第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用引引 言言 上册中讨论的函数是一元函数问题上册中讨论的函数是一元函数问题.但在许多但在许多实际问题中往往涉及到多方面的因素，反应在实际问题中往往涉及到多方面的因素，反应在数学上就是多元函数以及多元函数的微分和积数学上就是多元函数以及多元函数的微分和积分问题分问题. 多元函数微积分的基本概念、理论和多元函数微积分的基本概念、理论和方法是一元函数微积分中相应概念、理论和方方法是一元函数微积分中相应概念、理论和方法的推广与发展，它们既有许多相似之处，又法的推广与发展，它们既有许多相似之处，又有很多本质上的不同有很多本质上的不同. 学习时注意比较和区分学习时注意比较和区分.为主，讨论多元函数的微分法及其应用为主，讨论多元函数的微分法及其应用.本章将在一元微分学的基础上，以二元函数本章将在一元微分学的基础上，以二元函数一、准备知识一、准备知识二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念1. 1. 平面点集平面点集 n 维空间维空间二元有序数组（二元有序数组（x,y）或点的全体，即）或点的全体，即表示坐标平面表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为的点的集合，称为平面点集平面点集,记作记作例例 圆圆 内所有点的集合：内所有点的集合：一、准备知识一、准备知识定义了线性运算和距离的集合定义了线性运算和距离的集合 称为二维空间称为二维空间.n 元有序数组元有序数组n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为该点的第称为该点的第k个个的全体称为的全体称为n维空间维空间, ,记作记作即即称为空间中的称为空间中的一个一个点点, , 坐标坐标 .定义了线性运算和距离的集合定义了线性运算和距离的集合 称为二维空间称为二维空间.推广：推广：2. 2. 邻域邻域在平面上在平面上, ,( (圆邻域圆邻域) )在空间中在空间中, , ( (球邻域球邻域) )中点中点 的的 邻域邻域为为1.1.若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成2.2.点点P0 的的去心邻域去心邻域记为记为说明说明：在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域, ,因为方邻因为方邻域域与圆与圆邻域可以互相包含邻域可以互相包含.平面上的平面上的方邻域方邻域为为。3. 3. 区域区域(1) (1) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 E 及一点及一点 P : : 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E , , 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E = , ,则称则称 P 为为 E 的的内点内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点； 若对点若对点P 的任一邻域的任一邻域 U(P) 既含既含E中的内点中的内点显然显然, , E的内点必属于的内点必属于E , , E 的外点必不属于的外点必不属于E , E 的边界点可能属于的边界点可能属于E, , 也可能不属于也可能不属于E . . 也含也含 E 的外点的外点 , 则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点 .(2) (2) 聚点聚点若对若对任意给定的任意给定的 , ,点点P 的去的去心心邻域邻域内总有内总有E E 中的点中的点 , , 则则称称 P 是是 E 的的聚点聚点.聚点可以属于聚点可以属于E , , 也可以不属于也可以不属于E ( (因为聚点可以为因为聚点可以为E 的边界点的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为所有聚点所成的点集成为E 的的导集导集 . 若集若集D中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于D的折线的折线D(3) (3) 开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集E的点都是的点都是内点内点，则称，则称E为为开集开集； 若点集若点集E E, , 则称则称E为为闭集闭集； 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域. .连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域, ,简称简称区域区域; ; E的边界点的全体称为的边界点的全体称为E的的边界边界, , 记作记作 E ; ;相连相连 ,则称则称D是是连通连通的的 ;例如，例如，在平面上在平面上开区域开区域闭区域闭区域 整个平面整个平面是最大的开域是最大的开域 , 点集点集 也是最大的闭域；也是最大的闭域；是开集，但非区域是开集，但非区域 . .o 对区域对区域D , , 若存在正数若存在正数K , 使一切点使一切点P D则称则称D为为有界域有界域 , ,否则称为否则称为无界域无界域 . .与某定点与某定点A 的距离的距离 AP K ,二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强设非空点集设非空点集点集点集D 称为函数的称为函数的定义域定义域； 数集数集称为函数的称为函数的值域值域 . .特别地，当特别地，当n = 2时时, , 有二元函数有二元函数当当n = 3时时, ,有三元函数有三元函数映射映射称为定义在称为定义在D上的上的n元函数元函数，记作记作定义定义点函数点函数例如例如, , 二元函数二元函数定义域为定义域为圆域圆域图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面. .说明说明: : 二元函数二元函数 z = f (x, y), (x, y) D的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 . .三元函数三元函数 定义域为定义域为单位闭球单位闭球图形为图形为空间中的超曲面空间中的超曲面. .三、多元函数的极限三、多元函数的极限设设n元函数元函数则称则称A为函数为函数P0 是是D的聚点，的聚点，若存在常数若存在常数A ,对一对一切切记作记作都有都有对任意正数对任意正数 ，总存在正数总存在正数 , ,定义定义(也称为也称为 n 重极限重极限)当当n =2时时, , 记记二元函数的极限可写作：二元函数的极限可写作：(二二重极限重极限)例例1 1 设设求证求证：证证:故故总有总有要证要证 若当点若当点以以不同方式趋于不同方式趋于函数函数趋于趋于不同值不同值或有的极限不存在，则可以断或有的极限不存在，则可以断一元函数：一元函数：1.多元函数极限多元函数极限因此，有因此，有判定多元函数极限不存在的方法判定多元函数极限不存在的方法：定函数极限定函数极限不存在不存在 .注：注：解解 设设P(x , y)沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,在点在点 (0, 0) 的极限的极限. .k 值不同极限不同值不同极限不同 !在在 (0,0) 点极限不存在点极限不存在 . .讨论函数讨论函数例例2则有则有2. 2. 二重极限二重极限不同不同. . 例如例如,显然显然与累次极限：与累次极限：但由但由例例2 2 知它在知它在(0,0)(0,0)点二重极限不存在点二重极限不存在 . .四、四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义 设设n元函数元函数定义在定义在D上上, ,如果函数在如果函数在D上上各点处各点处都连续都连续, , 则称此函数则称此函数如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续, ,此时此时称为称为间断点间断点 . .则称则称n元函数元函数在在D上上连续连续. .连续连续, , 例如例如, , 函数函数在点在点(0 , 0) 极限不存在极限不存在, , 又如又如, , 函数函数上间断上间断. . 故故 ( 0, 0 )为其间断点为其间断点. .在圆周在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续. .例例3 3 求函数求函数的连续域的连续域. .解解只须求出该初等函数的定义区域只须求出该初等函数的定义区域.定理：定理：若若 f (P) 在有界闭域在有界闭域 D上连续上连续, , 则则在在D上可取得最大值上可取得最大值M及最小值及最小值m ;对任意对任意 有界闭域有界闭域上多元连续函数有与一元函数类似上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质的如下性质: :2.最值定理最值定理1.有界性定理有界性定理3.介值定理介值定理二、多元函数极限的概念二、多元函数极限的概念三、多元函数连续的概念三、多元函数连续的概念有界闭区域上连续函数的性质（三个）有界闭区域上连续函数的性质（三个）（注意趋近方式的任意性注意趋近方式的任意性）一、多元函数的概念一、多元函数的概念小结小结二元函数二元函数图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面.一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.因为若取因为若取 作业作业p.11 习题习题8-11; 5.(1);(4);(5); 6.(4); 7.(1); 8.