第二节第二节 命题及其关系、充分条件命题及其关系、充分条件与必要条件与必要条件能够判断 的语句叫做命题.命题有 与 之分.基础梳理基础梳理1.命题真假真命题假命题(2)四种命题命题表述形式原命题逆命题否命题逆否命题若q则p若 p则 q若 q则p 若p则q原命题原命题若若p p则则q q逆命题逆命题若若q q则则p p否命题否命题若若 p p则则 q q逆否命题逆否命题若若 q q则则p p互为互为 逆否逆否互为互为 逆否逆否互逆互逆互逆互逆 互互否否互互否否（2）四种命题及其关系3. 充分条件与必要条件 （1）定义：一般地，如果 ,那么称p是q的 ，同时称q是p的 ;如果 ,且 ，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的 ，记作 .(2)如果 ,且 ，那么称p是q的充分不必要条件；如果 ，且 ,那么称p是q的必要不充分条件；如果 ，且 ,那么称p是q的既不充分又不必要条件.(3)在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论；其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件， ,充要条件, .充分条件必要条件充要条件必要不充分条件既不充分又不必要 条件基础达标基础达标1.下列说法：2x+50； 是有理数；如果x2，那么x就是有理数；如果x0，那么 就有意义.其中命题的个数为 .2.（选修2-1P6例1改编）设原命题：若a+b2，则 a,b中至少有一个不小于1，则原命题为 命题,逆命题为 命题.(填“真”或“假”)3真假1.解析：可以判断真假的陈述句叫做命题由定义知为命题2.解析：因为原命题的逆否命题为：若a，b都小于1，则a+b2，显然为真，所以原命题为真；原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a+b2，是假命题，反例为a=1.2，b=0.3. 3.(2010陕西改编)“a0”是“|a|0”的条件 .（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”）4.命题“若x=1或x=6,则(x-1)(x-6)=0”的逆否命题是 .5.若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a 的最大值为_.3.解析：a0|a|0，|a|0 a0，“a0”是“|a|0”的充分不必要条件4.解析：首先根据命题“若p则q”的逆否命题为“若非q则非p”，再根据命题“p或q”的否定是“非p且非q”，可得所求的逆否命题为：若(x-1)(x-6)0，则x 1且x 6.充分不必要若(x-1)(x-6)0,则x1且x615.解析：由x21得x1或x-1，又xax21，xax-1，a-1，amax=-1. 经典例题经典例题题型一题型一 命题概念及其真假的判断命题概念及其真假的判断例1 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.（1）大角所对的边大于小角所对的边；（2）x+y是有理数，则x,y也都是有理数；（3）求证：xR,方程x2+x+1=0无实数根.解 分析 依据命题、真命题、假命题的定义来判定.(1)是假命题，没有考虑到必须在同一个三角形中.(2)是假命题，若x= ,y= ,则x+y=0是有理数，x,y是无理数.(3)为祈使句，不是命题.变式1-1判断下列语句是否为命题，若是，判断其真假并说明理由.（1）x2+4x+40;（2）你是高一的学生吗？（3）一个正数不是素数就是合数;（4）若xR,则x2+4x+70.解析:(1)是真命题，x2+4x+4=(x+2)20恒成立.(2)是疑问句，不是命题.(3)是假命题，如正数 既不是素数也不是合数.(4)是真命题,x2+4x+7=(x+2)2+30.题型二四种命题的关系及命题真假的判断题型二四种命题的关系及命题真假的判断分析【例2】写出命题：“若实数x,y满足x2+y2=0，则实数x,y全为零”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.根据四种命题的定义来写，注意否命题与命题的否定的区别.解 逆命题为：若实数x，y全为零，则x2+y2=0，是真命题.否命题为：若x2+y20，则实数x,y不全为零，是真命题.逆否命题为：若实数x,y不全为零，则x2+y20，是真命题.变式2-1写出命题“等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式” 的逆命题、否命题、逆否命题.解析：方法一：选取“两边同乘一个数”为前提.原命题：若一个式子为等式，则两边乘以同一个数，所得的结果仍是等式；逆命题：若一个式子两边都乘同一个数所得结果是等式，则这个式子是等式；否命题：若一个式子不是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍不是等式；逆否命题：若一个式子两边都乘以同一个数所得的结果不是等式，则这个式子不是等式.方法二：选取“一个式子为等式”为前提.原命题： 一个等式，若两边乘以同一个数，则所得结果仍为等式；逆命题： 一个等式,若两边分别乘以一个数， 所得结果仍为等式，则两边乘的是同一个数；否命题： 一个等式,若两边乘以不同的数，则所得结果不是等式；逆否命题： 一个等式，若两边分别乘以一个数，所得结果不是等式，则两边乘的不是同一个数.题型三题型三 充分条件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定【例3】求证：方程x2+ax+1=0(aR)两实根的平方和大于3的必要条件是|a|3.这个条件是否为充分条件，为什么？分析 充分必要条件的判断和证明，首先要弄清条件和结论的先后顺序，同时关注相关知识的自身特点，体现出逻辑的工具性应用特征.解 设方程x2+ax+1=0(aR)两实根为x1,x2,则由已知 即 ,所以 a25,|a| |a| . 所以方程x2+ax+1=0(aR)两实根平方和大于3的必要条件是|a| .当a=2时，x2+ax+1=0两根为x1=x2=1,此时.所以|a|3是方程x2+ax+1=0(aR)两实根的平方和大于3的必要不充分条件.变式3-1ax22x10至少有一个负实根的充要条件是 .a1解析：当a=0时，,故a=0符合.当a0时,(1)若a0，则ax2+2x+1=0至少有一个负实根 ；(2)若a0，则ax2+2x+1=0至少有一个负实根 .综上所述，a1,即ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a1.(2010广东)“m ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数”解的 条件.(填“充分”、“必要”或“充要”)知识准备：知道x2+x+m=0有实数解即0.链接高考链接高考充分解析：由=1-4m0,得 , ,但 .此为充分不必要条件.