西西 北北 工工 业 大大 学学第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通 信 原 理第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/222第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析本章是本课程的重要数学基础。本章是本课程的重要数学基础。研究内容：研究内容： 2.1 2.1 引言引言 2.2 2.2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 2.3 2.3 平稳随机过程平稳随机过程 2.4 2.4 高斯随机过程高斯随机过程 2.5 2.5 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 2.6 2.6 窄带随机过程窄带随机过程 2.7 2.7 正弦波加窄带随机过程正弦波加窄带随机过程 2.8 2.8 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/223 引引 言言通通信信-是是在在噪噪声声背背景景下下信信号号通通过过通通信信系系统统的的过过程程，分分析析与与研研究通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。究通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。随随机机信信号号：通通信信系系统统中中用用于于表表述述信信息息的的信信号号不不可可能能是是单单一一的、确定的，而是具有不确定性和随机性。的、确定的，而是具有不确定性和随机性。随随机机噪噪声声：通通信信中中存存在在的的各各种种干干扰扰和和噪噪声声，其其波波形形更更是是随随机的、不可预测的。机的、不可预测的。随机过程：随机过程：尽尽管随机信号和随机噪声是不可预测的、随机管随机信号和随机噪声是不可预测的、随机的，但它们具有一定的统计规律。的，但它们具有一定的统计规律。从统计学的观点看，均可从统计学的观点看，均可表示为随机过程。表示为随机过程。 随机过程随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。间函数描述。 统计学中的有关统计学中的有关随机过程的理论随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分可以运用到随机信号和噪声分析中来。析中来。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/224 2.2 2.2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念2.2.1 2.2.1 随机过程的概念随机过程的概念考察：考察： 假设假设有有n台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试其输出。（其输出。（n-足够大的正整数）足够大的正整数） 得到得到一系列噪声波形一系列噪声波形x1(t)、x2(t)、x3(t)、.、xn(t) 。 结果：结果：理想时，波形似乎应该一致，但实际不然。理想时，波形似乎应该一致，但实际不然。找不到两个完全相找不到两个完全相同的波形！同的波形！第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/225讨论：讨论：每一个记录每一个记录xi(t)都是一个随机都是一个随机起伏的时间函数起伏的时间函数随机函数。随机函数。全部随机函数的集合全部随机函数的集合随随机过程：机过程： X(t) =x1(t), x2(t), , xn(t)每一条曲线每一条曲线xi(t)都是随机过程都是随机过程的的一个实现一个实现/样本样本为确定的为确定的时间函数。时间函数。在某一特定时刻在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值观察各台接收机的输出噪声值x(t1) ，发现，发现他们的值是不同的他们的值是不同的 是一个随机量（是一个随机量（随机变量随机变量）。）。角度角度1 1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。对应不同随机试验结果的时间过程的集合。角度角度2 2：随机过程是随机过程是随机变量随机变量概念的延伸。概念的延伸。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/226讨论：讨论：在任一给定时刻在任一给定时刻t1上，每一个样本函数上，每一个样本函数xi (t)都有一个确定的数都有一个确定的数值值xi (t1)。但在同一时刻，不同样本的取值。但在同一时刻，不同样本的取值xi(t1) ，i=1，2，n却是一个随机变量。却是一个随机变量。换句话说，换句话说，随机过程在任意时刻随机过程在任意时刻t1的值的值X(t1)是一个是一个随机变量随机变量。因此，又可以把因此，又可以把随机过程随机过程看作看作是是在时间进程中处于不同时刻在时间进程中处于不同时刻的的随机变量的集合随机变量的集合。角度角度1 1：对应不同随机试验结对应不同随机试验结果的时间过程的集合。果的时间过程的集合。角度角度2 2：随机过程是随机变量随机过程是随机变量概念的延伸。概念的延伸。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/227概括：概括： 随机过程随机过程X(t)的含义属性的含义属性有三点：有三点： （1）X(t)是是t 的函数。的函数。 （2）X(t)在任一时刻在任一时刻 t1上的取值上的取值X(t1)不是确定的，是一个不是确定的，是一个随机变量随机变量。即每一时刻上的函数值是按照一定的概率分布的。即每一时刻上的函数值是按照一定的概率分布的。 （3） X(t)的任一实现的任一实现xi (t)是一个确定函数，随机性体现在是一个确定函数，随机性体现在某一样本出现的随机上。某一样本出现的随机上。 时间平均时间平均概率论：随机变量分析概率论：随机变量分析分布函数分布函数和和概率密度概率密度研究内容研究内容随机过程统计描述：随机过程统计描述： 1. 随机过程的分布函数随机过程的分布函数 2. 随机过程的数字特征随机过程的数字特征第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2282.2.2 2.2.2 随机过程随机过程统计描述统计描述仅观察图仅观察图2-1所给出的样本函数，很难定量的描述这个随机所给出的样本函数，很难定量的描述这个随机过程的变化规律。因此，需要从统计的意义上来研究样本波过程的变化规律。因此，需要从统计的意义上来研究样本波形，将它们形，将它们所具有的共性所具有的共性，即，即相同的特性相同的特性提炼出来，这就是提炼出来，这就是随机过程的统计描述。随机过程的统计描述。随机过程的统计特性是通过它的随机过程的统计特性是通过它的分布函数分布函数或或数字特征数字特征加以加以描述的。描述的。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2291. 1. 随机过程的分布函数随机过程的分布函数设设X (t)表示一个随机过程，它在任意时刻表示一个随机过程，它在任意时刻t1的值的值X (t1)是一个随是一个随机变量，根据概率论的知识，随机过程机变量，根据概率论的知识，随机过程X(t)的的-（1 1）随机过程随机过程X(t)的一维描述的一维描述-反映随机过程在任一时刻的取反映随机过程在任一时刻的取值统计特性。值统计特性。 一维分布函数一维分布函数 表示随机变量表示随机变量X(t1)小于或等于某一数值小于或等于某一数值x1的概率。的概率。 一维概率密度函数一维概率密度函数若上式中的偏导存在的话。若上式中的偏导存在的话。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2210（2 2）随机过程随机过程 (t)的二维描述的二维描述-反映随机过程在不同时刻取反映随机过程在不同时刻取值之间的关联程度。值之间的关联程度。 二维分布函数二维分布函数 任意给定时刻任意给定时刻t1 、t2， 和和 同时成立的概率：同时成立的概率：二维概率密度函数二维概率密度函数若上式中的偏导存在的话。若上式中的偏导存在的话。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2211（3 3）随机过程随机过程X (t)的的多多维描述维描述n维分布函数维分布函数 n维概率密度函数维概率密度函数第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2212目的目的/意义：意义： 可可以以把把随随机机过过程程X(t)当当作作一一个个多多元元的的随随机机变变量量来来看看待待，而而用用这这个个多多元元随随机机变变量量X(t1)，X(t2)，.，X(tn)的的分分布布函函数数或或概概率密度来描述随机过程的统计特性。率密度来描述随机过程的统计特性。 显然，显然，n 越大，对随机过程的描述越充分。越大，对随机过程的描述越充分。统计独立统计独立: 对对于于任任何何n个个随随机机变变量量X(t1)，X(t2)，.，X(tn)，如如果果下下式式成成立立 fn(x1, x2, ., xn；t1, t2, ., tn) = f1(x1, t1)f1(x2, t2).f1(xn, tn)则称这些变量是则称这些变量是统计独立的统计独立的，否则就是，否则就是不独立的不独立的或或相相关的。关的。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22132.2.随机过程随机过程的数字特征的数字特征引言引言 问题：问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必实际中：难；不必。 措施：措施：用随机过程的用随机过程的数字特征数字特征来描绘随机过程的统计特性，来描绘随机过程的统计特性，更简单方便。更简单方便。 方法：方法：求随机过程数字特征的方法有求随机过程数字特征的方法有“统计平均统计平均”和和“时间时间平均平均”两种。两种。 统计平均：统计平均：对随机过程对随机过程 X(t)某一特定时刻不同实现的可能某一特定时刻不同实现的可能取值取值X(ti)随机变量随机变量 ，用，用统计方法统计方法得出的种种平均值叫统计得出的种种平均值叫统计平均。平均。 时间平均：时间平均：对随机过程对随机过程X(t)的某一的某一特定实现特定实现xi(t) ，用数学，用数学分析方法分析方法对时间求平均对时间求平均得出的平均值叫时间平均。得出的平均值叫时间平均。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2214随机过程在任意给定时刻随机过程在任意给定时刻t的数学期望。的数学期望。（1 1）随机过程的随机过程的数学期望（均值）数学期望（均值）随机过程随机过程X(t)在任意给定时刻在任意给定时刻t1的取值的取值X (t1)是一个随机变量，是一个随机变量，其其数学期望数学期望为为 式中式中 f1 (x1, t1) X(t1)的概率密度函数。的概率密度函数。由于由于t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t1 直接写为直接写为t， x1改为改为x，这样，这样第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2215a (t )X (t)的均值是时间的确定函数，常记作的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示，它表示随机过程随机过程的的n个样本函数曲线的个样本函数曲线的摆动中心摆动中心，故又常被称为统计平均或，故又常被称为统计平均或均均值值。 第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2216（2 2）方差）方差均方值均方值均值平方均值平方方差常记为方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻。这里也把任意时刻t1直接写成了直接写成了t 。因为因为所以，所以，方差等于均方值与均值平方之差方差等于均方值与均值平方之差，它，它表示随机过程在时表示随机过程在时刻刻 t 相对于均值相对于均值a ( t )的偏离程度的偏离程度。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2217（3 3）协协方方差差与与相相关关函函数数随随机机过过程程不不同同时时刻刻取取值值之之间间的的相相互关系互关系假定：假定：X(t1)和和X(t2)分别是在分别是在t1和和t2时刻观测得到的时刻观测得到的随机变量随机变量。（A A）自自相关函数相关函数同一随机过程的相关程度同一随机过程的相关程度f2 (x1, x2; t1, t2) X (t)的二维概率密度函数。的二维概率密度函数。可以看出，可以看出，R(t1, t2)是两个变量是两个变量t1和和t2的确定函数。的确定函数。 （B B）协方差函数）协方差函数=R( t,)第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2218相关函数和协方差函数之间的关系：相关函数和协方差函数之间的关系：特别：特别：若若a(t) =0，则，则 B(t1, t2) = R(t1, t2)（C C）互相关函数互相关函数两个不同随机过程两个不同随机过程X(t)、Y(t)的相关程度的相关程度X(t)和和Y(t)是不相关的是不相关的-正交的随机过程。正交的随机过程。统计独立的两个统计独立的两个随机过程是不相关的。随机过程是不相关的。相应地：相应地：R(t1, t2)称为称为自相关函数自相关函数。特别：特别：第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2219 2.3 2.3 平稳随机过程平稳随机过程2.3.1 2.3.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念1.1.定义定义若一个随机过程若一个随机过程X(t)，它的任意，它的任意n维分布或概率密度函数与时间维分布或概率密度函数与时间起点无关，即起点无关，即对于任意的正整数对于任意的正整数n和所有实数和所有实数 ，有，有则称称X(t)是是平平稳随机随机过程程。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22202.2.性质性质该定义表明：平稳随机过程的统计特性不随时间该定义表明：平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。特别是：的推移而改变。特别是：一维分布函数与时间一维分布函数与时间t无关：无关：3.3.数字特征数字特征而二维分布函数只与时间间隔而二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关：有关：可见可见：（：（1）其均值与其均值与t无关，为常数无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔自相关函数只与时间间隔 有关，为有关，为R()。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2221严平稳随机过程的数字特征：严平稳随机过程的数字特征： （1）其均值与其均值与t无关，为常数无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔自相关函数只与时间间隔 有关。有关。 4.4.广义平稳随机过程广义平稳随机过程 把把同同时时满满足足（1）和和（2）的的随随机机过过程程定定义义为为广广义义平平稳稳随随机机过程过程。意义：意义：具有具有各态历经性各态历经性平稳随机过程平稳随机过程十分有趣，非常有用十分有趣，非常有用。通通信信系系统统中中所所遇遇到到的的信信号号与与噪噪声声，大大多多数数可可视视为为平平稳稳、具具有各态历经性的随机过程。有各态历经性的随机过程。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22222.3.2 2.3.2 平稳随机过程的平稳随机过程的各态历经性各态历经性问题的提出问题的提出 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本。的样本。 问题：问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平来决定平稳过程的数字特征呢稳过程的数字特征呢?回答是肯定的回答是肯定的： 平稳过程在平稳过程在满足一定的条件满足一定的条件下具有一种十分有用的特性下具有一种十分有用的特性-“各态历经性各态历经性”（或称（或称“遍历性遍历性”）。具有各态历经性的过）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为程，其数字特征（均为统计平均统计平均）完全可由随机过程中的）完全可由随机过程中的任一实现的任一实现的时间平均值时间平均值来代替。来代替。 条件？条件？第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2223各态历经性条件各态历经性条件设：设： xi(t)是平稳过程是平稳过程X(t)的任意一次实现（样本），则其的任意一次实现（样本），则其时间时间均值均值和和时间相关函数时间相关函数分别定义为：分别定义为：如果平稳过程使下式成立如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。则称该平稳过程具有各态历经性。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2224“各态历经各态历经”的含义的含义 随机过程中的任何一次实现都经历了随机过程的所有可能状随机过程中的任何一次实现都经历了随机过程的所有可能状态，其任一样本都蕴含着平稳随机过程的全部统计信息。态，其任一样本都蕴含着平稳随机过程的全部统计信息。 各态历经随机过程的特点各态历经随机过程的特点好处好处 在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的只要获得一次考察，用一次实现的“时间平时间平均均”值代替过程的值代替过程的“统计平均统计平均”值即可，值即可，从而使测量和计算从而使测量和计算问题大为简化。问题大为简化。注：注：具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。足各态历经条件。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2225 例例2-12 设一个随机相位的正弦波为设一个随机相位的正弦波为其中，其中，A和和 c均为常数；均为常数； 是在是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。内均匀分布的随机变量。试讨论试讨论X(t)是否具有各态历经性。是否具有各态历经性。【解解】（1）先求）先求X(t)的统计平均值。的统计平均值。均值：均值：与与t 无关无关第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2226 仅只与时间间隔仅只与时间间隔 有关。有关。所以：所以：X(t)是广义平稳过程。是广义平稳过程。自相关函数：自相关函数：令令t2 t1 = ，得到，得到第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2227结论：结论：随机相位正弦波是各态历经的。随机相位正弦波是各态历经的。（2）求）求X(t)的时间平均值的时间平均值综上，有综上，有第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22282.3.3 2.3.3 平稳过程的自相关函数平稳过程的自相关函数特别重要，因为：特别重要，因为：平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函数平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函数来描述；来描述；相关函数揭示了随机过程的频谱特性。相关函数揭示了随机过程的频谱特性。（1）平稳过程自相关函数的定义：）平稳过程自相关函数的定义：（2）平稳过程自相关函数的性质）平稳过程自相关函数的性质特别：特别：均值为均值为0时，有时，有 R(0) = 2 的的偶函数偶函数 R( )的的上界上界，R( )在在 = 0有最大值。有最大值。 X(t)的的平均功率平均功率 X(t)的的直流功率直流功率 X(t)的的交流功率交流功率1）2）3）4）5）第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22292） - R() 的的上界。上界。证：证：由于由于 从而从而 所以，得所以，得对性质对性质2）、）、4）、）、5）证明如下。）证明如下。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22304） -X(t)的的直流功率直流功率。证：注注：这这里里利利用用了了当当时时X(t)与与X(t+)变变得得没没有有依依赖赖关关系系，即统计独立，且认为即统计独立，且认为X(t)不不含有周期分量。含有周期分量。5） -方差方差为X(t)的的交流功率交流功率。证：证：由由证毕。证毕。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22312.3.4 2.3.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度PX() 相关函数相关函数R()的又一重要性的又一重要性质。 设：X(t)平平稳，R()绝对可可积则则在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。意意义义：平平稳随随机机过程程的的自自相相关关函函数数与与其其功功率率谱密密度度之之间互互为傅里叶关系。傅里叶关系。简记为：简记为：维纳维纳- -辛钦关系辛钦关系第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2232证明：证明：由信号与系统课程知道，对于任意确定功率信号由信号与系统课程知道，对于任意确定功率信号x(t)，其功率谱密度为其功率谱密度为式中，式中， 是是x(t)的短截函数的短截函数xT(t)的的频谱函数。对于功率型平稳随机过程频谱函数。对于功率型平稳随机过程而言，它的任一实现的功率谱密度也而言，它的任一实现的功率谱密度也可以由上式确定。可以由上式确定。但一般而言，不同实现具有不同的谱密度。因此，某一实现的但一般而言，不同实现具有不同的谱密度。因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有实现的功率谱的统计平均，即看作是对所有实现的功率谱的统计平均，即第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2233我们还知道，非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功我们还知道，非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，也就是说，平稳随机过程的功率谱密度成立，也就是说，平稳随机过程的功率谱密度PX()与其自与其自相关函数相关函数R()也是一对傅里叶变换，即也是一对傅里叶变换，即第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2234讨论：讨论：（1）对功率谱密度进行积分，可得）对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率平稳过程的总功率：从频域的角度给出了过程平均功率的计算方法。从频域的角度给出了过程平均功率的计算方法。（2）各态历经过程的任一实现的功率谱密度等于过程的功率各态历经过程的任一实现的功率谱密度等于过程的功率谱密度：谱密度：即，任一实现的谱特性都能很好地表现整个过程的谱特性。即，任一实现的谱特性都能很好地表现整个过程的谱特性。【证证】对各态历经过程，有对各态历经过程，有 两边同取傅里叶变换，得两边同取傅里叶变换，得 此即此即第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2235【解解】由例由例2-1已经得知随相信号是一个平稳过程，且其已经得知随相信号是一个平稳过程，且其相关相关函数函数为为例例2-3 试求随相正弦波试求随相正弦波X(t) = Acos( ct + )的自相关函数、功的自相关函数、功率谱密度和率谱密度和和平均功率和平均功率。又由又由 得得 功率谱密度功率谱密度 平均功率平均功率 第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2236 2.4 2.4 高斯随机过程高斯随机过程 通信中最重要也是最常见的过程。通信中最重要也是最常见的过程。2.4.1 2.4.1 高斯过程的定义高斯过程的定义若随机过程若随机过程X(t)的任意的任意n维分布（维分布（n=1,2,）均服从正态分布，）均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。则称它为正态过程或高斯过程。 n维正态概率密度函数表示式维正态概率密度函数表示式见见 式（）式（） （）（）特点：特点：高斯过程的高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。特征就可以了。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2237特别情况下，当特别情况下，当n=1时，式时，式（）（）简单为简单为 此即为高斯过程此即为高斯过程X(t)在时刻在时刻t1取值所得随机变量取值所得随机变量X(t1)的一维概率的一维概率密度函数，显见其为正态的。式中，密度函数，显见其为正态的。式中，a1为为X(t1)的均值，的均值， 为为X(t1)的方差。的方差。（）（）一维时：一维时：第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22382.4.2 2.4.2 高斯过程的高斯过程的重要重要性质性质由定义可分析出由定义可分析出（1）高斯过程）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳若广义平稳，则必狭义平稳 。（2）高斯过程中的随机变量）高斯过程中的随机变量X(t1)、X(t2)、X(t3)、之间之间若不若不相关相关，则它们也必是，则它们也必是统计独立统计独立的。的。意义：意义：这种情况下，随机过程极其复杂的这种情况下，随机过程极其复杂的n维正态概率密度函维正态概率密度函数表示转化为数表示转化为n个简单的一维分布的乘积。个简单的一维分布的乘积。（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程。若干个高斯过程之和仍是高斯过程。从信号角度。从信号角度。（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。从系统角度从系统角度。（）（）第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2239 则称则称x为服从正态分布的随机变量，为服从正态分布的随机变量，也称高斯随机变量。也称高斯随机变量。 a均值均值， 2方差方差 。2.4.3 2.4.3 高斯随机变量高斯随机变量高高斯斯过过程程在在任任一一时时刻刻上上的的取取值值为为高高斯斯随随机机变变量量。在在分分析析系系统统抗抗噪声性能时要反复用到噪声性能时要反复用到。1. 1. 定义定义/ /概率密度函数概率密度函数 若随机变量若随机变量x的概率密度函数可表示成的概率密度函数可表示成曲线：曲线：第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2240性质：性质：1）对称于直线）对称于直线x=a; 2）在）在 内单调上升，内单调上升，在在 内单调下降，且内单调下降，且在在a点处达到极大值点处达到极大值;3） 4）a 表示分布中心，表示分布中心， 表示集中的程度。表示集中的程度。 一定时一定时，。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22412. 2. 正态分布函数正态分布函数（1 1）一般表示式）一般表示式这个积分不易计算，常引入这个积分不易计算，常引入误差函数误差函数或或Q函数（可查表）函数（可查表）来表来表述。述。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2242（3 3）用误差函数表示）用误差函数表示 正正态分布函数常表示成与分布函数常表示成与误差函数相差函数相联系的形式。系的形式。 1 1）误差函数定差函数定义误差函数：误差函数：互补误差函数：互补误差函数：附录附录B第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22432 2）误差函数的性质）误差函数的性质误差函数是递增函数误差函数是递增函数，它具有如下性质：，它具有如下性质： 互补误差函数是递减函数互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：，它具有如下性质：第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22443 3）用误差函数表示正态分布函数）用误差函数表示正态分布函数或：或：第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2245（2 2）用用Q函数表示正态分布函数函数表示正态分布函数 Q函数定义：函数定义：Q函数和函数和erfc函数的关系：函数的关系： Q函数和分布函数函数和分布函数F(x)的关系：的关系：Q函数值也可以从查表得到。函数值也可以从查表得到。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2246 2.5 2.5 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统2.5.1 2.5.1 输出过程的表达式输出过程的表达式线性系统线性系统复习：复习： 设：设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为线性系统的冲击响应和网络函数分别为 ：h(t)、H() 。周知：周知：线性系统响应线性系统响应y(t)等于输入信号等于输入信号x(t)与冲击响应与冲击响应h(t)的卷积，的卷积，即：即：确知信号通过确知信号通过线性系统：线性系统：第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2247理解：理解： 上式对于确知信号是没有问题的。上式对于确知信号是没有问题的。 当输入是随机过程当输入是随机过程X (t)的任意一个实现时，也应成立的任意一个实现时，也应成立。即，。即，如果把如果把x(t)看作是输入随机过程看作是输入随机过程X (t)的某一个样本，则的某一个样本，则y(t)将将是输出随机过程是输出随机过程Y(t)的一个相应的样本。的一个相应的样本。 这一关系这一关系可以拓宽到包含所有样本的随机过程可以拓宽到包含所有样本的随机过程。即当输入。即当输入是随机过程是随机过程X(t)时，便有输出随机过程时，便有输出随机过程Y(t)。且有：。且有： 随机信号通过随机信号通过线性系统：线性系统：第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22482.5.2 2.5.2 输出随机过程输出随机过程 Y(t)的统计特性的统计特性任务：任务：假设假设X(t)为平稳随机过程，且已知其统计特性，求为平稳随机过程，且已知其统计特性，求Y(t)的的统计特性统计特性。注：注：考察一个实现就够了。考察一个实现就够了。假设：假设：X(t) 是平稳的输入随机过程，且是平稳的输入随机过程，且均值均值aX ，自相关函数自相关函数RX( ) ，功率谱密度功率谱密度 PX( ) ；求求输出过程输出过程Y(t)的统计特性：均值、自相关函数、功率谱以及的统计特性：均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。概率分布。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22491.1.Y(t)的均值的均值结结论论：线线性性系系统统输输出出过过程程的的均均值值，是是输输入入过过程程均均值值与与系系统统直直流增益的乘积。流增益的乘积。 输出过程的均值与时间无关。输出过程的均值与时间无关。与与t无关。无关。对对两边取统计平均，有两边取统计平均，有第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22502.2. Y(t)的相关函数的相关函数根据自相关函数的定义根据自相关函数的定义仅与仅与有关。有关。综上综上: : Y( (t) )平稳。平稳。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2251由由进行傅里叶变换，得进行傅里叶变换，得3.3.Y(t)的功率谱密度的功率谱密度令令 = + - ，代入上式，得到，代入上式，得到即即结论：结论：-应用：应用：由由PY()的反傅里叶变换求的反傅里叶变换求RY( ) 。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2252由于已假设由于已假设X(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和输上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和输出过程也为高斯过程。出过程也为高斯过程。注：注：与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变。与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变。4. 4. Y(t)的概率分布函数的概率分布函数结论：结论：证：证：从积分原理看从积分原理看可以表示为：可以表示为：第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2253 2.6 2.6 窄带随机过程窄带随机过程窄带过程窄带过程窄带随机过程的概念窄带随机过程的概念1.1.什么叫窄带随机过程？什么叫窄带随机过程？ 频谱：频谱：所占频带较窄，满足所占频带较窄，满足f fc的随机过程叫。的随机过程叫。 时域：时域：用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相位随机缓慢变化的近似正弦。位随机缓慢变化的近似正弦。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2254问：问：窄带随机过程的同相及正交分量是低频的还是高频的窄带随机过程的同相及正交分量是低频的还是高频的? ?可以看出：可以看出： X(t)的统计特性由的统计特性由(t)和和 (t)或或ac(t)和和as(t)的统计特性确定。的统计特性确定。 若若X(t)的统计特性已知，则的统计特性已知，则(t)和和 (t)或或ac(t)和和as(t)的统计特的统计特性也随之确定。性也随之确定。2. 2. 表达式表达式两种！两种！第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22552.6.2 2.6.2 已知已知X(t)的统计特性，求的统计特性，求ac(t)、as(t)的统计特性的统计特性仅给出结论，详细证明见教材。仅给出结论，详细证明见教材。结论：结论：若：若：X(t)是是均值为均值为0 0、方差为、方差为2、窄带、平稳、高斯、窄带、平稳、高斯随机过程。随机过程。则：则：（1）ac(t)、as(t)同样是同样是平稳高斯平稳高斯随机过程；随机过程； （2）ac(t)、as(t)的的均值与均值与X(t)的相同，皆为的相同，皆为0，即，即 （3）ac(t)、as(t)的的方差与方差与X(t)的相同，皆为的相同，皆为2 ，即，即（4）在同一时刻（即）在同一时刻（即=0）上得到的）上得到的ac(t)及及as (t)互不相互不相关，或说关，或说统计独立统计独立。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2256 已知已知X(t)的统计特性，求的统计特性，求 (t)、 (t)的统计特性的统计特性 仅给出结论，详细证明见教材。仅给出结论，详细证明见教材。结论：结论：若：若：X(t)是是均值为均值为0、方差为、方差为X2、窄带、平稳、高斯、窄带、平稳、高斯随机过程。随机过程。则：则：（1）其包络）其包络(t)的一维概率密度呈的一维概率密度呈瑞利分布瑞利分布； （2）其相位）其相位 (t)的一维概率密度呈的一维概率密度呈均匀分布均匀分布； （3） (t)与与 (t)统计独立统计独立。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2257 2.7 2.7 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声2.7.1 2.7.1 合成波的表达式合成波的表达式信号经过信道传输时，总会受到噪声的干扰，通常在接收机信号经过信道传输时，总会受到噪声的干扰，通常在接收机前端设置一个前端设置一个BPF，用以滤除信号频带以外的噪声。，用以滤除信号频带以外的噪声。BPF的输的输出是信号与窄带噪声的混合波形，最常见的是出是信号与窄带噪声的混合波形，最常见的是正弦波加窄带正弦波加窄带高斯噪声高斯噪声的的合成波合成波：其中：其中：代表各种可能的已调载波信号，代表各种可能的已调载波信号，A、c、皆皆可视为确知量；可视为确知量；是均值为是均值为0，方差为，方差为 的窄带的窄带高斯噪声，其为窄带高斯过程。高斯噪声，其为窄带高斯过程。 第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2258展开上式，有：展开上式，有：其中：其中：第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22592.7.2 统计特性统计特性（1 1）同相分量和正交分量的统计特性）同相分量和正交分量的统计特性结论结论若：若：n(t) 均值为均值为0、方差为、方差为2、窄带平稳高斯、窄带平稳高斯随机过程随机过程; 给定给定。则：则：（1）zc(t)、zs(t)同样是同样是窄带平稳高斯窄带平稳高斯随机过程；随机过程；（2）且）且zc2=zs2=n2=2方差相同，同于方差相同，同于n(t) ；（3）但：）但：Ezc(t)=Acos Ezs(t)=Asin （4）在同一时刻（即）在同一时刻（即=0）上得到的）上得到的zc及及zs互相关函数为互相关函数为0，即，即zc与与zs互不相关，或说统计独立。互不相关，或说统计独立。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2260（2 2）合成包络合成包络z(t)和相位和相位 (t)的统计特性的统计特性可以证明：可以证明： 1）随机包络服从广义瑞利分布随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（也称莱斯（Rice）分布）分布）2）随机相位分布与信道中的信噪比有关，）随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分布不再是均匀分布了了。图图2-72-7 正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位分布正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位分布 第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2261讨论：讨论：正弦波加窄带高斯噪声的统计特性与信噪比正弦波加窄带高斯噪声的统计特性与信噪比有关。有关。 包络：包络：小信噪比时，接近于小信噪比时，接近于瑞利分布瑞利分布；大信噪比时，接近于；大信噪比时，接近于高斯分布高斯分布。相位：相位：小信噪比时，接近于小信噪比时，接近于均匀分布均匀分布，它反映这时窄带高斯，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，主要噪声为主的情况；大信噪比时，主要集中在有用信号相位附近集中在有用信号相位附近。 第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22622.8 2.8 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声2.8.1 2.8.1 白噪声白噪声 在通信系统的抗噪声性能分析时，常把通信信道中的噪声源在通信系统的抗噪声性能分析时，常把通信信道中的噪声源视为视为高斯白噪声高斯白噪声。 1.1.定义：定义：凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称为白噪声。即：称为白噪声。即： 双边谱密度：双边谱密度： 单边谱密度：单边谱密度：其中：其中：n0为常数，为常数，W/Hz。一般一般默认白噪声为平稳默认白噪声为平稳的。的。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22632.2.自相关函数自相关函数据据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。3. 3. 白噪声的功率白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即或或第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2264讨论：讨论： 白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还统计独立。不相关的，而且还统计独立。 真正真正“白白”的噪声不存在，它只是构造的一种理想化的噪的噪声不存在，它只是构造的一种理想化的噪声形式。声形式。 实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远大于通实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远大于通信系统的工作频带，就可视为白噪声。信系统的工作频带，就可视为白噪声。 问：问：高斯白高斯白噪声？噪声？第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22652.8.2 2.8.2 高斯白噪声高斯白噪声 定义：定义：指噪声取值的概率密度函数满足正态分布统计特性，同指噪声取值的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时它的功率谱密度函数是常数的一类噪声。时它的功率谱密度函数是常数的一类噪声。注意注意：高斯白噪声同时涉及到噪声的两个不同方面，即概率密高斯白噪声同时涉及到噪声的两个不同方面，即概率密度函数的正态分布性和功率谱密度函数的均匀性。度函数的正态分布性和功率谱密度函数的均匀性。讨论：讨论：在通信系统的理论分析中，常假定信道噪声为高斯白噪在通信系统的理论分析中，常假定信道噪声为高斯白噪声声。原因：。原因：高斯白噪声可用具体的数学表达式表述：只要知道了均值和高斯白噪声可用具体的数学表达式表述：只要知道了均值和方差，它的一维概率密度函数便可确定；只要知道了功率谱密方差，它的一维概率密度函数便可确定；只要知道了功率谱密度值，它的功率谱密度函数便可确定。度值，它的功率谱密度函数便可确定。高斯型白噪声确实反映了实际信道中的加性噪声情况，比较高斯型白噪声确实反映了实际信道中的加性噪声情况，比较真实地代表了信道噪声的特性。真实地代表了信道噪声的特性。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22662.8.3 2.8.3 带限白噪声带限白噪声-白噪声功率被限制在一定范围的噪声。白噪声功率被限制在一定范围的噪声。 实际通信系统往往是一个实际通信系统往往是一个带通系统，带通系统，其其作用作用在于一方面让信在于一方面让信号畅通无阻，同时最大限度地抑制带外噪声。号畅通无阻，同时最大限度地抑制带外噪声。1. 1. 低通白噪声低通白噪声定定义义：白白噪噪声声经经理理想想低低通通滤滤波波器器或或理理想想低低通通信信道道后后而而形形成成的的噪噪声，被称为声，被称为低通白噪声低通白噪声。功率谱密度：功率谱密度：第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2267 自相关函数自相关函数低通白噪低通白噪声的功率声的功率第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2268讨论：讨论：低通白噪声只在低通白噪声只在 上得到的随机变量才上得到的随机变量才不相关。即：如果按奈奎斯特频率对低通白噪声进行抽样，不相关。即：如果按奈奎斯特频率对低通白噪声进行抽样，所得各抽样值互不相关。所得各抽样值互不相关。理想低通为线性系统，当输入的白噪声为高斯型时，其输理想低通为线性系统，当输入的白噪声为高斯型时，其输出也必为高斯的，且均值为出也必为高斯的，且均值为0，方差为，方差为问：问：窄带、高斯、白噪声的含义。窄带、高斯、白噪声的含义。第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/22692.2.带通白噪声带通白噪声定义：定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为则其输出的噪声称为带通白噪声带通白噪声。 功率谱密度：功率谱密度：设设理想带通滤波器理想带通滤波器的传输特性为的传输特性为 式中：式中：fc中心频率，中心频率，B通带宽度。通带宽度。则其输出噪声的则其输出噪声的功率谱密度功率谱密度为为第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2270自相关函数：自相关函数：带通白噪声的功率带通白噪声的功率-同于低通白噪声时。同于低通白噪声时。讨论：讨论：当输入的白噪声为高斯型时，理想带通滤波器的输出也是当输入的白噪声为高斯型时，理想带通滤波器的输出也是高斯的，且其均值为高斯的，且其均值为0 0，方差，方差 。 第第2 2章章 随机信号与噪声分析随机信号与噪声分析通信原理2024/9/2271例例 功率谱密度功率谱密度n0/2白噪声，经白噪声，经LPF：求输出的：求输出的： Po()、Ro()、噪声功率、噪声功率N。解：解：