微分方程的近似解法-差分解法对三类典型偏微分方程的定解问题，差分解法对三类典型偏微分方程的定解问题，差分解法的基本思想是用函数的差商代替微商，从而把的基本思想是用函数的差商代替微商，从而把微分运算化成代数运算，求解出在定解区域中微分运算化成代数运算，求解出在定解区域中足够多的点上的近似值。足够多的点上的近似值。2021/3/1111、差分与差分方程、差分与差分方程n函数函数f(x)的导数是函数的增量与自变量增量的的导数是函数的增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于零的极限。比值当自变量增量趋于零的极限。n即：即：2021/3/112一阶差商一阶差商2021/3/113高阶差商高阶差商2021/3/114由差商代替微商的误差由差商代替微商的误差2021/3/115偏导数的差商表示偏导数的差商表示2021/3/116差分方程差分方程2021/3/1172021/3/118n这样，可根据需要把区域分成适当的网格，着眼于求这样，可根据需要把区域分成适当的网格，着眼于求未知函数在未知函数在网格节点上的近似解网格节点上的近似解，此时在节点上用差，此时在节点上用差商近似代替微商，把定解问题化为以未知函数在节点商近似代替微商，把定解问题化为以未知函数在节点上的近似值为未知量的代数方向组（即差分方程），上的近似值为未知量的代数方向组（即差分方程），然后求解此差分方程，得到原定解问题在节点上的近然后求解此差分方程，得到原定解问题在节点上的近似值，这各种方法称为似值，这各种方法称为差分方法差分方法。n由误差分析可知，当区域划分充分精细时，节点处的由误差分析可知，当区域划分充分精细时，节点处的近似值与精确值将充分逼近。近似值与精确值将充分逼近。2021/3/1192、热传导方程定解问题的差分方法、热传导方程定解问题的差分方法2021/3/11102021/3/11112021/3/11122021/3/11133、波动方程定解问题的差分方法、波动方程定解问题的差分方法2021/3/11142021/3/11152021/3/11162021/3/11174、Laplace方程边值问题的差分方法方程边值问题的差分方法2021/3/11182021/3/11192021/3/11202021/3/11215、迭代求解、迭代求解（以（以laplace方程为例）方程为例）2021/3/1122（1）同步迭代）同步迭代2021/3/1123（2）异法迭代）异法迭代2021/3/11246、收敛性和稳定性、收敛性和稳定性n差分求解法必须满足收敛性和稳定性两个条件。差分求解法必须满足收敛性和稳定性两个条件。n收敛性收敛性：要求当频长：要求当频长t，h等趋于零时，差分问题的解等趋于零时，差分问题的解U收敛于原偏微分方程的解收敛于原偏微分方程的解u，此即收敛性。，此即收敛性。n稳定性稳定性：四则运算时舍入误差不可避免，因此前一步：四则运算时舍入误差不可避免，因此前一步的计算会影响后面计算结果的精确性。的计算会影响后面计算结果的精确性。q对于有些差分格式，前面的误差对后面解的影响不大，这种对于有些差分格式，前面的误差对后面解的影响不大，这种计算格式称为稳定的。计算格式称为稳定的。q而不满足这一条件时，会产生误差积累而影响计算精度，这而不满足这一条件时，会产生误差积累而影响计算精度，这种差分格式称为不稳定。种差分格式称为不稳定。2021/3/1125n关于收敛和稳定性有以下结论：关于收敛和稳定性有以下结论：热扩散方程热扩散方程2021/3/1126波动方程波动方程Laplace方程方程2021/3/11272021/3/1128