数数 学学 精精 品品 课课 件件湘 教 版2.4 线段的垂直平分线第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 本节课内容属于本节课内容属于“图形与几何图形与几何”领域，是在学习领域，是在学习了轴对称以及等腰三角形的概念和性质的基础上，了轴对称以及等腰三角形的概念和性质的基础上，研究线段垂直平分线的性质和判定研究线段垂直平分线的性质和判定学习目标：1理解线段垂直平分线的性质和判定2能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际 问题学习重点： 线段垂直平分线的性质 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.你能用不同的方法验证你能用不同的方法验证这一结论吗这一结论吗？探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质如图，直线如图，直线l 垂直平分线段垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是是l 上的点，请猜想点上的点，请猜想点P1，P2，P3， 到点到点A 与点与点B 的的距距离之间的数量关系离之间的数量关系相相等等 ABlP1P2P3探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质 请在在图中的直中的直线l 上任取一点，那么上任取一点，那么这一点与一点与线段段AB 两个端点的距离相等两个端点的距离相等吗？ 线段垂直平分线上的点到线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段两端的距离相等ABlP1P2P3已知：已知：如如图，直，直线lAB，垂足，垂足为C，AC = =CB，点，点P 在在l 上上求求证：PA = =PB探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”ABPCl探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质用符号用符号语言表示言表示为： CA= =CB，lAB， PA= =PB 证明：明：作关于直作关于直线l 的的轴反射（即沿直反射（即沿直线l 对折），折），由于由于l 是是线段段AB的垂直平分的垂直平分线，因此点，因此点A与点与点B重合重合. .从从而而线段段PA与与线段段PB重合，于是重合，于是PA=PB. .ABPCl探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等8课堂练习课堂练习练习1如图，在ABC 中，BC = =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则ADE 的周长等 于_A B C D E 解：解：ADBC，BD = =DC， AD 是是BC 的垂直平分的垂直平分线. . AB = =AC 点点C 在在AE 的垂直平分的垂直平分线上，上， AC = =CE课堂练习课堂练习练习2如图，ADBC，BD = =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+ +BD与DE 有什么关系？A B C D E AB = =AC = =CE AB = =CE，BD = =DC， AB + +BD = =CD + +CE 即即AB + +BD = =DE 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定反反过来，如果来，如果PA = =PB，那么点，那么点P 是否在是否在线段段AB 的的 垂直平分垂直平分线上呢？上呢？点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 已知：如已知：如图，PA = =PB求求证：点：点P 在在线段段AB 的垂直平的垂直平分分线上上PAB C 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定证明：明：（1）当点）当点P 在在线段段AB 上上时，因，因为PA = =PB，所，所以点以点P为线段段AB的中点，的中点，显然此然此时点点P在在线段段AB的垂直的垂直平分平分线上上. . （2）当点）当点P 在在线段段AB 外外时，如上，如上图，因，因为PA = =PB，所以，所以PAB是等腰三角形是等腰三角形. . 过顶点点P 作作PCAB，垂足，垂足为点点C，从而底，从而底边AB上上的高的高PC也是底也是底边AB上的中上的中线. . 即即PCAB，且，且AC = =BC. . 因此直因此直线PC是是线段段AB的垂直平分的垂直平分线，此，此时点点P也在也在线段段AB 的垂直平分的垂直平分线上上. .探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定用数学符号表示为用数学符号表示为：PA = =PB，点点P 在在AB 的垂直平分的垂直平分线上上到线段两端距离相等的点到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上在线段的垂直平分线上PAB C 这些点能组成什么几何图形？这些点能组成什么几何图形？ 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定你能再找一些到你能再找一些到线段段AB 两端点的距离相等的点两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到能找到多少个到线段段AB 两端点距离相等的点？两端点距离相等的点？ 在线段在线段AB 的垂直平分线的垂直平分线l 上的上的点与点与A，B 的距离都相等；反过来，的距离都相等；反过来，与与A，B 的距离相等的点都在直线的距离相等的点都在直线l上，所以直线上，所以直线l 可以看成与两点可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合的距离相等的所有点的集合PAB C 解：解：AB = =AC，点点A 在在BC 的垂直平分的垂直平分线MB = =MC，点点M 在在BC 的垂直平分的垂直平分线上，上，直直线AM 是是线段段BC 的垂直的垂直 平分平分线课堂练习课堂练习练习3如图，AB = =AC，MB = =MC直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？A B C D M （1）本）本节课学学习了哪些内容了哪些内容？（2）线段垂直平分段垂直平分线的性的性质和判定是如何得到的？和判定是如何得到的？ 两者之两者之间有什么关系？有什么关系？（3）如何判断一条直）如何判断一条直线是否是是否是线段的垂直平分段的垂直平分线？ 课堂小结课堂小结