双曲线及其标准方程 一、复习一、复习 前面我们学习了椭圆的有关概念：前面我们学习了椭圆的有关概念：定义、标准方程、焦定义、标准方程、焦点点等，我们作一简要的回顾：等，我们作一简要的回顾： 定定 义义图图 象象 方方 程程焦焦 点点a.b.ca.b.c的关系的关系 yo xF1F2 xyoF1F2 x2a2+y2b2=1y2x2a2+b2= 1|MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）a2 = b2+c2F ( c,0)F(0, c)探求轨迹 平面内平面内到两个到两个定点定点F1、F2的的距离距离的差的差等于等于常数常数的动点的轨迹又是的动点的轨迹又是怎样的？怎样的？ 平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的的距离的差距离的差的的绝绝对值对值等于常数（等于常数（小于小于F F1 1F F2 2）的点的轨迹叫做双）的点的轨迹叫做双曲线曲线. . 二、学习新二、学习新课课：1 1、双曲线的定义、双曲线的定义 双曲线的双曲线的焦点焦点，两焦，两焦点之间的距离叫做双曲线的点之间的距离叫做双曲线的焦距焦距. .这两个定点叫做这两个定点叫做若常数若常数2a=| | MF2a=| | MF1 1| |MF|MF2 2| |=0| |=0，是线段是线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线.(.(如图如图) )则则| MF| MF1 1|=|MF|=|MF2 2| |，此时点的轨迹，此时点的轨迹(1) (1) 定义中为什么要这个常数定义中为什么要这个常数2a2a是正数呢是正数呢？ 2a02a0，即，即 a0 a0 . . 几点说明：几点说明： OF1F2M通常通常|F|F1 1F F2 2| |记为记为2c2c； 正常数记为正常数记为2a.2a.MF1F2M2a= | | MF2a= | | MF1 1| |MF|MF2 2| | | =|F=|F1 1F F2 2 | | 时，时，M M点一定在上图中的射线点一定在上图中的射线F F1 1P P，F F2 2Q Q 上，此时点的上，此时点的轨迹为两条射线轨迹为两条射线F F1 1P P、F F2 2Q Q。2a2a能否大于能否大于|F|F1 1F F2 2 | |呢？呢？| | MF| | MF1 1| |MF|MF2 2| | | | |F|F1 1F F2 2 | |是不可能的，是不可能的，因为三角形两边之差小于第三边，此时无轨迹。因为三角形两边之差小于第三边，此时无轨迹。F2F1PQ2a2a能否等于能否等于|F|F1 1F F2 2| |？(2)(2)定义中为什么要正常数定义中为什么要正常数2a|F2a|F1 1F F2 2| |呢？呢？ 所以定义中的常数所以定义中的常数2a2a必须为正，且必须为正，且2a|F2a0，b0， 但但a不一定大于不一定大于b，c2=a2+b2ab0，c2=a2-b2(2)双曲线与椭圆之间的区别与联系：双曲线与椭圆之间的区别与联系：|MF1|-|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a x2a2+ +y2b2=1椭椭 圆圆双曲线双曲线y2x2a2- -b2= 1F（0，c）F（0，c）判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。及焦点坐标。答案：答案：（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。（2） 是否表示双曲线？是否表示双曲线？ 表示焦点在表示焦点在 轴上的双曲线；轴上的双曲线；表示焦点在表示焦点在 轴上的双曲线。轴上的双曲线。表示双曲线，求表示双曲线，求 的范围。的范围。答案：答案： 。变式变式: :方程方程 满足什么条件时满足什么条件时表示椭圆？表示椭圆？表示双曲线？表示圆？表示双曲线？表示圆？y2x2 m+ n= 1例例1 已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线双曲线上上一点一点P到到F1、F2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6，求双曲线求双曲线的标准方程的标准方程.2 2a = a = 6 6, ,2 2c=c=1010a = a = 3 3, c =, c = 5 5b b2 2 = = 5 52 2 - - 3 32 2 = =1616所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：根据双曲线的焦点在根据双曲线的焦点在根据双曲线的焦点在根据双曲线的焦点在 x x 轴上，设它的标准方程为：轴上，设它的标准方程为：轴上，设它的标准方程为：轴上，设它的标准方程为：解解:小结：求标准方程要做到先定型，后定量。求标准方程要做到先定型，后定量。例题分析所求轨迹的方程为：例1. 已知 , 动点 到 、 的距离之差的绝对值为6，求点 的轨迹方程.两条射线轨迹不存在4或或16焦点为焦点为F1 , F2。 如果双曲线上有一点如果双曲线上有一点，(1)(1)若若|F1|=10, 则则|F2|=_ | |PF1| - |PF2| | = 6练习练习1.双曲线的标准方程为：双曲线的标准方程为：P(2)若若|F1|=4, 则则|F2|=_10练习练习3 3、如果方程、如果方程 表示椭圆，表示椭圆，则则m m的范围是什么？的范围是什么？练习练习2 2、如果方程、如果方程 表示双曲线，表示双曲线，则则m m的范围是什么？的范围是什么？y2x2m-1+2-m= 1解：（解：（m-1)(2-m)2或或m11m2/且且y2x2m-1+2-m= 1