教更好的数学，更好地教数学教更好的数学，更好地教数学范周田范周田, , 张汉林张汉林北京工业大学北京工业大学 多年以来, 我和我的许多同事们不断努力于微积分课程的精品课程和精品教材建立, 对国内外的微积分教学理念、教材和教学方法都获得了一些新的认识, 也从中引发了一些思索, 本文对此做简要总结. 在我们的研讨课题的过程中, 西交利物浦大学数理中心的韩云瑞教授, 郭镜明教授等在微积分教学研讨方面给了我们许多协助和指点.Richard W. Riley Teach better mathematics and teach mathematics better. 教更好的数学，更好地教数学教更好的数学，更好地教数学一、微积分课程的定位一、微积分课程的定位 在中国大学在中国大学, 微积分被看做最重要的一门微积分被看做最重要的一门数学根底课程数学根底课程, 承当着数学根本才干培育、特承当着数学根本才干培育、特别是强调笼统思想才干逻辑思想才干的培育别是强调笼统思想才干逻辑思想才干的培育, 所以在教学中不断地细抠概念和训练纯数学所以在教学中不断地细抠概念和训练纯数学的解题技巧的解题技巧. 比较而言，美国大学似乎更倾向比较而言，美国大学似乎更倾向于把微积分看作是察看世界的一种视角和分析于把微积分看作是察看世界的一种视角和分析问题的一种方法问题的一种方法. 中国微中国微积分教材的特点是分教材的特点是“知知识立意立意, 教材教材的构造普通的构造普通围绕知知识点展开点展开, 注重注重纯数学方面数学方面的系的系统化、化、严厉化和方式化化和方式化, 注重注重纯数学方法和技巧数学方法和技巧. 中国中国微微积分教材非常注重微分教材非常注重微积分概念的普通化和分概念的普通化和笼统化化, 刻意防止恣意的刻意防止恣意的逻辑破破绽, 为了到达了到达这样的目的目的的, 教教材中概念和原理的表述方式往往材中概念和原理的表述方式往往倾向于向于过度度方式化方式化,一个直接的一个直接的结果是呵斥了果是呵斥了读者了解和掌握的者了解和掌握的难度度,以及教学与考核以及教学与考核对于概念方式化的于概念方式化的过度关注度关注. 例如例如, 中国微积分教材的习题和试题中中国微积分教材的习题和试题中经常出现对于数学概念纯数学方式的经常出现对于数学概念纯数学方式的, 甚至甚至文字游戏般的考核方式文字游戏般的考核方式, 我们以为这偏离了我们以为这偏离了微积分概念的本意微积分概念的本意, 也无益于培育微积分的也无益于培育微积分的运用才干和创新精神运用才干和创新精神. 美国微积分教材中实际体系不像中国教美国微积分教材中实际体系不像中国教材那样逻辑明晰和紧凑材那样逻辑明晰和紧凑, 纯数学知识点往往比纯数学知识点往往比较分散较分散, 概念表述也比较平易概念表述也比较平易. 他们用大量的他们用大量的篇幅用数值方法和图形方法解释数学概念和篇幅用数值方法和图形方法解释数学概念和原理原理, 并且有丰富多样的运用问题并且有丰富多样的运用问题. 关于定理以及某些结论的证明关于定理以及某些结论的证明, 美国微积美国微积分教材的处置方式与国内教材也有区别分教材的处置方式与国内教材也有区别. 对于定理对于定理, 国内教材处置方式比较简单国内教材处置方式比较简单: 要要么严厉证明么严厉证明, 要么略去证明要么略去证明. 美国微积分更注重定理的直观解释。美国微积分更注重定理的直观解释。 对比阐明对比阐明: 我们的微积分课程似乎承当我们的微积分课程似乎承当了不能够完成的义务了不能够完成的义务, 甚至没有仔细区分在培甚至没有仔细区分在培育数学制造者或是运用者育数学制造者或是运用者. 虽然美国微积分课虽然美国微积分课程的定位和教材体系未必适宜我们的国情程的定位和教材体系未必适宜我们的国情,但但有些做法值得我们去自创有些做法值得我们去自创.二、发现数学二、发现数学 自自动学学习是最好的学是最好的学习方式方式, , 自自动学学习的的动力是学力是学习的的兴趣趣. . 教教师应该为学生学生发明适当明适当的情境的情境, , 引引导学生学生发现和和处理理问题, , 经过适当的适当的成就成就赞赏励培育学生的学励培育学生的学习兴趣趣, , 即从好的即从好的问题出出发鼓励学生探求真理鼓励学生探求真理, , 了解数学了解数学, , 享用数享用数学学, , 最最终学会数学学会数学, , 使学生的使学生的好好胜心心变成成猎奇奇心心, , 使学生从做使学生从做学答学答到做到做学学问. 直观上弄懂才算“真懂。这指的是对数学实际、方法或定理，可以洞察其直观背景，并且看懂它们是如何从详细特例过渡到普通笼统方式的。 假设教师仅仅给学生讲清楚一些数学定理的证明步骤，而不指出定理的直观背景和整个来龙去脉，就好比只见树木不见森林。徐利治1. 1. 流速恒定流速恒定( (各处同向各处同向),),平面的情形平面的情形: : 速度的速度的表表示示, , 平面的方向表示平面的方向表示, , 流量的表示流量的表示. .2. 2. 流速恒定流速恒定( (各处同向各处同向), ), 曲面由假设干个平曲面由假设干个平面构成面构成的情形的情形: : 曲面的方向表示曲面的方向表示, , 流量的表示流量的表示. . 3. 3. 流速恒定流速恒定( (各处同向各处同向), ), 曲面的情形曲面的情形: : 单侧单侧曲面曲面? ?曲面的方向表示曲面的方向表示, , 流量的表示流量的表示. . 案例案例1 1 第二型曲面积分问题第二型曲面积分问题. .4. 4. 流速恒定流速恒定( (与时间无关与时间无关, , 只和位置有关只和位置有关), ), 平面平面的情形的情形: : 速度的表示速度的表示, , 流量的表示流量的表示. . 5. 5. 流速恒定流速恒定( (与时间无关与时间无关, , 只和位置有关只和位置有关), ), 曲面曲面的情形的情形. .*6. *6. 流速与时间流速与时间, , 位置都有关位置都有关, , 曲面的情形曲面的情形. . 1. 1. 选择题的评分规范选择题的评分规范 答错扣分答错扣分, , 调查绝对才干调查绝对才干; ; 答错不答错不扣分扣分, , 成认直觉和运气的同时调查才干成认直觉和运气的同时调查才干. .案例案例2 2 最优化或条件极值问题最优化或条件极值问题. .2. 2. 放贷人员的业绩考核放贷人员的业绩考核 目的目的: : 放贷总额最大放贷总额最大, ,约束约束: : 借贷人必需满足一定条件借贷人必需满足一定条件. . 考核方法考核方法: : 其中其中 是第是第i i 笔放贷额笔放贷额, , 表示表示第第i i 笔放贷笔放贷满足借贷条件满足借贷条件, , 表示第表示第i i 笔笔放贷不满足放贷不满足借贷条件借贷条件. . 是惩罚项是惩罚项, D, D是惩罚系数是惩罚系数, , 标志惩罚的强标志惩罚的强度度. . 3. 3. 条件极值条件极值 目的函数目的函数 : :约束条件约束条件: :拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法: :分析分析 的意义的意义: : 惩罚系数惩罚系数, , 三、欣赏数学三、欣赏数学 数学家以为数学是好玩的数学家以为数学是好玩的, , 行云流水行云流水的逻的逻辑推理具有无穷的魅力和美感辑推理具有无穷的魅力和美感. . 数学的美只需数学的美只需经过恰当的展现才干获得认可经过恰当的展现才干获得认可, , 否那么否那么, , 在局在局外人外人看来看来, , 数学家手中的逻辑线条也许像猫爪中的数学家手中的逻辑线条也许像猫爪中的毛线团毛线团. .1. 1. 三棱三棱镜和分光和分光仪 牛牛顿的光散射的光散射实验: : 用三棱镜把复色光分解为单色光用三棱镜把复色光分解为单色光. .2. 2. 傅里叶级数傅里叶级数 在数学上在数学上, , 一个信号是一个定义在一个信号是一个定义在时间或时间或空间上的函数空间上的函数. . 例如一段声音例如一段声音, , 假设单纯按照假设单纯按照定定义在时间上的函数来表示义在时间上的函数来表示, , 它画出来是这个样它画出来是这个样子的子的: : 现实上现实上, , 它是巴赫的小提琴无伴奏它是巴赫的小提琴无伴奏 Partita Partita No.3No.3的序曲开头几个小节的序曲开头几个小节 傅立叶是第一个以数学来计算音乐的傅立叶是第一个以数学来计算音乐的人人. .他以为他以为, , 当在钢琴上弹一个音时当在钢琴上弹一个音时, , 就发出一个就发出一个波波长的音波长的音波, , 当一次弹几个和弦时当一次弹几个和弦时, , 和弦的美是和弦的美是来来自这些音波的叠加自这些音波的叠加. . 怎样叠加怎样叠加? ? 他以为那是一他以为那是一组三角函数的加法组三角函数的加法. . 为此为此, , 著名的傅立叶分著名的傅立叶分析又称为音乐的谐波分析析又称为音乐的谐波分析. . 从本质上讲从本质上讲, Fourier , Fourier 变换就是一个变换就是一个棱镜棱镜(Prism),(Prism),它把一个信号函数分解为众多的频率它把一个信号函数分解为众多的频率成分成分, , 与自然棱镜的原理是一样的与自然棱镜的原理是一样的, , 只不过自只不过自然然棱镜是将自然光分解为多种颜色的光而已棱镜是将自然光分解为多种颜色的光而已. . 四、简单是数学的内在之美四、简单是数学的内在之美 简单性原那么：数学上重要的根本概念和实简单性原那么：数学上重要的根本概念和实际方法，在本质上都是简单的、优美的。高际方法，在本质上都是简单的、优美的。高明的数学家总是力图从那些由反复的、琐碎明的数学家总是力图从那些由反复的、琐碎的、枝节的东西所掩盖着的极为复杂的关系的、枝节的东西所掩盖着的极为复杂的关系构造系统中，梳理出简约优美的头绪来。构造系统中，梳理出简约优美的头绪来。( (徐利治徐利治) ) 牛顿、莱布尼兹、柯西等大批数学家牛顿、莱布尼兹、柯西等大批数学家把微把微积分变成了科学积分变成了科学, , 而科学就必需建立在严厉的而科学就必需建立在严厉的逻辑根底上逻辑根底上, , 必需构成严密的逻辑系统必需构成严密的逻辑系统. . 数理数理逻逻辑的另一个名字是方式逻辑辑的另一个名字是方式逻辑, , 是数学存在的基是数学存在的基础础. . 今天我们看到的方式化的微积分是必然的今天我们看到的方式化的微积分是必然的结果结果. . 然而然而, , 微积分的生命力不仅仅表达在微积分的生命力不仅仅表达在其严其严格性上格性上, , 微积分实际的生长、壮大微积分实际的生长、壮大, , 直至成为直至成为解解决问题的超级利器决问题的超级利器, , 其根本缘由离不开朴素且其根本缘由离不开朴素且简单的微积分思想简单的微积分思想. . 因此因此, , 不应该为了严厉和不应该为了严厉和形形式化牺牲微积分思想式化牺牲微积分思想. . 同时同时, , 为了把数学讲明为了把数学讲明白白, , 即使对象是非数学专业的学生即使对象是非数学专业的学生, , 也必需保管也必需保管适适度的方式化和笼统化度的方式化和笼统化. .例如例如, , 假定偏导数存在假定偏导数存在, , 假设当假设当 和和 时时, , 有有那么称那么称 在点在点 可微分可微分. . 这使得微分概念成这使得微分概念成为一个可以观测到的事物为一个可以观测到的事物, , 免去了关于可微性与偏导免去了关于可微性与偏导数存在逻辑关系的那些多余的、完全方式化的讨论数存在逻辑关系的那些多余的、完全方式化的讨论, , 使得多元函数微分该体系更加简约使得多元函数微分该体系更加简约. . 我们看一个微积分之外的例子我们看一个微积分之外的例子, , 阐明简单的阐明简单的思想思想可以处理看似复杂的问题可以处理看似复杂的问题. . 所谓向量汉字是指以点的方式存储的汉字所谓向量汉字是指以点的方式存储的汉字. .例如例如, , 黑体的黑体的 只是顺序存储其角上的四个点只是顺序存储其角上的四个点. . 顺序顺序衔接衔接这四个点得到这四个点得到 的轮廓的轮廓, , 为了在计算机上显示为了在计算机上显示 必需对轮廓的内部进展填充必需对轮廓的内部进展填充, , 这就是向量汉字复原问这就是向量汉字复原问题题. . 进一步说进一步说, , 是多边形填充问题是多边形填充问题, , 是计算机图像处是计算机图像处置置的经典问题之一的经典问题之一 . .向量汉字的复原算法向量汉字的复原算法(1991(1991年年) ) 向量汉字系统把汉字作为图像处置向量汉字系统把汉字作为图像处置, , 但填但填充算法充算法成为制约计算机汉字处置技术开展的瓶颈问题成为制约计算机汉字处置技术开展的瓶颈问题. . 其实其实, , 不用思索详细的汉字不用思索详细的汉字, , 只用下面的图只用下面的图形就可形就可以完成测试和验证以完成测试和验证. . 我我们的想法很的想法很简单, , 把把计算机中的算机中的“直直线变成成“单线, , 即即对 单值. . 同同时对多多边形的形的顶点点进展展处置置, , 决决议保管或去掉保管或去掉该点使之点使之满足足“奇偶校奇偶校验原那么原那么. . 最最后后, , 整个整个图形从上至下的一次形从上至下的一次“异或运算即完成主异或运算即完成主体填充体填充. . 源程序只需源程序只需170170行行, , 填充主要用填充主要用“异或异或, , 存放存放器器级运算本运算本质上最快的上最快的. 386. 386计算机算机软件件测试每秒填充每秒填充约100100字字, , 汉卡每秒填充卡每秒填充约20002000字以上字以上, , 实现了了汉字无字无闪烁显示示. .五、终了语五、终了语 数学任务者的教育阅历、视野和程度数学任务者的教育阅历、视野和程度的差的差异异, , 对于微积分内容、方法的了解不同对于微积分内容、方法的了解不同, , 以及以及对对于微积分教学目的的不同定位于微积分教学目的的不同定位, , 都是呵斥微积都是呵斥微积分教学宏大差别的缘由分教学宏大差别的缘由. . 以上是我们的一些体以上是我们的一些体会会, , 未必正确和成熟未必正确和成熟, , 一家之言一家之言, , 仅供参考仅供参考. .