一一元元二二次次方方程程一般形式一般形式解法解法根的判别式：根的判别式：根与系数的关系：根与系数的关系：应用应用配方法求最值问题配方法求最值问题实际应用实际应用思想方法思想方法转化思想；转化思想； 配方法、换元法配方法、换元法直接开平方法直接开平方法配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法ax2+bx+c=0（a0）知识结构知识结构一、概念：一、概念：等号两边都是等号两边都是整式整式，只含有，只含有一个一个未知数，并未知数，并且未知数的最高次数是且未知数的最高次数是2的的方程方程二、一元二次方程的一般形式：二、一元二次方程的一般形式：其中二次项是其中二次项是_,二次项系数是二次项系数是_,一次项是一次项是_,一次项系一次项系数是数是_,常数项是常数项是_ab1.1.下列关于下列关于x x的方程中是一元二次方程的方程中是一元二次方程的是（的是（ ）A. B.A. B.C. D.C. D.E.E.D2、方程、方程 中是一元二次方程的为中是一元二次方程的为 （填序（填序号）号）3.3.当当k k 时，方程时，方程是关于是关于x x的一元二次方程。的一元二次方程。24.4.方程方程2x(x-1)=182x(x-1)=18化成一般形式为化成一般形式为 ，其中常数项为，其中常数项为 。二次项为。二次项为 ，一次项为，一次项为 ，二次项系数为，二次项系数为 ，一次项系数为，一次项系数为 . .x2-x-9=0-9x21-1x5、关于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?a2-4=0a+20解解:(1)a=2当当a=2时，原方程时，原方程是一元一次方程是一元一次方程(2) a2-40a2当当a2时，原方时，原方程是一元二次方程程是一元二次方程三、方程的根三、方程的根能使等式成立的未知数的值叫做方能使等式成立的未知数的值叫做方程的程的解解，一元二次方程的解也叫做，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的一元二次方程的根根6.若关于若关于x的方程的方程x2xm0的一根为的一根为0，则，则m 。7.已知已知x1是方程是方程xax60的一的一个根，则个根，则a ，另一个根为，另一个根为 。 四、根的情况：四、根的情况：方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根方程没有实数根b2-4ac0b2-4ac=0b2-4ac0练习： 不解方程判别根的情况不解方程判别根的情况 ：（1）2x24x+1=0；（2） 4y(y5)+25=0； （3）(x4)(x+3)+14=0； （4）(k2+1)x22kx+(k2+4)=0. 8.8.方程方程 x x2 2- x-1=0 - x-1=0 的根的情况是的根的情况是 . .9.9.关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程 有两个实数根，则有两个实数根，则k k的取值范围是的取值范围是 。有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根k2且且k110.关于关于x的一元二次方程的一元二次方程2xkx10有两有两个相等的实根，则个相等的实根，则k ；方程的解为；方程的解为 。五、解一元二次方程的方法：五、解一元二次方程的方法：配方法配方法公式法公式法因式分解法。因式分解法。选用适当方法解下列一元二次方程选用适当方法解下列一元二次方程v1 1、 (2x+1) (2x+1)2 2=64 =64 ( ( 法）法）v2 2、 (x-2) (x-2)2 2- -(x+(x+) )2 2=0 =0 ( ( 法）法）v3 3、( (x-x-) )2 2 -(4-(4-x)=x)= ( ( 法）法）v4 4、 x x- -x-10=x-10= ( ( 法）法）v5 5、 x x- -x-x-= = ( ( 法）法）v6 6、 x xx-1=0 x-1=0 ( ( 法）法）v7 7、 x x - -x-x-= = ( ( 法）法）v8 8、 y y2 2- y-1=0- y-1=0 ( ( 法）法）选择方法的顺序是：选择方法的顺序是： 直接开平方法直接开平方法 分解因式法分解因式法 公式法公式法配方法配方法因式分解因式分解因式分解因式分解 公式公式公式公式公式公式因式分解因式分解公式公式直接开平方直接开平方练习练习（1）(x1)(x2)0 （2）(x3) （3）已知）已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 则则a2+b2 = 。 （4）已知）已知2x2+5xy7y2=0， 且且y0，求，求x y11、12.用配方法解下列方程时，配方有错误的是用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A.x2x990化为化为 (x1)100 B. B. x8x90化为化为 (x4)25C. 2t7t40化为化为 D. 3y4y20化为化为 (1)(2)(3)(4)(5)(6)13.用适当的方法解方程用适当的方法解方程 14.若方程若方程(x+1)(x+a)=x+bx-4，则，则( ) A. a4，b=3 B. a-4，b=3， C. a4，b=-3 D. a-4，b=-3（1）对于任何实数）对于任何实数x，均有：，均有： 0； （2）不论）不论x为何实数，多项式为何实数，多项式 的值总大于的值总大于 的值。的值。求证：求证：一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程的根与系数的关系：若若 ax2+bx+c=0 的两根的两根为 x1、x2，则x1+x2=_；x1x2=_；以以x1、x2为根（二次根（二次项系数系数为1）的）的一元二次方程一元二次方程为_.x2- -(x1+x2)x+x1x2=0六、一元二次方程的根与系数：六、一元二次方程的根与系数：韦达定理：韦达定理：已知两数的和是已知两数的和是4,积是积是1，则此两数为，则此两数为 .例题分析例题分析:【例【例1】 关于关于x的方程的方程2x2+kx-4=0的一个的一个根是根是2，则方程的另一根是，则方程的另一根是 ；k 。 【例【例2】x1,x2是方程是方程2x2-3x-5=0的两个的两个根，不解方程，求下列代数式的值：根，不解方程，求下列代数式的值：（1）x12+x22 （2）x1-x2 （3）x12+3x22-3x2 、已知方程、已知方程x2mx+2=0的两根互为相反数，的两根互为相反数，则则m= 。2.设设a，b是方程是方程 的两个实数的两个实数根，根，则 = ；3、 已知方程已知方程x2+4x2m=0的一个根的一个根比另一个比另一个根根小小4，则，则= ；= ；m= .4、已知方程、已知方程5x2+mx10=0的一根是的一根是5，求方，求方程的另一根及程的另一根及m的值。的值。 5、关于、关于x的方程的方程2x23x+m=0，当，当 时，时，方程有两个正数根；当方程有两个正数根；当m 时，方程有一时，方程有一个正根，一个负根；当个正根，一个负根；当m 时，方程有一时，方程有一个根为个根为0。 ABC如图如图,点点C把线段把线段AB分成两条线段分成两条线段AC和和BC,如果如果 那么称线段那么称线段AB被点被点C黄金分割黄金分割(golden section),点点C叫叫做线段做线段AB的的黄金分割点黄金分割点,AC与与AB的比称为的比称为黄金比黄金比.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、验、答即审、设、列、解、验、答1.一种商品，原来每件的成本为一种商品，原来每件的成本为100元，元，由于连续两次降低成本，现在的成本由于连续两次降低成本，现在的成本是是81元，求平均每次降价的百分率。元，求平均每次降价的百分率。2.某印刷厂一月份印刷书籍某印刷厂一月份印刷书籍50万册万册,二二,三月份共印刷三月份共印刷132万册万册,求二求二,三月份三月份平均每月增长率是多少平均每月增长率是多少?2.某中学为美化校园，准备在长某中学为美化校园，准备在长32米，宽米，宽20米的长方米的长方形场地上修筑若干条一样宽的道路，余下部分作草形场地上修筑若干条一样宽的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与设计。现选取了几位同学设坪，并请全校学生参与设计。现选取了几位同学设计的方案（图纸如下）：计的方案（图纸如下）： （1）甲同学方案如图，设计草坪的总面积为）甲同学方案如图，设计草坪的总面积为540平平方米。问：道路的宽为多少？方米。问：道路的宽为多少？（2）若选取乙同学方案（如图），已知设计草坪的）若选取乙同学方案（如图），已知设计草坪的总面积为总面积为540平方米。则道路的宽又为多少？平方米。则道路的宽又为多少？（3）若选取丙同学方案（如图），已知设计草坪的）若选取丙同学方案（如图），已知设计草坪的总面积为总面积为570平方米。则道路宽又为多少？平方米。则道路宽又为多少？32202032(5)改为折线又如何？改为折线又如何？（4）若把乙同学的道路由直路改为斜路，）若把乙同学的道路由直路改为斜路，设计草坪的总面积仍为设计草坪的总面积仍为540平方米，平方米，那么道路的宽又是多少？那么道路的宽又是多少？改为曲线又如何？改为曲线又如何？3.如图如图,某农户为了发展养殖业某农户为了发展养殖业,准备利用一段墙和准备利用一段墙和55米长的竹篱笆围成三个相连且面积相等的长方形米长的竹篱笆围成三个相连且面积相等的长方形鸡、鸭、鹅各一个鸡、鸭、鹅各一个.问问:( 1)如果鸡、鸭、鹅场总面如果鸡、鸭、鹅场总面积为积为150米米2,那么有几种围法那么有几种围法?(2)如果需要围成的如果需要围成的养殖场的面积尽可能大养殖场的面积尽可能大,那么又应怎样围那么又应怎样围,最大面积最大面积是多少是多少? ( 墙长墙长18米米)4.某商场礼品柜台春节期间购进大量某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出出500张，每张盈利元，为了尽快减张，每张盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低元，那么商场平均每的售价每降低元，那么商场平均每天可多售出天可多售出100张，张， 商场要想平均商场要想平均每天盈利每天盈利120元，每张贺年卡应降价元，每张贺年卡应降价多少元多少元? 每张贺年卡应降价多少元时有最大利润每张贺年卡应降价多少元时有最大利润 5. 现有现有12升纯酒精，倒出一部分升纯酒精，倒出一部分后注满水，第二次倒出与前次同后注满水，第二次倒出与前次同量的混合液再注满水，此时容器量的混合液再注满水，此时容器内的水是纯酒精的内的水是纯酒精的3倍，求每次倍，求每次倒出液体的数量是多少升倒出液体的数量是多少升. 1 1、判断下列方程是否为一元二次方程判断下列方程是否为一元二次方程. .(1)X2+X=36(2)X3+X2=36(3)X2+3Y=36(5)X2=X(X+1)+36(6)ax2+bx+c=0(a0)、若关于、若关于x x的方程的方程(m-1)x(m-1)x2 2+3x-4=0+3x-4=0是一是一元二次方程元二次方程, , 则则m m的取值范围是的取值范围是_._.一元二次方程的概念一元二次方程的概念1 1. .下列是一元二次方程的是（下列是一元二次方程的是（ ） A. XA. X2 2+3x-2 B. x+3x-2 B. x2 2+3x-2=x+3x-2=x2 2 C. X C. X2 2=2+3x D. x=2+3x D. x2 2-x-x3 3+4=0+4=04 4. .若关于若关于x x的方程的方程kxkx2 2+x=2x+x=2x2 2+1+1是一元二次方是一元二次方程，则程，则k k的取值范围是的取值范围是_._.2 2. .写出一个一元二次方程，使它的各项系写出一个一元二次方程，使它的各项系数之和为数之和为6 6，则方程可以是，则方程可以是_. . 3 3. .关于关于x x的方程的方程( (m-3)xm-3)x2 2-(m-1)x-m=0-(m-1)x-m=0是一元是一元二次方程，则二次项系数是二次方程，则二次项系数是_,_,一次项系一次项系数是数是_,_,常数项是常数项是_. _. 做一做做一做, ,看看你是否真的掌握了看看你是否真的掌握了? ?典型例题：典型例题： (1)x2-10x+24=0; (4)3x(x-2)=4(x-2); (3)y2+(2-y)2+7y=02 2、(2003(2003大连大连) )某房屋开发公司经过几年某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由的不懈努力，开发建设住宅面积由20002000年年4 4万平方米，到万平方米，到20022002年的年的7 7万平方米设这两万平方米设这两年该房屋开发公司建设住宅面积的年平均年该房屋开发公司建设住宅面积的年平均增长率为增长率为x x，则可列方程为，则可列方程为_1 1(2002(2002杭州杭州) )已知已知2 2是关于是关于x x的方程的方程 的一个解，则的一个解，则2a2a1 1的值的值为为_【中考题目训练中考题目训练】v1.1.将方程化成一般形式将方程化成一般形式. .v2.2.解方程时选取方法要恰当。解方程时选取方法要恰当。v3.3.应用根与系数关系时，要应用根与系数关系时，要 特别注意应，特别注意应，b b2 2-4ac0.-4ac0.v3.3.一元二次方程系数可以判断一元二次方程系数可以判断 方程根的情况方程根的情况. .a a与与c c的符号为异号时，方程必定有实数根；的符号为异号时，方程必定有实数根；2、已知、已知(x+y)(x+y+2)=8，那么，那么x+y= 。1、方程、方程2x2=x的解是的解是 。3、当、当m= 时，代数式时，代数式x2是一个完全平方是一个完全平方式式综合运用综合运用4、已知方程、已知方程4x2-5kx+k2=0的一个根是的一个根是x=2，则则k的值为的值为 。2或或85、如果方程、如果方程是关于是关于x的一元二次方程，则它的根的一元二次方程，则它的根为为 。7、如果方程、如果方程ax2-6x+3=0有实数根，则有实数根，则a的取的取值范围是值范围是 。8、是关于是关于x的一元二次方程，求的一元二次方程，求m的值并解此的值并解此方程方程9、读诗词解题（通过列方程，算出周瑜去世、读诗词解题（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄）时的年龄）v大江东去浪淘尽，千古风流数人物；大江东去浪淘尽，千古风流数人物；v而立之年督东吴，早逝英年两位数；而立之年督东吴，早逝英年两位数；v十位恰小个位三，个位平方与寿符；十位恰小个位三，个位平方与寿符；v哪位学子算得快，多少年华属同瑜？哪位学子算得快，多少年华属同瑜？一元二次方程复习三一元二次方程复习三例例1 将下列方程化将下列方程化为一般形式，一般形式， 并分并分别指指出它出它们的二次的二次项系数、一次系数、一次项系数和常数系数和常数项,并解方程并解方程 1) 2）（）（x-2）(x+3)=8 3）例例2:关于关于x的方程的方程(m2-9)x2+(m+3)x+5m-1=0， (1)当当m取何值时是一元二次方程？取何值时是一元二次方程？ (2)当当m取何值时是一元一次方程？取何值时是一元一次方程？练: 方程（方程（2a4）x2 2bx+a=0, 在什么条件下此方程在什么条件下此方程为一元二次方程？一元二次方程？ 在什么条件下此方程在什么条件下此方程为一元一次方程？一元一次方程？解：当解：当 2a4，即，即a 2 时是一元二次方程；时是一元二次方程； a=2 且且 b 0 时是一元一次方程时是一元一次方程.选择题选择题1.方程（方程（m1)x2mx1=0为关于为关于x的一元二次的一元二次方程则方程则m的值为的值为A 任何实数任何实数 B m0 C m1 D m0 且且m1 2.关于关于x的方程中一定是一元二次方程的是的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2bxc0 B mx2xm20 C (m1)x2(m1)2 D （m21) x2m203. 关于关于x的方程（的方程（2m2m3)xm15x13 可能是一元二次方程吗？可能是一元二次方程吗？4.若方程若方程kx3(x1)23(k2)x31是关于是关于x的一元二次方程，则的一元二次方程，则k5. a为何值关于为何值关于x的方程的方程(3a1)x26ax3=0是是一元一元 二次方程二次方程为何值方程（为何值方程（k29)x2(k5)x3=0不是关于不是关于x的一元二次方程的一元二次方程B BA AC C1. 关于关于X的方程的方程(2m2+3)x2+5x=13 一定是一元二次方程吗？为什么一定是一元二次方程吗？为什么?2. 若关于若关于x的方程的方程kx2+x=2x2+1是一元是一元二次方程，则二次方程，则k的取值范围是的取值范围是_.x3.233.243.253.26-0.06-0.020.030.07A 3A 3x x x x x x x x C Cv试说明：试说明： 不论不论x取何值，代数式取何值，代数式2x2+5x-1的值总比代数的值总比代数式式x2+8x-4的值大。的值大。问问(1)P、Q两点从出发开始几秒时两点从出发开始几秒时,四边形四边形PBCQ的面积是的面积是33c例例 如图如图,已知已知A、B、C、D为矩为矩形的四个顶点形的四个顶点,AB=16,AD=6,动动点点P、Q分别从点分别从点A、C同时出发同时出发,点点P以以3/s的速度向点的速度向点B移动移动,一直到一直到点点B为止为止,点点Q以以2/s的速度向点的速度向点D移动移动. APDQBC(2)P、Q两点从出发开始几秒时两点从出发开始几秒时,点点P点点Q间的距离是间的距离是10问问(1)P、Q两点从出发开始几秒时两点从出发开始几秒时,四边形四边形PBCQ的面积是的面积是33cAPDQBC(2)P、Q两点从出发开始几秒时两点从出发开始几秒时,点点P点点Q间的距离是间的距离是10分析分析:四边形四边形PBCQ的形状是的形状是梯形梯形,上下底上下底,高各是多少高各是多少?分析分析:PQ的长度如何求的长度如何求?如图过如图过Q点作垂线点作垂线,构造直角三角形构造直角三角形若平均增长若平均增长(或降低或降低)百分率为百分率为x,增长增长(或降低或降低)前的是前的是a,增长增长(或降低或降低)n次后次后的量是的量是A,则它们的数量关系可表示为则它们的数量关系可表示为其中增长取其中增长取+,降低取降低取v1,老李购买某债券老李购买某债券4000元，两年后本利和元，两年后本利和为为4840元，求这种债券的平均年利率。元，求这种债券的平均年利率。v2，制造一种产品，原来每件的成本是，制造一种产品，原来每件的成本是120元，由于连续两次降低成本，现在成本为元，由于连续两次降低成本，现在成本为78元，求平均每次降低成本百分之几？元，求平均每次降低成本百分之几？解方程解方程:谢谢合作！谢谢合作！