内容摘要拉氏变换的定义和收敛域拉氏变换的定义和收敛域典型信号的拉氏变换典型信号的拉氏变换三拉氏变换的基本性质三拉氏变换的基本性质 二单边拉氏变换逆变换的求法二单边拉氏变换逆变换的求法 一拉普拉斯变换一拉普拉斯变换四用拉普拉斯变换法分析电路四用拉普拉斯变换法分析电路五系统函数五系统函数系统函数的定义系统函数的定义由零极点的决定系统的时域特性由零极点的决定系统的时域特性由零极点的分析系统的稳定性由零极点的分析系统的稳定性由零极点的分析系统的频响特性由零极点的分析系统的频响特性部分分式展开法部分分式展开法围线积分法围线积分法例4-1求下列函数的拉氏变换求下列函数的拉氏变换 拉拉氏氏变变换换有有单单边边和和双双边边拉拉氏氏变变换换,为为了了区区别别起起见见,本本书书 以以 表表示示 单单边边拉拉氏氏变变换换,以以 表表示示 双双边边拉拉氏氏变变换换。若若文文字字中中未未作作说说明明,则则指指单单边边拉拉氏氏变变换换。单单边边拉拉氏氏变变换换只只研研究究 的的时时间间函函数数,因因此此,它它和和傅傅里里叶叶变变换换之之间间有有一一些些差差异异,例例如如在在时时移移定定理理,微微分分定定理理和和初初值值定定理理等等方方面面。本本例例只只讨讨论论时时移移定定理理。请请注注意意本本例例各各函函数数间间的的差差异异和和时时移移定理的正确应用。定理的正确应用。例4-24-2（a）求三角脉冲函数求三角脉冲函数 如图如图4-2（a）所示的象函数）所示的象函数和和傅傅里里叶叶变变换换类类似似，求求拉拉氏氏变变换换的的时时，往往往往要要借借助助基基本本信信号号的的拉拉氏氏变变换换和和拉拉氏氏变变换换的的性性质质，这这比比按按拉拉氏氏变变换换的的定定义义式式积积分分简简单单，为为比比较较起起见见，本本例例用用多多种种方方法法求解。求解。方法一：按定义式求解方法一：按定义式求解 方法二：利用线性叠加和时移性质求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解 方法三：利用微分性质求解方法三：利用微分性质求解 方法四：利用卷积性质求解方法四：利用卷积性质求解 方法一：按定义式求解方法二： 利用线性叠加和时移性质求解 于是于是由于由于方法三：利用微分性质求解 信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。性质比较简单。将将 微分两次，所得波形如图微分两次，所得波形如图4-2（b）所示。）所示。图图4-2（b）显然显然根据微分性质根据微分性质由图由图4-2（b）可以看出）可以看出于是于是方法四：利用卷积性质求解 可看作是图可看作是图4-2(c4-2(c）所示的矩形脉冲）所示的矩形脉冲 自身的自身的卷积卷积所以所以于是，根据卷积性质于是，根据卷积性质而而图图4-24-2（c c）例4-3应用微分性质求图应用微分性质求图4-3（a）中的）中的象函数象函数图图4-3（a）的导数的导数的波形。的波形。下面说明应用微分性质应注意的问题，图下面说明应用微分性质应注意的问题，图4-3（b）是）是（1 1）对于单边拉氏变换）对于单边拉氏变换, ,故二者的象故二者的象函数相同，即函数相同，即这是应用微分性质应特别注意的问题。这是应用微分性质应特别注意的问题。因而因而由图由图4-34-3（b b）知）知例4-4某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。不同的激励信号作用于系统。为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出则则阶跃响应阶跃响应例4-5电路如图电路如图4-5（a）所示）所示（1）求系统的冲激响应。）求系统的冲激响应。（3）求系统的起始状态，）求系统的起始状态，使系统的零输使系统的零输（2）求系统的起始状态）求系统的起始状态入响应等于冲激响应。入响应等于冲激响应。（1）求系统的冲激响应。利利用用s s域域模模型型图图4-5（b）可可直直写写出出图图4-5（a）电电路路的的系系统函数统函数冲激响应冲激响应（2）求系统的起始状态为为求求得得系系统统的的零零输输入入响响应应，应应写写出出系系统统的的微微分分方方程程或或给给出出带带有有初初值值的的s域域模模型型。下下面面我我们们用用s域域模模型型求求解解。图图4-5(a)电路的电路的s域模型如图域模型如图4-5(b)。由图由图4-5(b)可以写出可以写出上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入响应的拉氏变换。依题意的要求，该项应和响应的拉氏变换。依题意的要求，该项应和 相等，相等，从而得从而得故系统的起始状态故系统的起始状态通通过过本本例例可可以以看看出出，改改变变系系统统的的起起始始状状态态可可以以使使系系统统的的完完全全响响应应满满足足某某些些特特定定要要求求。本本质质上上，系系统统的的零零输输入入响响应应完完全全由由系系统统的的起起始始状状态态决决定定，对对一一个个稳稳定定系系统统而而言言，零零输输入入响响应应是是暂暂态态响响应应中中的的一一部部分分，因因此此，改改变变系系统统的的起起始始状状态态只只能能改改变变系系统统的的暂暂态态响响应应，使使暂暂态态响响应应满满足足某某些些特特定定要要求求，例例如如，本本例例要要求求暂暂态态响响应应为为零。零。（3）求系统的起始状态从而求得系统的起始状态从而求得系统的起始状态例例4-6用拉普拉斯变换分析法求下列系统用拉普拉斯变换分析法求下列系统的响应的响应r1(t)和和r2(t)。已知。已知r1(0)=2，r2(0)=1，e(t)= u(t)。解：对方程组求拉氏变换，有：解：对方程组求拉氏变换，有： S R1(s) -r1(0) +2R1(s)- R2(s)=1/S (1) - R1(s)+S R2(s)- r2(0)+2 R2(s)=0 (2) 联立（联立（1）和（）和（2）求解得）求解得 R1(s)=2/(3S)+1/(S+1)+1/3(S+3) R2(s)=1/(3S)+1/(S+1)-1/3(S+3) 所以：所以：r1(t)=(2/3)u(t)+e-tu(t)+(1/3)e-3tu(t) r2(t)=(1/3)u(t)+e-tu(t)-(1/3)e-3tu(t) 即为所求。即为所求。 例例4-7已知某已知某LTI系统的系统函数为系统的系统函数为初始条件为初始条件为r(0)=2，r(0)=1，求输入，求输入e(t)=e-tu(t)时的全响应。时的全响应。 设：设：rzi(t)=c1e-2t+c2e-3t，代入初始条件得：，代入初始条件得：c1=7，c2=-5 所以，所以，rzi(t)=(7e-2t-5e-3t)u(t) E(s)=1/(S+1)， R(s)=H(s)E(s)=(S+5)/(S+1)(S+2)(S+3)R(s)=2/（S+1）-3/（S+2）+1/（S+3） 所以，所以，rzs(t)=(2e-t-3e-2t+e-3t)u(t) 全响应全响应r(t)=rzs(t)+rzi(t)=(2e-t+4e-2t-4e-3t)u(t)解：解：