第一章第一章 建立数学模型建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义1.3 数学建模例如数学建模例如1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模玩具、照片、玩具、照片、飞机、火箭模型机、火箭模型 实物模型物模型水箱中的水箱中的舰艇、艇、风洞中的洞中的飞机机 物理模型物理模型地地图、电路路图、分子构造、分子构造图 符号模型符号模型模型是模型是为了一定目的，了一定目的，对客客观事物的一部分事物的一部分进展展简缩、笼统、提、提炼出来的原型的替代物出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人模型集中反映了原型中人们需求的那一部分特征需求的那一部分特征1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我我们常常见的模型的模型他碰到他碰到过的数学模型的数学模型“航行航行问题用用 x x 表示船速，表示船速，y y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：答：船速每小答：船速每小时2020千米千米/ /小小时. .甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙千米，船从甲到乙顺水航行需水航行需30小小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小小时，问船的速度是多少船的速度是多少?x =20y =5求解求解航行问题建立数学模型的根本步骤航行问题建立数学模型的根本步骤 作出作出简化假化假设船速、水速船速、水速为常数；常数； 用符号表示有关量用符号表示有关量x, y表示船速和水速；表示船速和水速； 用物理定律匀速运用物理定律匀速运动的的间隔等于速度乘以隔等于速度乘以 时间列出数学式子二元一次方程；列出数学式子二元一次方程； 求解得到数学解答求解得到数学解答x=20, y=5； 回答原回答原问题船速每小船速每小时20千米千米/小小时。数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和数学建模数学建模Mathematical Modeling)对于一个于一个现实对象，象，为了一个特定目的，了一个特定目的，根据其内在根据其内在规律，作出必要的律，作出必要的简化假化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学构造。运用适当的数学工具，得到的一个数学构造。建立数学模型的全建立数学模型的全过程程包括表述、求解、解包括表述、求解、解释、检验等等数学模型数学模型数学数学建模建模1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子子计算机的出算机的出现及及飞速开展；速开展； 数学以空前的广度和深度向一切数学以空前的广度和深度向一切领域浸透。域浸透。数学建模作数学建模作为用数学方法用数学方法处理理实践践问题的第一步，的第一步，越来越遭到人越来越遭到人们的注重。的注重。 在普通工程技在普通工程技术领域数学建模依然大有用武之地；域数学建模依然大有用武之地； 在高新技在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学数学进入一些新入一些新领域，域，为数学建模开辟了数学建模开辟了许多多处女地。女地。数学建模的详细运用数学建模的详细运用 分析与分析与设计 预告与决策告与决策 控制与控制与优化化 规划与管理划与管理数学建模计算机技术知知识经济如虎添翼如虎添翼1.3 数学建模例如数学建模例如1.3.1 椅子能在不平的地面上放椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析分析模模型型假假设通常通常 三只脚着地三只脚着地放放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形呈正方形; 地面高度延地面高度延续变化，可化，可视为数学上的延数学上的延续曲面曲面; 地面相地面相对平坦，使椅子在恣意位置至少三平坦，使椅子在恣意位置至少三只脚同只脚同时着地。着地。模型构成模型构成用数学言用数学言语把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚椅脚连线)的的对称性称性xBADCODC B A 用用 (对角角线与与x轴的的夹角角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地间隔是隔是的函的函数数四个四个间隔隔(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面两脚与地面间隔之和隔之和 f()B,D 两脚与地面两脚与地面间隔之和隔之和 g()两个两个间隔隔 椅脚与地面椅脚与地面间隔隔为零零正方形正方形ABCD绕O点旋点旋转正方形正方形对称性对称性用数学言用数学言语把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f() , g()是延是延续函函数数对恣意恣意 , f( ), g( )至少一个至少一个为0数学数学问题知：知： f() , g()是延是延续函数函数 ; 对恣意恣意， f() g()=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在明：存在0，使，使f(0) = g(0) = 0.模型构成模型构成地面地面为延延续曲面曲面 椅子在恣意位置椅子在恣意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种出一种简单、粗糙的、粗糙的证明方法明方法将椅子旋将椅子旋转900，对角角线AC和和BD互互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f(/2)=0 , g(/2)0.令令h()= f()g(), 那么那么h(0)0和和h(/2)0.由由 f, g的延的延续性知性知 h为延延续函数函数, 据延据延续函数的根本性函数的根本性质, 必存在必存在0 , 使使h(0)=0, 即即f(0) = g(0) .由于由于f() g()=0, 所以所以f(0) = g(0) = 0.评注和思索注和思索建模的关建模的关键 假假设条件的本条件的本质与非本与非本质 调查四脚呈四脚呈长方形的椅子方形的椅子 和和 f( ), g( )确确实定定1.3.2 商人们怎样平安过河商人们怎样平安过河问题( (智力游智力游戏) ) 3名商人名商人 3名随从名随从随从随从们密密约, , 在河的任一在河的任一岸岸, , 一旦随从的人数比商一旦随从的人数比商人多人多, , 就就杀人越人越货. .但是乘船渡河的方案由商人决但是乘船渡河的方案由商人决议. .商人商人们怎怎样才干平安才干平安过河河? ?问题分析分析多步决策多步决策过程程决策决策 每一步每一步( (此岸到此岸或此岸到此岸此岸到此岸或此岸到此岸) )船上的人船上的人员要求要求 在平安的前提下在平安的前提下( (两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有限有限步使全体人步使全体人员过河河. .河河小船小船(至多至多2人人)模型构成模型构成xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)过程的形状程的形状S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允允许形状集合形状集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk , vk)决策决策D=(u , v) u+v=1, 2 允允许决策集合决策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k形状形状转移律移律求求dkD(k=1,2, n), 使使skS, 并并按按转移律由移律由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策多步决策问题模型求解模型求解xy3322110 穷举法法 编程上机程上机 图解法解法形状形状s=(x,y) 16个格点个格点 10个个 点点允允许决策决策 挪挪动1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1, ，d11给出平安渡河方出平安渡河方案案评注和思索注和思索规格化方法格化方法, ,易于推行易于推行思索思索4名商人各名商人各带一随从的情况一随从的情况d1d11允允许形状形状S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增世界人口增长概略概略中国人口增中国人口增长概略概略 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研研讨人口人口变化化规律律控制人口控制人口过快增快增长1.3.3 如何预告人口的增长如何预告人口的增长指数增指数增长模型模型马尔萨斯提出斯提出 (1798) (1798)常用的常用的计算公式算公式x(t) 时辰辰t的人口的人口根本假根本假设 : 人口人口(相相对)增增长率率 r 是常数是常数今年人口今年人口 x0, 年增年增长率率 rk年后人口年后人口随着随着时间添加，人口按指数添加，人口按指数规律无限增律无限增长指数增长模型的运用及局限性指数增长模型的运用及局限性 与与19世世纪以前欧洲一些地域人口以前欧洲一些地域人口统计数据吻合数据吻合 适用于适用于19世世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世世纪后多数地域人口增后多数地域人口增长规律律 不能不能预测较长期的人口增期的人口增长过程程1919世世纪后人口数据后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) )阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型) )人口增人口增长到一定数量后，增到一定数量后，增长率下降的率下降的缘由：由：资源、源、环境等要素境等要素对人口增人口增长的阻滞作用的阻滞作用且阻滞作用随人口数量添加而且阻滞作用随人口数量添加而变大大假假设r固有增固有增长率率(x很小很小时)xm人口容量人口容量资源、源、环境能包容的最大数量境能包容的最大数量r是是x的减函数的减函数dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)S形曲形曲线, x添加先快后慢添加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型) )参数估参数估计用指数增用指数增长模型或阻滞增模型或阻滞增长模型作人口模型作人口预告，必需先估告，必需先估计模型参数模型参数 r 或或 r, xm 利用利用统计数据用最小二乘法作数据用最小二乘法作拟合合例：美国人口数据例：美国人口数据单位位百万百万 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估家估计阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1模型模型检验用模型用模型计算算2000年美国人口，与年美国人口，与实践数据比践数据比较实践践为281.4 (百万百万)模型运用模型运用预告美国告美国20212021年的人口年的人口参与参与2000年人口数据后重新估年人口数据后重新估计模型参数模型参数Logistic 模型在模型在经济领域中的运用域中的运用(如耐用消如耐用消费品的售量品的售量)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0x(2021)=306.0 数学建模的根本方法数学建模的根本方法机理分析机理分析测试分析分析根据根据对客客观事物特性的事物特性的认识，找出反映内部机理的数量找出反映内部机理的数量规律律将将对象看作象看作“黑箱黑箱,经过对量量测数据的数据的统计分析，找出与数据分析，找出与数据拟合最好的模型合最好的模型机理分析没有一致的方法，主要机理分析没有一致的方法，主要经过实例研例研讨 (Case Studies)(Case Studies)来学来学习。以下建模主要指机理分析。以下建模主要指机理分析。二者二者结合合用机理分析建立模型构造用机理分析建立模型构造,用用测试分析确定模型参数分析确定模型参数1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 数学建模的普通步骤数学建模的普通步骤模型模型预备模型假模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型模型检验模型运用模型运用模模型型准准备了解了解实践背景践背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握掌握对象特征象特征构成一个构成一个比比较明晰明晰的的问题模模型型假假设针对问题特点和建模目的特点和建模目的作出合理的、作出合理的、简化的假化的假设在合理与在合理与简化之化之间作出折中作出折中模模型型构构成成用数学的言用数学的言语、符号描画、符号描画问题发扬想像力想像力运用运用类比法比法尽量采用尽量采用简单的数学工具的数学工具 数学建模的普通步骤数学建模的普通步骤模型模型求解求解各种数学方法、各种数学方法、软件和件和计算机技算机技术如如结果的果的误差分析、差分析、统计分析、分析、模型模型对数据的数据的稳定性分析定性分析模型模型分析分析模型模型检验与与实践景象、数据比践景象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型的合理性、适用性模型运用模型运用 数学建模的普通步骤数学建模的普通步骤数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息象的信息数学模型数学模型现实对象的解答象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解解释验证根据建模目的和信息将根据建模目的和信息将实践践问题“翻翻译成数学成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答适当的数学方法求得数学模型的解答将数学言将数学言语表述的解答表述的解答“翻翻译回回实践践对象象用用现实对象的信息象的信息检验得到的解答得到的解答实际现实世世界界数数学学世世界界实际实际1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的模型的渐进性性模型的模型的强壮性壮性模型的可模型的可转移性移性模型的非模型的非预制性制性模型的条理性模型的条理性模型的技模型的技艺性性模型的局限性模型的局限性 数学模型的特点数学模型的特点数学模型的分类数学模型的分类运用运用领域域人口、交通、人口、交通、经济、生、生态 数学方法数学方法初等数学、微分方程、初等数学、微分方程、规划、划、统计 表表现特性特性描画、描画、优化、化、预告、决策告、决策 建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静静态和和动态线性和非性和非线性性离散和延离散和延续1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模数学建模与其数学建模与其说是一是一门技技术，不如，不如说是一是一门艺术技技术大致有章可循大致有章可循 艺术无法无法归纳成普遍适用的准那么成普遍适用的准那么想像力想像力洞察力洞察力判判别力力 学学习、分析、分析、评价、改良他人作价、改良他人作过的模型的模型 亲身身动手，仔手，仔细作几个作几个实践践标题