第4章薄壁杆件的弯扭屈曲任课老师：强士中任课老师：强士中 卫卫 星星薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件第4章 薄壁杆件的弯扭屈曲n薄壁杆件弯扭屈曲特点n中心受压开口薄壁杆件的弯扭屈曲n偏心受压开口薄壁杆件的弯扭屈曲n纯弯梁的侧向屈曲n工字梁侧向屈曲的近似分析薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件4.1 薄壁杆件弯扭屈曲特点n屈曲形式：屈曲形式： 弯曲屈曲、扭转屈曲及弯扭屈曲弯曲屈曲、扭转屈曲及弯扭屈曲n基本假定：基本假定：(1) 屈曲时杆件仍处于弹性工作状态和小变形状态；屈曲时杆件仍处于弹性工作状态和小变形状态；(2) 尽管杆件各截面可能产生垂直于截面的翘曲，但其尽管杆件各截面可能产生垂直于截面的翘曲，但其在自身平面内的投影始终保持固定形状在自身平面内的投影始终保持固定形状“横截面形状横截面形状不变假设不变假设”；(3) 荷载作用线的方向保持不变。荷载作用线的方向保持不变。薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件4.2 中心受压薄壁杆件的弯扭屈曲4.2.1 平衡微分方程I.虚拟荷载法O截面形心截面形心(0,0)； A截面剪力中心截面剪力中心(x0,y0)；屈曲后截面位移刚体平动绕剪力中心的转动屈曲后截面位移刚体平动绕剪力中心的转动薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件如右图如右图a)a)所示梁屈曲时平衡微分方程：所示梁屈曲时平衡微分方程：如右图如右图b)b)所示梁屈曲时平衡微分方程：所示梁屈曲时平衡微分方程：将压杆的屈曲问题，比拟为在将压杆的屈曲问题，比拟为在假想荷载假想荷载 作用作用下的挠曲问题。下的挠曲问题。虚拟侧向荷载虚拟侧向荷载 “ “虚拟荷载法虚拟荷载法”薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件常截面开口薄壁杆件的弯曲和扭转微分方程：常截面开口薄壁杆件的弯曲和扭转微分方程： (1)EIw 截面翘曲刚度截面翘曲刚度，GJ圣维南扭转刚度。圣维南扭转刚度。 (2)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件将将 代入式代入式(2)(2)，得：，得： (3) (3)其中：其中：将式将式(3)(3)代入式代入式(1)(1)，得：，得： (4) (4)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件若考虑残余应力的影响，截面上的法向应力：若考虑残余应力的影响，截面上的法向应力：残余应力是自相平衡的应力体系：残余应力是自相平衡的应力体系：考虑残余应力的弯扭屈曲平衡方程式：考虑残余应力的弯扭屈曲平衡方程式： (5)式中：式中： (6)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件II 能量法薄壁杆件的应变能：薄壁杆件的应变能： (7)外力势能：外力势能： (8)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件纤维缩短量：纤维缩短量： (9)将式将式(9)代入式代入式(8)，可得：，可得：考虑到考虑到 ，则有：，则有： (10)杆件总势能：杆件总势能： (11)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件 (12)由变分法可知，弹性体系处于平衡状态的条件：由变分法可知，弹性体系处于平衡状态的条件： (13)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件4.2.2 中心受压开口薄壁杆件弯扭屈曲临界荷载n双轴对称截面剪力中心与截面形心重合，剪力中心与截面形心重合，x0=0，y0=0由式由式(4)得：得： (14)由式由式(5)得：得： (15)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件n非对称截面两端铰支杆，位移函数可用正弦函数表示：两端铰支杆，位移函数可用正弦函数表示： (16) 满足边界条件：满足边界条件：将式将式(16)代入式代入式(5)，可得：，可得： (17) 其中：其中：薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件A、B、C不全为不全为0，则式，则式(17)中系数行列式须等于零：中系数行列式须等于零：所以：所以： (18)方程的方程的3个根中最小者即屈曲临界荷载个根中最小者即屈曲临界荷载讨论：讨论：1) 2)结论：结论：非对称截面开口薄壁杆件的弯扭屈非对称截面开口薄壁杆件的弯扭屈 曲临界荷载总是小于纯弯曲屈曲和曲临界荷载总是小于纯弯曲屈曲和 和纯扭转屈曲临界荷载中的最小者和纯扭转屈曲临界荷载中的最小者。薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件n单轴对称截面y为对称轴，则为对称轴，则x0=0，由式，由式(18)可得：可得：解之得：解之得： (19)令：令：则：则： (20)结论：结论：单轴对称截面开口薄壁杆件可能在截面对称平面单轴对称截面开口薄壁杆件可能在截面对称平面 内发生弯曲屈曲或者离开对称平面发生弯扭屈曲内发生弯曲屈曲或者离开对称平面发生弯扭屈曲。薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件4.3 偏心受压薄壁杆件的弯扭屈曲偏心弯矩：偏心弯矩： ， (21) (22)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件式中：式中：(23)将式将式(21)(22)(23)代入式代入式(1)，可得：，可得：(24)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件对于两端铰支杆，将式对于两端铰支杆，将式(16)代入式代入式(24)，可得：，可得： (25)A、B、C不全为不全为0，则式，则式(17)中系数行列式须等于零：中系数行列式须等于零：所以：所以： (26)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件n非对称截面若若P作用于剪力中心，作用于剪力中心，ex=y0，ey=x0 ，式，式 (26)可简化为：可简化为：解之得：解之得：薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件n双轴对称截面x0=0，y0=0，ax=0，ay=0若若P作用于作用于y轴，轴，ey=0 ，式，式 (26)可简化为：可简化为：n单轴对称截面若若P作用于对称轴作用于对称轴y轴，轴，x0=ey=ax=0 ，式，式 (26)可简化为：可简化为：薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件4.4 纯弯梁的侧向屈曲如图所示一纯弯简支梁发生侧向屈曲后的变形状态。如图所示一纯弯简支梁发生侧向屈曲后的变形状态。oxyz为固定坐标系为固定坐标系 为移动坐标系为移动坐标系内力关系：内力关系：由式由式(1)得：得： (27)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件由式由式(27)(27)可得：可得：若考虑残余应力得影响：若考虑残余应力得影响：简写为：简写为： (28) (28)式中：式中： (29) (29)式式(28)(28)的通解为：的通解为： (30) (30) 简支梁的边界条件：简支梁的边界条件：z= =0和和z= =l， (31)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件式式(31)，可写为：，可写为：要得到非零解，系数行列式应等于零：要得到非零解，系数行列式应等于零： (32)将式将式(32)展开，可得：展开，可得： (33)“纯弯简支梁侧倾临界方程”薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件式式(33)的解：的解： (34)得到通解：得到通解： (35)将式将式(35)代入式代入式(27)中第二式，可得：中第二式，可得：由式由式(34)(29)(30)，可得纯弯简支梁侧倾临界弯矩：，可得纯弯简支梁侧倾临界弯矩： (36)取取n=1，则：，则： (37)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件其他支承情况（符拉索夫）：其他支承情况（符拉索夫）： (38)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件对于矩形截面纯弯梁，翘曲刚度对于矩形截面纯弯梁，翘曲刚度 可以略去，式可以略去，式(27)(27)变为：变为： (39) (39)将式将式(39)(39)中第二、三式联立，可得：中第二、三式联立，可得：即：即： 式中：式中：解之得：解之得：由边界条件，可得：由边界条件，可得：薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件则：则：取取n=1=1， (40) (40)矩形截面梁纯弯曲时临界力矩。矩形截面梁纯弯曲时临界力矩。薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件4.5 工字梁的侧向屈曲4.5.1 简支工字梁受均布荷载作用简支工字梁受均布荷载作用绕绕轴的弯矩：轴的弯矩： (41)式中：式中：绕绕轴的弯矩：轴的弯矩： (42)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件将式将式(41)(42)代入式代入式(27)，则有：，则有： (43) (44) 将式将式(44)对对z微分一次微分一次 ，注意到：注意到：薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件式式(44)(44)可简化为：可简化为： (45) (45)假定位移函数：假定位移函数：代入伽辽金方程：代入伽辽金方程： 薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件注意到：注意到： (46)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件令参数令参数A、B的系数行列式等于零，可得均布荷载作用下，的系数行列式等于零，可得均布荷载作用下，简支工字梁得侧倾临界荷载：简支工字梁得侧倾临界荷载： (47)当荷载当荷载q作用于梁的形心作用于梁的形心O时，式时，式(47)中中a=0，则：，则： (48)式中：式中：薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件4.5.2 简支工字梁跨中受集中力作用简支工字梁跨中受集中力作用绕绕轴的弯矩：轴的弯矩： (49)式中：式中：绕绕轴的弯矩：轴的弯矩： (50)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件将式将式(49)(50)代入式代入式(27)，则有：，则有： (51) (52) 假定位移函数：假定位移函数：代入伽辽金方程：代入伽辽金方程：薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件注意到：注意到： (53)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件令参数令参数A、B的系数行列式等于零，可得均布荷载作用下，的系数行列式等于零，可得均布荷载作用下，简支工字梁得侧倾临界荷载：简支工字梁得侧倾临界荷载： (54)当荷载当荷载P作用于梁的形心作用于梁的形心O时，式时，式(47)中中a=0，则：，则： (55)薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件小结n开口薄壁杆件弯扭屈曲的特点？n中心受压开口薄壁杆件弯扭屈曲求解方法n偏心受压开口薄壁杆件弯扭屈曲求解方法n纯弯梁侧倾的求解过程薄壁杆件弯扭屈曲PPT课件