解释，留做练习！用公式解释，留做练习！ 当系统在虚轴上只有简单极点当系统在虚轴上只有简单极点 ( (含含N=1N=1) ) ，而，而其他极点都在其他极点都在左半平面左半平面内时，系统将是内时，系统将是临界稳定临界稳定的。的。 闭环系统所有的极点为负值或有负的实部，或者说，闭环系统所有的极点都位于s平面的左半平面。 归纳而言， LTIC系统绝对稳定的充要条件是 注意：注意： 由于模型的近似化，且系统的参数又处在不断由于模型的近似化，且系统的参数又处在不断的微小变化中，所以，临界稳定实际上也应视为不稳定。的微小变化中，所以，临界稳定实际上也应视为不稳定。3-2 3-2 劳思稳定性判据劳思稳定性判据判据判据 （1 1） 系统稳定的系统稳定的必要必要条件条件: :特征方程中所有项的系数均特征方程中所有项的系数均大于大于00（同号）；只要有（同号）；只要有1 1项等于或小于项等于或小于00，则为不稳定，则为不稳定系统。系统。（2 2）系统稳定的）系统稳定的充分充分条件：条件：劳思表劳思表第一第一列列元素均大于元素均大于00（同号）（同号） 。（3 3）系统）系统不稳定不稳定的的充分充分条件：条件：劳思表劳思表第一第一列列若出现小于若出现小于00的元素，则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次的元素，则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。数等于系统正实部根的个数。设特征方程为设特征方程为则则RouthRouth表为表为例则系统不稳定，且有两个正实部根。（即有2个根在S的右半平面。）一次方程:a1,a0同号，则系统稳定。二次方程:a1,a2,a0同号，则系统稳定。三次方程:a0 0,a1 1,a2 2,a3 3均大于0，且a1 1a2 2a3 3a0 0，则系统稳定。情况一、首列均不为0；情况二、首列出现0，但该行不全为0；情况三、首列出现0，且该行全为0；情况四、虚轴上有重根。其中，情况一是重点。 劳斯表情况一例、含参变量的例子：设系统特征方程为：s3+s2+s+K=0; K不等于或 劳劳 斯斯 表表111K0s0s1s2s3K1-K于是：小于，系统不稳定；大于，系统不稳定；大于且小于时，系统稳定。参数取值影响稳定性！例例3.4 设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1= -8-82 41 2劳斯表情况二 劳斯表特点劳斯表特点2 每两行个数相等，否则补0。1 右移一位降两阶3 行列式第一列不动4 次对角线减主对角线5 分母总是上一行第一个元素 7 第一列出现零元素时， 用正无穷小量代替。6 一行可同乘或同除某正数2+8/71 2 7 -8 -8 -7/( 2+8/ ）7 8 再令正无穷小量趋近于0，得到真正的劳斯表如下。系统稳定的必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定的充分条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号，则系统不稳定!本例的系统不稳定。变号的次数为s右半平面上特征根的个数!特征方程各项系数均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗稳定吗？s6s5s0s1s2s3s41463572 +71 2 7 -80 -87同号！劳斯表情况二例例3.5 含参变量的例子：设系统特征方程为：s4+s3+s2+s+=0令趋近于，劳斯表首列出现与负无穷大之积。非零时，系统总是不稳定的。劳劳 斯斯 表表1111k0s0s1s2s3s40k0(-K)/ K劳斯表情况三（不展开）例例3.6 设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳劳 斯斯 表表s0s1s2s3s451756116601 劳斯表何时会出现零行劳斯表何时会出现零行? 2 出现零行怎么办出现零行怎么办?3 如何求对称的根如何求对称的根? 由零行的上一行构成辅助方程，辅助方程的根也是特征方程的根 存在关于原点对称的特征根时，会出现零行s2+1=0111劳斯表出现零行，系统劳斯表出现零行，系统劳斯表出现零行，系统劳斯表出现零行，系统一定一定一定一定不是稳定的。不是稳定的。不是稳定的。不是稳定的。 求解辅助方程得: s1,2=j由综合除法，可得另两个根为 s3,4= -2,-3劳斯表情况四（不展开）例、例、设系统特征方程为：s5+s4+2s3+2s2+s+1=0，即：令趋近于，劳斯表首列仍没有变号，但继续出现，此时，劳斯判据失效。系统在虚轴上有重根，响应中含有tsin(t)成分，是发散的。(S+1) (S+j) (S-j) (S+j) (S-j)=0 劳劳 斯斯 表表1122101s0s1s2s3s4S11103-3 3-3 劳思判据的应用举例劳思判据的应用举例例例3.83.8试分析如下系统的稳定性，其中K0R(s)Y(s)_系统的特征方程为：系统稳定否？不稳定！不稳定！例例3.93.9焊接控制（p256例6.5)R(s)C(s)_系统的特征方程为：要求确定参数K和a的范围，以保证系统稳定。列劳思表：若取k=40，则要求例例3.103.10已知系统的特征方程为:试判断使系统稳定的k值范围,如果要求特征值均位于s=-1垂线之左。问k值应如何调整?将特征方程化为:列劳思表，可解得：使系统稳定的k值范围是 0k13。若要求全部特征根在s=-1之左,则虚轴向左平移一个单位，令 s s= =s s1 1 1 1-1-1代入特征方程,得:列劳思表:第一列元素均大于0,则得:列劳思表列劳思表: :例例例例3.113.113.113.11已知系统的特征方程为：已知系统的特征方程为：若系统以若系统以的频率作等幅的频率作等幅振荡，试确定参数振荡，试确定参数K K和和a a之值。之值。由于系统处于等幅振荡状态，因此闭环系统必具有共轭纯虚根：j2和-j2。可得：习题习题 ( (时域稳定性的习题一并布置）时域稳定性的习题一并布置）E6.1,E6.2,E6.4,E6.9,E6.14,E6.1,E6.2,E6.4,E6.9,E6.14,E6.16,E6.17,E6.19,P6.1,P6.11,E6.16,E6.17,E6.19,P6.1,P6.11,P6.16,P6.18,DP6.2,MP6.2,MP6.4P6.16,P6.18,DP6.2,MP6.2,MP6.4