给水管道系统给水管道系统第第4 4章章 给水排水管网模型给水排水管网模型 第第4 4章章 给水排水管网模型给水排水管网模型4.1 给水排水管网的模型化给水排水管网的模型化给排水管网模型给排水管网模型:给水排水管网是大规模复杂多变给水排水管网是大规模复杂多变的网络系统，为便于规划、设计和运行管理，应将其的网络系统，为便于规划、设计和运行管理，应将其简化和抽象为便于用图形和数据表达和分析的系统简化和抽象为便于用图形和数据表达和分析的系统这种模型主要表达系统中各组成部分的拓扑关系和水这种模型主要表达系统中各组成部分的拓扑关系和水力特性，将管网力特性，将管网简化简化和和抽象抽象为为管段管段和和节点节点两类元素，两类元素，并赋予工程属性，以便用水力学、图论和数学分析理并赋予工程属性，以便用水力学、图论和数学分析理论等进行表达和分析计算论等进行表达和分析计算l简化简化：从实际系统中去掉一些较次要的给水排从实际系统中去掉一些较次要的给水排水设施，使分析与计算集中于主要对象水设施，使分析与计算集中于主要对象;简化简化包括管线的简化和附属设施的简化包括管线的简化和附属设施的简化l抽象抽象：忽略所分析和处理对象的一些具体特征，忽略所分析和处理对象的一些具体特征，而将它们视为模型中的元素，只考虑它们的拓而将它们视为模型中的元素，只考虑它们的拓扑关系和水力特征扑关系和水力特征l拓扑学拓扑学：数学的分支学科，研究几何图形在连数学的分支学科，研究几何图形在连续改变形状时还能保留不变的一些物性续改变形状时还能保留不变的一些物性4.1.1 给排水管网的简化给排水管网的简化（1）简化原则）简化原则简化后的管网模型，再转化为数学问题，最终简化后的管网模型，再转化为数学问题，最终的结果还要应用到实际的系统中去。的结果还要应用到实际的系统中去。1）宏观等效原则）宏观等效原则对管网中某些局部简化后，要保持功能，各元对管网中某些局部简化后，要保持功能，各元素之间的关系不变素之间的关系不变例：当目标是确定水塔高度和水泵扬程时，两例：当目标是确定水塔高度和水泵扬程时，两条并联的输水管可以简化为一条管道，但当目条并联的输水管可以简化为一条管道，但当目标是设计输水管直径时，就不能将标是设计输水管直径时，就不能将 其简化为一其简化为一条管道了条管道了2）小误差原则）小误差原则：简化产生误差，但要控制：简化产生误差，但要控制在允许范围内，一般要满足工程上的要求在允许范围内，一般要满足工程上的要求（2）管线简化的一般方法）管线简化的一般方法简化措施：简化措施：1）删除次要管线）删除次要管线（如管径较小的支管、配（如管径较小的支管、配水管、出户管等），保留主干管和干管线水管、出户管等），保留主干管和干管线次要管线、干管线和主干管线是相对的次要管线、干管线和主干管线是相对的2）当管线交叉点很近时，可合并为一个交叉）当管线交叉点很近时，可合并为一个交叉点。点。如给水管网中在管线交叉处常用两个三通如给水管网中在管线交叉处常用两个三通代替四通代替四通(实际工程中很少用四通），但仍将实际工程中很少用四通），但仍将两个三通简化为四通，使两个三通简化为四通，使图中少了一个交叉点。图中少了一个交叉点。 3）将全开的阀门去掉，将管线从闭阀门处切）将全开的阀门去掉，将管线从闭阀门处切断。断。全开和全关的阀门都不必在简化的管网中全开和全关的阀门都不必在简化的管网中出现。只有调节阀、减压阀等要给予保留出现。只有调节阀、减压阀等要给予保留4）如管线包括不同的管材和规格，应采用水）如管线包括不同的管材和规格，应采用水力等效原则将其等效为单一管材和规格。力等效原则将其等效为单一管材和规格。l5）并联管线可简化为单管线，）并联管线可简化为单管线，以水力等以水力等效原则确定其管径。效原则确定其管径。l6）在可能的情况下，将大系统拆分为多将大系统拆分为多个小系统个小系统，再分别进行计算。l给水管网简化示意见P67图。请阅。合并合并合并合并分解分解分解分解分解分解分解分解合并合并合并合并删除删除删除删除图图4.1 4.1 简化后给水管网简化后给水管网水塔水塔水塔水塔（3）附属设施简化的一般方法）附属设施简化的一般方法给排水管网的附属设施包括泵站、调节构筑给排水管网的附属设施包括泵站、调节构筑物（水池、水塔等）、消火栓、减压阀、跌物（水池、水塔等）、消火栓、减压阀、跌水井、雨水口、检查井等，均可进行简化。水井、雨水口、检查井等，均可进行简化。具体措施包括：具体措施包括：1）删除不影响全局水力特性的设施，）删除不影响全局水力特性的设施，如如全开的闸阀、排气阀、消火栓、检查井等全开的闸阀、排气阀、消火栓、检查井等2）将同一处的多个设施合并）将同一处的多个设施合并，如同一处，如同一处的多个水量调节设施（清水池、水塔、均的多个水量调节设施（清水池、水塔、均和调节池等）合并，并联或串联工作的水和调节池等）合并，并联或串联工作的水泵或泵站合并等。泵或泵站合并等。4.1.2 4.1.2 给水排水管网的抽象给水排水管网的抽象经过简化经过简化的给水排水管网的给水排水管网需进一步抽象需进一步抽象，使，使之成为仅由管段和节点两类元素组成的管网之成为仅由管段和节点两类元素组成的管网模型模型（1）管段）管段管段管段是管线和泵站等简化后的抽象形式，是管线和泵站等简化后的抽象形式，它只能输送水量，而不允许改变水量它只能输送水量，而不允许改变水量，即管，即管段中间不允许有流量的输入和输出，段中间不允许有流量的输入和输出，但管段但管段中可以改变水的能量中可以改变水的能量，如具有水头损失、可，如具有水头损失、可以加压和降压等。以加压和降压等。l沿线配水流量一分为二分别转移到沿线配水流量一分为二分别转移到 管段两端节管段两端节点上，而排水管网将管段沿线收集水量折算到点上，而排水管网将管段沿线收集水量折算到管段起端节点。相对而言，管段起端节点。相对而言，给水管网的处理给水管网的处理l方法误差较小，方法误差较小，l而排水管网的处而排水管网的处l理更为安全。如理更为安全。如l图所示图所示:l当管线中有当管线中有较大的集中流量，应在集中流量处较大的集中流量，应在集中流量处设置节点设置节点，因为大流量移位会造成较大的误差。，因为大流量移位会造成较大的误差。沿线出流或入流的管线较长时，也应分成若干沿线出流或入流的管线较长时，也应分成若干管段，以避免折算节点流量时出现较大的误差。管段，以避免折算节点流量时出现较大的误差。q ql lq ql l/2/2q ql l/2/2给给给给q ql lq ql l排排排排图图图图 沿线流量简化沿线流量简化沿线流量简化沿线流量简化l泵站、减压阀、跌水井、非全开阀门等泵站、减压阀、跌水井、非全开阀门等只通过流量而不改变流量，且具有水头只通过流量而不改变流量，且具有水头损失，其属性与管段相同，所以它们必损失，其属性与管段相同，所以它们必须设于管段上，而不能当作节点。须设于管段上，而不能当作节点。(2)节点节点l节点节点是管线交叉点、端点或大流量的出是管线交叉点、端点或大流量的出入点的抽象形式。节点只能传递能量，入点的抽象形式。节点只能传递能量，不能改变水的能量不能改变水的能量，即节点上的能量，即节点上的能量（水头值）是唯一的，但节点可以有流（水头值）是唯一的，但节点可以有流量的输入和输出。如用水的输入、排水量的输入和输出。如用水的输入、排水的收集或水量的调节等。的收集或水量的调节等。l注意：注意：管段与节点要根据水力属性来划分管段与节点要根据水力属性来划分l如如:排水管网的管渠在流入检查井时如有跌排水管网的管渠在流入检查井时如有跌水，应认为跌水是在管段末端来完成的，水，应认为跌水是在管段末端来完成的，而不能认为在节点上完成的而不能认为在节点上完成的l又如又如给水或排水泵站，一般都是从水池吸给水或排水泵站，一般都是从水池吸水，则吸水井处为节点，泵站内的水泵和水，则吸水井处为节点，泵站内的水泵和连接管道简化后应置于管段上靠近吸水井连接管道简化后应置于管段上靠近吸水井节点端（节点端（泵站属于管段，不属于节点！泵站属于管段，不属于节点！）（3）管段和节点的属性）管段和节点的属性包括包括:构造属性、拓扑属性和水力属性构造属性、拓扑属性和水力属性构造属性是构造属性是拓扑属性和水力属性的基础拓扑属性和水力属性的基础拓扑属性是拓扑属性是管段与节点间的关联关系管段与节点间的关联关系水力属性是水力属性是管段和节点在系统中的水力管段和节点在系统中的水力 特征的表现特征的表现构造属性构造属性通过系统设计确定，通过系统设计确定，拓扑属性拓扑属性 采用数学图论表达，采用数学图论表达，水力属性水力属性则运用水则运用水 力学理论进行分析和计算。力学理论进行分析和计算。 管段的构造属性有：管段的构造属性有：l1）管长）管长，以，以m为单位；为单位；l2）管径）管径，以，以m或或m m为单位；为单位；l3）粗糙系数）粗糙系数，与管道材料有关，以，与管道材料有关，以n、e、CW等来衡量。等来衡量。管段的拓扑属性有：管段的拓扑属性有：l1）管段方向）管段方向。是一个设定的固定方向。是一个设定的固定方向（不是流向，也不是泵站的加压方向，（不是流向，也不是泵站的加压方向，但当泵站加压方向确定时一般取其方向）但当泵站加压方向确定时一般取其方向）;l2)起端节点起端节点，简称起点；，简称起点；l3)终端节点终端节点，简称终点。，简称终点。管段的水力属性有：管段的水力属性有：l1）管段流量）管段流量，是一个带符号值，正值表示流向，是一个带符号值，正值表示流向与管段方向相同，负值表示相反，单位常用与管段方向相同，负值表示相反，单位常用m3/s或或L/s；l2）管段流速）管段流速，也是一个带符号值，其方向与管，也是一个带符号值，其方向与管段流量相同，单位常用段流量相同，单位常用m/s；l3）管段扬程）管段扬程，即管段上泵站传递给水流的能量，即管段上泵站传递给水流的能量，也是一个带符号值，正值表示泵站加压方向与管也是一个带符号值，正值表示泵站加压方向与管段方向相同，负值则相反，单位用段方向相同，负值则相反，单位用m；l4 4）管段摩阻）管段摩阻：表示管段对水流阻力的大小；：表示管段对水流阻力的大小； l5 5）管段压降）管段压降：表示水流从管段起点输送到终点表示水流从管段起点输送到终点后，其机械能的减少量，因为忽略流速水头，后，其机械能的减少量，因为忽略流速水头，所以称为压降，意为压力水头的降低量，常用所以称为压降，意为压力水头的降低量，常用单位为单位为m m 。节点的构造属性有：节点的构造属性有：l1 1）节点高程）节点高程：即节点所在地点附近的平均地面即节点所在地点附近的平均地面高程，单位为高程，单位为m m；l2 2）节点位置）节点位置：可用平面坐标（可用平面坐标（x,yx,y）表示。）表示。节点的拓扑属性有：节点的拓扑属性有：l1）与节点）与节点关联的管段及其方向关联的管段及其方向；l2）节点的）节点的度，即与节点关联的管段数度，即与节点关联的管段数；节点的水力属性有：节点的水力属性有：l1）节点流量）节点流量，即从节点流出或流入系統的流量，是帯，即从节点流出或流入系統的流量，是帯符号值，正值表示流出节点，负值表示流入节点，单符号值，正值表示流出节点，负值表示流入节点，单位常用位常用m/S或或L/s；l2）节点水头节点水头，表示流过节点的单位重量的水流所具有，表示流过节点的单位重量的水流所具有的机械能，一般采用与节点高程相同的高程体系，单的机械能，一般采用与节点高程相同的高程体系，单位为位为m，对于非满流，节点水头即管渠内水面高程；，对于非满流，节点水头即管渠内水面高程；l3）自由水头）自由水头，仅对有压流，指节点水头高出地面的高，仅对有压流，指节点水头高出地面的高度，单位为度，单位为m。l4.1.3 4.1.3 管网模型的标识管网模型的标识l给排水管网简化并抽象为管网模型后，还应对给排水管网简化并抽象为管网模型后，还应对其进行适当的标识，以便于分析和计算。标识其进行适当的标识，以便于分析和计算。标识的内容包括：节点与管段的命名或编号；管段的内容包括：节点与管段的命名或编号；管段方向与节点流向设定等。方向与节点流向设定等。（1）节点与管段编号）节点与管段编号l节点与管段编号，实际上就是给节点和管段命节点与管段编号，实际上就是给节点和管段命名，其目的是为了便于引用。通常采用名，其目的是为了便于引用。通常采用正整数正整数连续编号，连续编号，以便于用程序顺序操作，并且最大以便于用程序顺序操作，并且最大管段编号就是管网模型的管段总数管段编号就是管网模型的管段总数l最大节点编号就是管网模型中的节点总数。一最大节点编号就是管网模型中的节点总数。一般节点编号用般节点编号用(1),(2),(3)-；管段编号；管段编号1,2,3-（2 2）管段方向的设定）管段方向的设定l管段的一些属性是有方向性的，如流量、流速、管段的一些属性是有方向性的，如流量、流速、压降等，压降等，它们的方向都是根据管段的设定方向它们的方向都是根据管段的设定方向而定的，而定的，只有当给出管段方向后，才能将管段只有当给出管段方向后，才能将管段两端节点分别定义为起点和终点，即管段设定两端节点分别定义为起点和终点，即管段设定方向总是从起点指向终点。方向总是从起点指向终点。l管段设定方向不一定就是管段中水的流向。管段设定方向不一定就是管段中水的流向。当当管段流量、流速、压降等为负值时，表明它们管段流量、流速、压降等为负值时，表明它们的方向与管段设定的方向相反。但为了不出现的方向与管段设定的方向相反。但为了不出现太多的负值，一般尽量使管段的设定方向与流太多的负值，一般尽量使管段的设定方向与流向一致。向一致。（3）节点流向的设定）节点流向的设定l节点流量的方向，总是假定以节点流量的方向，总是假定以流出节点为正流出节点为正，所以管网模型中以一个离开节点的箭头表示。所以管网模型中以一个离开节点的箭头表示。如果节点流量实际上为流入节点，则认为节点如果节点流量实际上为流入节点，则认为节点流量为负值。如给水管网的水源供水节点，或流量为负值。如给水管网的水源供水节点，或排水管网中的大多数节点，它们的节点流量都排水管网中的大多数节点，它们的节点流量都是负的。是负的。l以图所示的管网模型为例，经过标识的管网模型如图所示。 (7)水塔l (3) 3 (4) 4 (5) 5 6 l (6) l 2 7 8 9 (1) 泵站泵站 1 (2) 10 (8) 11 (9) 12 (10) 13 14 15 16 (11) 17 (12) 18 (13) 19 (14)l 20 21l (15) (16) l 22l 图图4.3 4.3 管网图的节点与管段编号管网图的节点与管段编号4.2 4.2 管网模型的拓扑特性管网模型的拓扑特性l管网模型管网模型用于描述、模拟或表达给排水用于描述、模拟或表达给排水管网的拓扑特性和水力特性。管网的拓扑特性和水力特性。l拓扑特性是拓扑特性是指管网模型中节点与管段的指管网模型中节点与管段的关联关系关联关系，其分析方法采用数学的图论数学的图论理论。理论。l水力特性是水力特性是指管网模型中节点和管段传指管网模型中节点和管段传递、输送流量和能量的特性递、输送流量和能量的特性，其理论基础是质量守恒定律和能量守恒与转化定是质量守恒定律和能量守恒与转化定律律。4.2.1 4.2.1 管网图的基本概念管网图的基本概念l图论图论: :数学理论的一个分支，研究事物之间的关数学理论的一个分支，研究事物之间的关 联关系联关系l管网图论管网图论: :图论的概念和理论引入到给水排水管图论的概念和理论引入到给水排水管 网模型的分析和计算中网模型的分析和计算中l管网图论的概念和理论与数学图论是一致的，但为了管网图论的概念和理论与数学图论是一致的，但为了 易于理解，有些名词采用了本专业习惯的叫法易于理解，有些名词采用了本专业习惯的叫法l（1）图的定义）图的定义l对于给排水管网模型，当略去其构造和水力特征后，对于给排水管网模型，当略去其构造和水力特征后， 仅仅考虑节点和管段之间的关联关系时，称为管网图仅仅考虑节点和管段之间的关联关系时，称为管网图l管网图或图论中所谓管网图或图论中所谓图是指事物和这些事图是指事物和这些事物之间的联系物之间的联系，简而言之，简而言之，图就是关系或图就是关系或联系联系，图不是图像或图形。，图不是图像或图形。事物之间的关事物之间的关联关系又叫拓扑关系联关系又叫拓扑关系。如图所示，。如图所示，A、B、C、D四支球队的竞赛关系，构成一个图；四支球队的竞赛关系，构成一个图；图所示为某排水管网图。图所示为某排水管网图。AB BC CD D图图图图4.4 4.4 球队竞赛关系图球队竞赛关系图球队竞赛关系图球队竞赛关系图图图图图4.5 4.5 排水管网图排水管网图排水管网图排水管网图l图论中的图是由顶点和边组成，图论中的图是由顶点和边组成，在管网图中在管网图中分别称为节点和管段。分别称为节点和管段。l图论的研究对象是图，管网图论的研究对象图论的研究对象是图，管网图论的研究对象是管网图。通俗地说，图论是研究事物关联是管网图。通俗地说，图论是研究事物关联关系的理论，关系的理论，管网图就是研究节点和管段关管网图就是研究节点和管段关系的理论。系的理论。l管网图表示的管网图表示的两种常用方法两种常用方法：l1 1）几何表示法）几何表示法：l在平面上画上点表示节点，在相联系的节点在平面上画上点表示节点，在相联系的节点之间画上直线段或曲线段表示管段，所构成之间画上直线段或曲线段表示管段，所构成的图形表示一个的图形表示一个管网图管网图。 只要线段所联系的点不 变，改变点的位置或改 变线段的长度与形状等， 均不改变管网图。如图，。如图，lA、B两图都两图都表示同一个管网图表示同一个管网图，因为它们，因为它们的节点与管段的的节点与管段的关联关系不变关联关系不变。(1)(1)(2)(2)(3(3) )(4)(4)11 223344 (2)(2)(1(1) )(3(3) )(4)(4)11 223344 图图图图A A图图图图B Bl2)图的集合表示图的集合表示:l设有节点集合设有节点集合V=v1,v2,v3,-,vn和管段和管段集集 合合E=e1,e2,e3,-,en，且任一管段，且任一管段ek=(vi,vj) E与节点与节点vi V 和和vjV关联，则集合关联，则集合V和和E 构成一个管网图，记为构成一个管网图，记为G(V,E) 。 N=| V |管网管网 图中的节点数，图中的节点数， M=|E|为管网图的管段数，为管网图的管段数， 节点节点vi,vj称为这管段称为这管段ek的端点，的端点，称管段称管段 ek=(vi,vj) 与节点与节点vi,vj相互关联，称节点相互关联，称节点vi与与 vj为相邻节点。为相邻节点。l以图为例，该管网图的集合表示以图为例，该管网图的集合表示G(V,E) ，节点集，节点集合为合为:lV=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12l而管段集合为而管段集合为:lE=(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(8,3),(9,10),l(11,12),(12,10)l管网图的节点数管网图的节点数N(G)=12 ，管段数，管段数M(G)=11 。l(2) 有向图有向图l在管网在管网G(V,E)中，关联任意管段中，关联任意管段ek=(vi,vj) E 的两个节点的两个节点vi V 和和vjV是有序的即是有序的即ek=(vi,vj) (vj,vi) ，所以管网图，所以管网图G为有向图，为表明管段为有向图，为表明管段 的方向，记的方向，记ek=(vivj) ，节点，节点vi称为起点，节点称为起点，节点 vj称为终点。称为终点。l在几何图形直观地表示管网图时，管段画成带有在几何图形直观地表示管网图时，管段画成带有箭头的线段，如图箭头的线段，如图4-5所示。图所示管网图也可用所示。图所示管网图也可用集合表示为集合表示为G（V，E），其中：），其中：lV=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12lE=(12),(23),(34),(45),(56),(67), (83),(910),(1112),(1210)l在管网模型中，常用各管段的起点集合和终点集在管网模型中，常用各管段的起点集合和终点集合来表示管网图。合来表示管网图。l起点集合：由各管段起始节点编号组成的集合，起点集合：由各管段起始节点编号组成的集合，记为记为F；l始点集合：由各管段终到节点编号组成的集合，始点集合：由各管段终到节点编号组成的集合，记为记为T。l图管网：图管网：l起点集合：起点集合：F=1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12l终点集合：终点集合：T=2,3,4,5,6,7,3,10,5,12,10l(3) 管网图的连通性管网图的连通性l连通图和非连通图的定义：若图连通图和非连通图的定义：若图G（V，E）中任意两个顶点均通过一系列边及顶点相连中任意两个顶点均通过一系列边及顶点相连通，即从一个顶点出发，经过一系列相关联通，即从一个顶点出发，经过一系列相关联的边和顶点，可以到达其余任何一个顶点，的边和顶点，可以到达其余任何一个顶点，则称则称G为为连通图连通图，否则称图，否则称图G为非连通图。为非连通图。l一个非连通图G（V，E）总可以分为若干个相互连通的部分，称为图G的连通分支，图G的连通分支数记为P，显然，对于连通图G，P=1。如图所示为非连通图（P74），且P=3。 1 5l 2 6l 4 8l 3 7l 图4.6 非连通图 l显然，管网图一般都是连通图，但有时为了进显然，管网图一般都是连通图，但有时为了进行特性分析处理，可能从管网图中删除一些管行特性分析处理，可能从管网图中删除一些管段，使管网成为非连通图。以图所示管网图为段，使管网成为非连通图。以图所示管网图为例，若删除任意一条管段，该管网图就不再连例，若删除任意一条管段，该管网图就不再连通。通。l（4）管网的可平面图性）管网的可平面图性l图论定义，一个图图论定义，一个图G（V，E），如果能把它画），如果能把它画在平面上时，任意两条边均不相交，则称为在平面上时，任意两条边均不相交，则称为G为可平面图，否则称为非可平面图。以适当方为可平面图，否则称为非可平面图。以适当方式画在平面上的可平面图称为平面图，如图和式画在平面上的可平面图称为平面图，如图和图图4.6 ，而图所示为非可平面图。，而图所示为非可平面图。l又如：又如：l 1 1l b 2 b 2 al 4 a 4l 3 3 是可平面图。是可平面图。 l管网图一般都是可平面是图管网图一般都是可平面是图，而且一般在用几何表，而且一般在用几何表 示时，均画成平面图。如上图中应画成右图。示时，均画成平面图。如上图中应画成右图。l图论还定义，对于平面图图论还定义，对于平面图G(V ,E) ，由若干条边所，由若干条边所 包围的区域，其内部不含顶点，也不含其他边，这包围的区域，其内部不含顶点，也不含其他边，这 样的域称为面，也称样的域称为面，也称内部面内部面。从广义讲，在平面图。从广义讲，在平面图的周围，未被任何边所包围的区域也是一个面，叫的周围，未被任何边所包围的区域也是一个面，叫外部面外部面。 l类似地在管网图论中定义：类似地在管网图论中定义：l环：对于画成平面的管网图环：对于画成平面的管网图G(V,E) ，由若干管，由若干管段所包围的区域，其内部段所包围的区域，其内部不含节点，也不含其不含节点，也不含其它管段，这样的区域称为环，也叫内环。它管段，这样的区域称为环，也叫内环。l在管网图的周围，未被任何管段包围的区域也在管网图的周围，未被任何管段包围的区域也是一个环，称为外环。是一个环，称为外环。l欧拉公式：对于一个画面平面图的管网图，设欧拉公式：对于一个画面平面图的管网图，设节点数为节点数为N。管段数为。管段数为M，连通分支数为，连通分支数为L，则，则它们之间存在一个固定关系：它们之间存在一个固定关系：l L+N=M+P （）（）l此即欧拉公式。此即欧拉公式。l特别地，对于一个连通且画在平面上的管网图，特别地，对于一个连通且画在平面上的管网图，欧拉公式为欧拉公式为 M=L+N-1 （）（）4.2.2 管网图的关联集管网图的关联集l（1）节点的度）节点的度l在管网图在管网图G(V,E)中中,与某节点与某节点V关联的管段的类关联的管段的类目称为该目称为该节点的度节点的度，记为，记为d(v),简记为简记为dv。由于由于每条管段均与两个节点关联，所以管网图每条管段均与两个节点关联，所以管网图G(V,E)中各节点度之和等于其管段数的两倍。中各节点度之和等于其管段数的两倍。即即 d(v)=2M (4.3) VGl如图管网图中，节点的度：如图管网图中，节点的度：ld1=1,d2=3,d3=3,d4=2,d5=2,d6=3,d7=2,它们之它们之和：和： 7ldi(v)=2M=28=16 (4-3) i=1l (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4)l 清水池清水池 泵站泵站l 4 5 6l l 7 8 关关 ： S2=1,2,4 (5) (6) (7) 图图4.8 管网图的关联集管网图的关联集l（2）关联集）关联集l对于管网图对于管网图G（V，E），与节点），与节点V相关相关联的管段组成的集合称为该节点的关联联的管段组成的集合称为该节点的关联集，记为集，记为S(v)，或简记为，或简记为Sv。l如图，各节点的关联集为：如图，各节点的关联集为： S1=1,S2=1,2,4,S3=2,3,5 S4=3,6,S5=4,7,S6=5,7,8, S7=6,8。4.2.3 环状管网与树状管网环状管网与树状管网l（1）路径）路径l在管网图在管网图G(V,E)中，从节点中，从节点v0到到vk的经过节点的经过节点与管段交替的有限非零序列与管段交替的有限非零序列v0e0v1e1-ekvk称为称为行走，如果行走不含重复的节点，则行走，如果行走不含重复的节点，则行走所经行走所经过的管段集称为路径。过的管段集称为路径。l路径所含管段数路径所含管段数k称为称为路径长度路径长度, v0与与vk分别称分别称为路径的起点和终点，路径的方向由顶点为路径的起点和终点，路径的方向由顶点v0走走向向vk。路径用集合简记为：。路径用集合简记为：Rv0vk=e1,e2,e3,-,ek。l管段是路径的特例，管段是路径的特例，其起点和终点就是管段自其起点和终点就是管段自己的两个端点。己的两个端点。l如图。从起点如图。从起点1到终点到终点7的一条路径为的一条路径为lR1,7=1,4,7,8l(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4)l 4 5 6l R1 R2l (5) (6) (7) 7 8路径路径R1,7=1,4,7,8回路回路R1=2，5，7，4；R2=2，3，6，8，7，4环环R1 图图4.9 管网图的路径、回路、环管网图的路径、回路、环回路回路l在管网图在管网图G(V,E)中，起点与终点重合的路径称为中，起点与终点重合的路径称为回路，回路记为回路，回路记为RK，K为回路编号。为回路编号。l环也是回路，是平面图中回路的特例，环也是回路，是平面图中回路的特例，环的方环的方 向一般设定为向一般设定为順时针方向順时针方向。如图，。如图，R1=2， 5，7，4、R2=2，3，6，8，7，4均为回均为回 路，其中路，其中R1特称为环。特称为环。l管网图中由一个以上环组成的环称为管网图中由一个以上环组成的环称为大环大环l根据管网是否有环根据管网是否有环，将管网分为，将管网分为树状树状和和环状环状两种两种 基本形式基本形式 （2）环状管网）环状管网 含有一个及以上环的管网称之为环状管含有一个及以上环的管网称之为环状管网，对于环状管网网，对于环状管网 欧拉公式欧拉公式 M = L+N -1 （3）树状管网）树状管网树及其性质树及其性质l无回路且连通的管网图无回路且连通的管网图G(V,E) 定义为树，定义为树，用符号用符号T(V,G)表示，组成树的管段称为表示，组成树的管段称为树枝。排水管网和小型的给水管网通常树枝。排水管网和小型的给水管网通常用树状管网，其拓扑特性即为树，如图用树状管网，其拓扑特性即为树，如图所示。所示。l树的性质树的性质：l1）在树中，任意删除一条管段将使连通任意删除一条管段将使连通图变为非连通图图变为非连通图。因此，每一树枝均为桥或割集。l2）在树中，任意两个节点之间必然存在且仅存在一条路任意两个节点之间必然存在且仅存在一条路径。径。l 1 d 5 e 6 g 8 a f 2 c 4 7l b l 3 图4.10 树l 1 d 5 e 6 g 8 a i fli,j,h为连枝; 2 c 4 j 7 l其余为树枝 b hl 3 l 图4.11 生成树l3）在树的任意两个不相同的节点间）在树的任意两个不相同的节点间加上一条管段，加上一条管段，则出现一个回路。则出现一个回路。l4）由于不含回路（）由于不含回路（L=0），树的节点数），树的节点数N与树枝与树枝M的关系为：的关系为：l M=N-1 (4.4)生成树生成树l从连通的管网图从连通的管网图G(V,E)中删除若干条管段后，使中删除若干条管段后，使 之成为树，则该树称为原管网图之成为树，则该树称为原管网图C的生成树。生的生成树。生 成树包含了连通管网的全部节点和部分管段。成树包含了连通管网的全部节点和部分管段。l在构成生成树时，被保留的管段称为在构成生成树时，被保留的管段称为树枝树枝，被删，被删 除的管段称为除的管段称为连枝连枝。对于画在平面上的管网图，。对于画在平面上的管网图， 其连枝数等于环数其连枝数等于环数L。删除连枝要满足两个条件：。删除连枝要满足两个条件： 1 ) 保持原管网图的连通性保持原管网图的连通性;l2 ) 必须破坏所有的环或回路。必须破坏所有的环或回路。l如图所示管网图，实线为树枝，构成生如图所示管网图，实线为树枝，构成生成树，虚线为连枝。成树，虚线为连枝。 l4.2.4 关联矩阵和回路矩阵关联矩阵和回路矩阵l管网中，节点与管段的关系可以用矩阵管网中，节点与管段的关系可以用矩阵表示，设管网图表示，设管网图G(V,E)有有N个节点，个节点，M条条管段，令：管段，令：l则元素则元素l阶矩阵，称为管网图阶矩阵，称为管网图G的关联矩阵，记作的关联矩阵，记作A。l以图所示的给水管网模型为例，其关联以图所示的给水管网模型为例，其关联矩阵（大型稀疏矩阵）：矩阵（大型稀疏矩阵）：A= 4.3 管网水力学基本方程组管网水力学基本方程组l为了便于分析计算，为了便于分析计算，假设假设给排水管网水给排水管网水流处于流处于恒定均匀流状态。恒定均匀流状态。l给水排水管网水流运动的基本定律可以给水排水管网水流运动的基本定律可以用用质量、能量和动量守恒定律描述。质量、能量和动量守恒定律描述。l4.3.1 4.3.1 节点流量方程节点流量方程l对于管网模型中的任意节点对于管网模型中的任意节点 j，将其作为隔离体取出，根据，将其作为隔离体取出，根据质量守恒定律，流入节点所有流量之和应等于流出节点所质量守恒定律，流入节点所有流量之和应等于流出节点所有流量之和，可以一般地表示为：有流量之和，可以一般地表示为：l j=1,2,3,N (4.5) l 2l式中式中 qi - 管段管段i的流量；的流量； 1 Q5 3l Qj -节点节点 j的流量；的流量； l Sj -节点节点 j的关联集；的关联集； 4l N -管网模型中的节点数管网模型中的节点数;l 表示对节点表示对节点 j 关联集中管段进行有向求和，当管段关联集中管段进行有向求和，当管段方向指向该节点时取方向指向该节点时取负号负号，否则取，否则取正号正号，即流出取正，流，即流出取正，流入取负。如图入取负。如图: -q1+q2+q3+q4+ Q5=0l该方程称为节点的流量连续性方程，简称为该方程称为节点的流量连续性方程，简称为节点流量方程。管网模型中所有节点流量方程。管网模型中所有N个节点方个节点方程联立，组成节点流量方程组。程联立，组成节点流量方程组。l注意：注意：l1）管段流量应）管段流量应按管段的设定方向取正负号按管段的设定方向取正负号（指向节点取负号指向节点取负号，反之取，反之取正号正号），而不是），而不是按实际方向取正负；按实际方向取正负；l2）节点流量）节点流量总是假定流出节点为正值总是假定流出节点为正值，流，流入节点为负值入节点为负值;l3）管段流量与节点流量应具有）管段流量与节点流量应具有相同的相同的单位，单位，一般采用一般采用L/s或或m/s为流量流量单位位。l如图如图P82图图4.10 管网模型，可列出流量方程组：管网模型，可列出流量方程组：l (7) (8)-q1+q2+q5+Q1=0 4 -q2+q3+q6+Q2=0 Q7 1 (1) 2 (2) 3 (3)-q3-q4+q7+Q3=0-q5+q8+Q4=0 Q1 Q2 Q3 Q8-q6-q8+q9+Q5=0-q7-q9+Q6=0 5 6 7q1+Q7=0 (4.6)q4+Q8=0 (4) 8 (5) 9 (6) Q4 Q5 Q6 图某给水管网模型图某给水管网模型l 同理同理,图某排水管网模型，可列出节点流量方图某排水管网模型，可列出节点流量方程组（），见程组（），见P82。l4.3.2 管段压降方程组管段压降方程组l管网中，任意一条管段都与两个节点关联，任意取管网中，任意一条管段都与两个节点关联，任意取出一管段出一管段i作为隔体，根据能量关系，该管段两端节作为隔体，根据能量关系，该管段两端节点水头之差应等于该管段的压降，即点水头之差应等于该管段的压降，即l i=1,2,3,M (4.8)l式中式中 Fi，Ti -管段管段i 上、下端点编号上、下端点编号:l HFi HTi为上下端节点水头为上下端节点水头l Hi -管段管段i的压降（水头损失）的压降（水头损失）;l M -管网模型中的管段总数。管网模型中的管段总数。l该方程称为管段的压降方程该方程称为管段的压降方程，管网中，管网中M条管段的能量条管段的能量方程联立，方程联立，组成管段压降方程组组成管段压降方程组。 l注意注意：l1）应按管段的设定方向（而不是按实际）应按管段的设定方向（而不是按实际流向）判断上端点和下端点，管段流向流向）判断上端点和下端点，管段流向与设定方向相反时管段压降为负值；与设定方向相反时管段压降为负值；l2）管段压降和节点水头应具有同样的单）管段压降和节点水头应具有同样的单位，一般为位，一般为m。l如图所示的给水管网模型，可以列出以如图所示的给水管网模型，可以列出以下管段能量方程组：下管段能量方程组：lH7-H1=h1lH1-H2=h2lH2-H3=h3lH8-H3=h4lH1-H4=h5 (4.17)lH2-H5=h6lH3-H6=h7lH4-H5=h8lH5-H6=h9l如图排水管网的管段能量方程组见（），如图排水管网的管段能量方程组见（），请自阅请自阅。4.3.3 4.3.3 环能量方程组环能量方程组l管网模型中，所有的环都是由封闭的管段组成，规管网模型中，所有的环都是由封闭的管段组成，规定回路中的管段流量和水头损失以顺时针为正定回路中的管段流量和水头损失以顺时针为正l环能量方程的一般形式环能量方程的一般形式l k=1,2,3,L管网模型中管网模型中L个环的能量方程联立，组成个个环的能量方程联立，组成个环能量方程组环能量方程组 h2-h5+h6 - h8 =0 (4.22) h3 - h6 +h7 - h9=0方程组的矩阵形式如下：方程组的矩阵形式如下：l4.3.3 环能量方程组环能量方程组l管网模型中，所有的环都是由封闭的管段组成，规管网模型中，所有的环都是由封闭的管段组成，规定回路中的管段流量和水头损失以顺时针为正定回路中的管段流量和水头损失以顺时针为正l i=1,2,3,M (4.8)l式中式中 Fi，Ti -管段管段i 上、下端点编号上、下端点编号:l HFi HTi为上下端节点水头为上下端节点水头l Hi -管段管段i的压降（水头损失）的压降（水头损失）;l M -管网模型中的管段总数。管网模型中的管段总数。l该方程称为管段的压降方程该方程称为管段的压降方程，管网中，管网中M条管段的能量条管段的能量方程联立，方程联立，组成管段压降方程组组成管段压降方程组。 l恒定流基本方程组恒定流基本方程组l给水排水管网模型的节点流量方程组与管段能给水排水管网模型的节点流量方程组与管段能量方程组联立，组成描述管网模型水力特性的量方程组联立，组成描述管网模型水力特性的恒定流基本方程组，即：恒定流基本方程组，即：l j=1,2,3,N l （）（）l i=1,2,3,M l恒定流基本方程组是在管网模型的拓扑特性基恒定流基本方程组是在管网模型的拓扑特性基础上建立起来的，它反映了管网模型组成元素础上建立起来的，它反映了管网模型组成元素-节点与管段之间的水力关系，是分析求解节点与管段之间的水力关系，是分析求解给排水管网规划、设计及运行调度等各种问题给排水管网规划、设计及运行调度等各种问题的基础，很多问题都归结于求解该方程组。的基础，很多问题都归结于求解该方程组。4.3.4 恒定流基本方程组的矩阵表示恒定流基本方程组的矩阵表示l有了管网图关联矩阵定义后，可将恒定流基本方程组表示有了管网图关联矩阵定义后，可将恒定流基本方程组表示为矩阵形式：为矩阵形式：l l (4.13)l式中式中 A-管网图的关联矩阵；管网图的关联矩阵；l以图给水管网模型，可以写出其恒定流以图给水管网模型，可以写出其恒定流基本方程组的矩阵形式如下：基本方程组的矩阵形式如下：l l + =0l (4.14)T Tl T l =l l l l (4.15) l习题P85 14 (第第4章完）章完）